5.1. Pojcie wielomianu.pdf 

5.1. POJĘCIE WIELOMIANU

Wielomianem jednej zmiennej x nazywamy funkcję

0 1 2 2 ... ) (x a x a x a x a W = _n n + + + + , gdzie n∈N;a_n,...,a₂,a₁,a₀∈R 0 1 2, , ,...,a a a

a_n - współczynniki wielomianu a - wyraz wolny ₀

Jeśli a_n ≠0, to wielomian W jest wielomianem stopnia n (stW = n)

Jeśli a_n =...=a₂ =a₁ =a₀ =0, to wielomian W jest wielomianem zerowym. Wielomian zerowy nie ma określonego stopnia.

Wielomian zerowy zapisujemy W(x)≡0

Przykład 5.1.1. Podaj stopień i wypisz współczynniki wielomianu W: a) W(x)=x4 −2+3x−3x3 +2x5

Rozwiązanie Komentarz

5 =

stW Stopień wielomianu jest równy najwyŜszej potędze x. 2 ; 3 ; 0 ; 3 ; 1 ; 2 _{4 3 2 1 0} 5 = a = a =− a = a = a =−

a Numery współczynników są takie same jak potęgi x przy których te współczynniki stoją.

b) W(x)=24 Rozwiązanie Komentarz 0 = stW _{( )=2}4 ₌₁₆ x

W jest to funkcja stała.

16 24

0 = =

a Wielomian składa się tylko z wyrazu wolnego.

Przykład 5.1.2. Uporządkuj wielomian W(x)=−x+5+3x2 +4x5 −x4

Rozwiązanie Komentarz 5 3 4 ) (x = x5 −x4 + x2 −x+

W Ustawiamy wyraŜenia od najwyŜszej do najniŜszej _{potęgi x}

Przykład 5.1.3. Dany jest wielomian W(x)=3x3 −x2 +2. Oblicz W(−2).

Rozwiązanie Komentarz

( ) ( )

2 2 2 26 3 ) 2 (− = ⋅ − 3 − − 2 + =−

Przykład 5.1.4. Wyznacz współczynnik a wielomianu W(x)= x3 +ax+3, jeśli W(−4)=3. Rozwiązanie Komentarz

( )

4

( )

4 3 64 4 3 4 61 ) 4 (− = − 3 +a⋅ − + =− − a+ =− a−

W Obliczamy wartość funkcji W dla _{argumentu –4 .}

( )

16 4 : / 64 4 3 61 4 3 61 4 − = − = − + = − = − − a a a a PoniewaŜ W(−4)=3, to otrzymane wyraŜenie −4a−61 przyrównujemy do 3 i obliczamy a . Równość wielomianów.

Wielomiany zmiennej x są równe ⇔mają ten sam stopień i równe współczynniki przy tych samych potęgach zmiennej.

Przykład 5.1.5. Wyznacz wartości a ,,b c, dla których wielomiany

(

3 2

)

3 ) (x =ax3 + b− x2 − W i P(x)=2x3 −4x2 +2cx−3są równe. Rozwiązanie Komentarz        − = − = − = − = 3 3 2 0 4 2 3 2 c b

a Przyrównujemy odpowiednie współczynniki i

tworzymy układ równań.

       = − = = 0 3 2 2 c b

a Rozwiązujemy układ równań .

Odp. Wielomiany są równe , gdy 0 ; 3 2 ; 2 =− = = b c a

Dla obliczonych wartości a ,,b cwielomiany mają ten sam stopień 3 i współczynniki przy odpowiednich potęgach x są równe .

ĆWICZENIA

Ćwiczenie 5.1.1. (3pkt.) Uporządkuj wielomian W(x)=x+x3 −2x5 −1−x2 +3x4. Podaj jego stopień i sumę współczynników.

schemat oceniania Numer odpowiedzi Odpowiedź Liczba punktów 1 Uporządkowanie wielomianu 1

2 Podanie stopnia wielomianu 1

3 Podanie sumy współczynników 1

Ćwiczenie 5.1.2. (1pkt.) Oblicz wartość wielomianu W(x)= x4 +2x3 −2x+4dla x=−1 schemat oceniania

Numer odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktów

1 Podanie wartości funkcji W dla argumentu –4 . 1

Ćwiczenie 5.1.3. (2pkt.) Wyznacz współczynniki ai b wielomianu 2 3 ) (x =− x3 +ax2 +bx+ W , jeśli W(−1)=4;W(2)=20. schemat oceniania Numer odpowiedzi Odpowiedź Liczba punktów

1 UłoŜenie układu równań z niewiadomymi ai b . ₁

2 Podanie wartości ai b . ₁

Ćwiczenie 5.1.4. (2pkt.) Wyznacz wartości ai b , dla których wielomiany

(

b a

)

x

(

b a

)

x x x W( )= 3+ 2 + 2 + − i P(x)= x3 +4x2 −5x są równe. schemat oceniania Numer odpowiedzi Odpowiedź Liczba punktów

1 UłoŜenie układu równań z niewiadomymi ai b . ₁