1
ZADANIA – Część I RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Zadanie 1.
Dana jest dystrybuanta F(x) zmiennej losowej ciągłej X.
Wyznaczyć gęstość f(x), wartość oczekiwaną i wariancję tej zmiennej losowej.
Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa różni się od wartości oczekiwanej o mniej niż odchylenie standardowe. Wyznacz x0 aby P(X > x0) = 0,25.
Narysować wykresy funkcji F(x), f(x).
1.1 F(x) =
.
2
x
,
е
2
1
1
;
2
x
,
е
2
1
x 2 2 x 1.2 F(x) =
.
3
x
,
1
;
3
x
2
,
)
2
x
(
;
2
x
,
0
2 1.3 F(x) =
.
4
x
,
1
;
4
x
4
),
x
2
sin
1
(
2
1
;
4
x
,
0
1.4 F(x) =
.
2
x
,
1
;
2
x
0
),
x
2
cos
1
(
2
1
;
0
x
,
0
1.5 F(x) =
.
1
x
,
1
;
1
x
0
,
x
;
0
x
,
0
2 1.6 F(x) =
.
2
x
,
x
8
1
;
2
x
,
0
32
1.7 F(x) =
.
2
x
,
1
;
2
x
0
,
x
sin
;
0
x
,
0
1.8 F(x) =
,
x
0
.
е
2
1
1
;
0
x
,
е
2
1
x 5 x 5 1.9 F(x) =
.
3
x
,
1
;
3
x
0
,
x
9
1
;
0
x
,
0
2 1.10 F(x) =
.
0
x
,
1
;
0
x
2
,
x
cos
;
2
x
,
0
1.11 F(x) =
,
x
0
.
е
1
;
0
x
,
0
x 2 1.12 F(x) =
.
2
x
,
1
;
2
x
0
,
x
25
,
0
;
0
x
,
0
2 1.13 F(x) =
.
x
,
1
;
x
0
),
x
cos
1
(
2
1
;
0
x
,
0
1.14 F(x)=
.
1
x
,
1
1
x
1
,
x
arcsin
1
2
1
;
1
x
,
0
3
1.15 F(x) =
.
1
x
,
1
;
1
x
0
),
x
2
(
x
;
0
x
,
0
1.16 F(x) =
.
1
x
,
1
;
1
x
0
,
)
x
1
(
2
1
1
;
0
x
1
,
)
1
x
(
2
1
;
1
x
,
0
2 2 1.17 F(x) =
.
2
x
,
1
;
2
x
2
),
x
sin
1
(
2
1
;
2
x
,
0
1.18 F(x) =
,
x
0
.
е
2
1
1
;
0
x
,
е
2
1
x 3 x 3 1.19 F(x) =
.
4
x
,
1
;
4
x
3
,
)
3
x
(
;
3
x
,
0
2 1.20 F(x) =
.
3
x
,
1
;
3
x
0
,
x
9
1
x
3
2
;
0
x
,
0
2 1.21 F(x) =
.
12
x
,
1
;
12
x
12
),
x
6
sin
1
(
2
1
;
12
x
,
0
4
1.22 F(x) =
.
3
x
,
е
3
2
1
;
3
x
,
е
3
1
x 3 3 x 1.23 F(x) =
.
5
,
0
x
,
1
;
5
,
0
x
5
,
0
,
x
2
arcsin
1
2
1
;
5
,
0
x
,
0
1.24 F(x) =
.
2
x
,
1
;
2
x
1
,
)
2
x
(
1
;
1
x
,
0
2 1.25 F(x) =
.
1
x
,
1
;
1
x
1
),
1
x
(
2
1
;
1
x
,
0
1.26 F(x) =
.
0
x
,
е
1
;
0
x
,
0
2 x 1.27 F(x) =
.
0
x
,
е
2
1
1
;
0
x
,
е
2
1
2 x 2 x 1.28 F(x) =
arctgx
,
x
х
1
2
1
. 1.29 F(x) =
.
0
x
,
x
1
x
;
0
x
,
0
2 2 1.30 F(x) =
.
0
x
,
е
2
1
1
;
0
x
,
е
2
1
3 x 3 x5
Zadanie 2.
Rozkład dyskretnej zmiennej losowej (Х, У) określony jest funkcją prawdopodobieństwa zapisaną w tablicy.
Oblicz współczynnik korelacji i prawdopodobieństwo, że zmienna (Х, У) ma wartości w obszarze D. Wyznacz macierz kowariancji i macierz korelacji.
Wyznacz i narysuj (zaznacz wartości funkcji prawdopodobieństwa) prostą regresji liniowej zmiennej losowej Y względem zmiennej losowej X.
Skomentuj otrzymane wyniki.
2.1
У
Х
1 2 3 4 -2 0 2 0,03 0,03 0,05 0,02 0,10 0,08 0,06 0,10 0,20 0,04 0,09 0,20D =
x
;
1
y
3
2.2
У
Х
-2 -1 0 1 -1 0 2 0,02 0,03 0,02 0,05 0,08 0,05 0,04 0,05 0,06 0,10 0,20 0,30D =
1
x
0
;
0
y
2
2.3
У
Х
-2 0 2 4 1 3 5 0,03 0,04 0,02 0,03 0,07 0,10 0,05 0,20 0,03 0,15 0,08 0,20D =
1
x
3
;
2
y
6
2.4
У
Х
0 2 4 6 0 2 4 0,05 0,07 0,08 0,03 0,10 0,07 0,06 0,20 0,09 0,05 0,06 0,14D =
0
x
4
;
1
y
4
6
2.5
У
Х
-2 -1 0 1 1 2 3 0,02 0,08 0,03 0,04 0,05 0,10 0,02 0,07 0,20 0,04 0,20 0,15D =
1
x
2
;
2
y
3
2.6
У
Х
0 2 4 6 1 2 3 0,02 0,10 0,05 0,05 0,08 0,04 0,15 0,10 0,20 0,10 0,06 0,05D =
0
x
3
;
1
y
2
2.7
У
Х
0 1 2 3 2 4 6 0,04 0,03 0,05 0,04 0,08 0,09 0,06 0,09 0,15 0,07 0,10 0,20D =
x
;
3
y
5
2.8
У
Х
-2 0 2 4 -1 0 2 0,03 0,05 0,06 0,04 0,06 0,08 0,06 0,09 0,15 0,08 0,10 0,20D =
x
2
y
2
1
2.9
У
Х
0 2 4 6 0 1 2 0,08 0,10 0,09 0,10 0,15 0,12 0,06 0,09 0,07 0,03 0,05 0,06D =
1
x
4
;
2
y
3
7
2.10
У
Х
-1 1 3 5 -1 0 2 0,04 0,05 0,06 0,10 0,08 0,09 0,09 0,10 0,20 0,07 0,06 0,06D =
x
2
y
2
4
2.11
У
Х
0 1 2 3 0 2 4 0,04 0,04 0,05 0,09 0,08 0,07 0,20 0,10 0,10 0,06 0,08 0,09D =
(
x
1
)
2
y
2
1
2.12
У
Х
1 2 3 4 -1 1 3 0,02 0,04 0,06 0,03 0,09 0,07 0,05 0,10 0,20 0,05 0,09 0,20D =
x
;
0
y
4
2.13
У
Х
-1 0 1 2 1 3 5 0,03 0,04 0,05 0,03 0,09 0,08 0,05 0,10 0,15 0,06 0,12 0,20D =
x
;
2
y
4
2.14
У
Х
-1 0 1 2 0 1 3 0,01 0,04 0,02 0,04 0,09 0,05 0,03 0,06 0,06 0,10 0,20 0,30D =
0
x
1
;
1
y
3
8
2.15
У
Х
-1 1 3 5 0 2 4 0,02 0,05 0,02 0,01 0,08 0,10 0,04 0,20 0,03 0,15 0,10 0,20D =
0
x
4
;
1
y
5
2.16
У
Х
-2 0 2 4 2 4 6 0,04 0,08 0,08 0,02 0,10 0,08 0,05 0,20 0,10 0,04 0,06 0,15D =
1
x
3
;
2
y
5
2.17
У
Х
-1 0 1 2 2 3 4 0,01 0,09 0,04 0,03 0,06 0,10 0,01 0,08 0,20 0,03 0,20 0,15D =
0
x
3
;
3
y
4
2.18
У
Х
-1 1 3 5 1 2 3 0,01 0,10 0,06 0,04 0,09 0,04 0,15 0,10 0,20 0,10 0,05 0,06D =
1
x
2
;
1
y
2
2.19
У
Х
-3 -1 1 3 0 1 2 0,02 0,06 0,07 0,03 0,07 0,08 0,05 0,10 0,15 0,07 0,10 0,20D =
x
2
y
1
9
2.20
У
Х
-2 0 2 4 -1 0 2 0,03 0,05 0,06 0,04 0,06 0,08 0,06 0,09 0,15 0,08 0,10 0,20D =
1
x
3
;
1
y
2
2.21
У
Х
-1 0 1 3 0 1 2 0,03 0,06 0,06 0,10 0,09 0,09 0,08 0,10 0,20 0,06 0,07 0,06D =
x
2
y
2
4
2.22
У
Х
-1 0 1 2 -1 1 3 0,03 0,05 0,05 0,08 0,09 0,07 0,20 0,10 0,10 0,05 0,09 0,09D =
x
2
(
y
1
)
2
1
2.23
У
Х
-1 0 1 2 -1 0 3 0,03 0,02 0,06 0,03 0,10 0,07 0,06 0,10 0,20 0,05 0,08 0,20D =
x
;
0
y
2
2.24
У
Х
-2 -1 0 1 0 2 3 0,03 0,02 0,06 0,04 0,07 0,10 0,07 0,08 0,15 0,08 0,10 0,20D =
(
x
1
)
2
y
2
1
10
2.25
У
Х
-1 1 2 4 -1 2 3 0,03 0,03 0,03 0,02 0,10 0,07 0,15 0,09 0,20 0,05 0,20 0,03D =
0
x
3
;
1
y
2
2.26
У
Х
-3 -1 0 1 2 3 4 0,05 0,06 0,09 0,03 0,07 0,10 0,06 0,20 0,09 0,05 0,05 0,15D =
3
x
0
;
2
y
3
2.27
У
Х
-4 -2 0 2 -2 -1 1 0,02 0,07 0,04 0,04 0,05 0,10 0,04 0,20 0,15 0,03 0,06 0,20D =
2
x
2
;
1
y
2
2.28
У
Х
-1 1 3 4 -1 1 2 0,05 0,10 0,02 0,04 0,08 0,05 0,20 0,10 0,15 0,05 0,06 0,10D =
1
x
2
;
1
y
2
2.29
У
Х
-2 -1 1 2 -1 0 3 0,03 0,06 0,05 0,04 0,07 0,07 0,06 0,10 0,14 0,08 0,10 0,20D =
(
x
1
)
2
y
2
1
2.30
У
Х
-3 -1 0 1 -2 -1 0 0,03 0,05 0,06 0,06 0,09 0,07 0,10 0,15 0,12 0,08 0,10 0,09D =
4
x
0
;
0
y
1
11
Zadanie 3
Dana jest gęstość ƒ(x, у). Oblicz А i współczynnik korelacji ρ. Czy X, Y są skorelowane?
Nr wariantu f(x,y) Оbszar D
1 D y x D y x y x A y x f ) , ( 0 ; ) , ( ) 2 ( ) , ( 2 у 0 , 2 х 0 2 D y x D y x y x A y x f ) , ( 0 ; ) , ( ) 2 cos( ) , ( 4 y 4 , 4 х 4 3 D y x D y x y x A y x f ) , ( 0 ; ) , ( ) ( ) , ( 3 у 0 , 3 х 0 4 D y x D y x е y x A y x f y x ) , ( 0 ; ) , ( ) ( ) , ( у 0 , х 0 5 D y x D y x Axy y x f ) , ( 0 ; ) , ( ) , ( 0 у , 0 х , х 1 у 6 D y x D y x y x A y x f ) , ( 0 ; ) , ( ) sin( ) , ( 2 y 0 , 2 х 0 7 D y x D y x y x A y x f ) , ( 0 ; ) , ( ) 3 ( ) , ( 3 у 0 , 3 х 0 8 D y x D y x y x A y x f ) , ( 0 ; ) , ( ) 2 ( ) , ( 2 у 0 , 2 х 0 9 D y x D y x y x A y x f ) , ( 0 ; ) , ( ) sin( ) , ( 0 y 2 , 0 х 2 10 D y x D y x Axy y x f ) , ( 0 ; ) , ( ) , ( 0 у , 1 x , 0 2 y x 11 D y x D y x y x A y x f ) , ( 0 ; ) , ( ) ( ) , ( 0 y , 0 x , 0 2 y x 2 12 D y x D y x y x A y x f ) , ( 0 ; ) , ( ) ( ) , ( 2 2 0 y , 0 x , 4 y x2 2 13 D y x D y x y x A y x f ) , ( 0 ; ) , ( ) 3 ( ) , ( 3 у 0 , 3 х 0 14 D y x D y x y x A y x f ) , ( 0 ; ) , ( ) ( ) , ( 0 у , 0 x , 9 y х2 2 15 D y x D y x Axy y x f ) , ( 0 ; ) , ( ) , ( 0 у , 0 x , 6 у 2 х 3
