3
Funkcje Bessela
Laplasjan we współrzędnych walcowych (r, ϑ, z), (x1, x2, x3) = (r cos ϑ, r sin ϑ, z), ma postać ∆ = ∂ 2 ∂r2 + 1 r ∂ ∂r + 1 r2 ∂2 ∂ϑ2 + ∂2 ∂z2.
Rozwiązując równanie Helmholtza ∆u+λu = 0 (równanie na wartości własne dla laplasjanu) we współrzędnych walcowych metodą rozdzielania zmiennych (u(x1, x2, x3) = R(r)Θ(ϑ)Z(z)) otrzymujemy r2R00+ rR0 R + Θ00 Θ + r2Z00 Z + λr 2 = 0.
Θ00/Θ musi być stałą. Ponieważ Θ jest funkcją okresową o okresie 2π, jedyna
możliwość to Θ00/Θ = −n2 dla jakiejś liczby całkowitej n.
Dalej, −Z 00 Z − λ = − n2 r2 + R00 R + 1 r R0 R.
Lewa strona powyższej równości jest zależna tylko od z, prawa strona tylko od
r. Zatem Z00/Z +λ musi być stałe (oznaczmy tę stałą przez µ). Otrzymaliśmy
następujące równanie na R:
r2R00(r) + rR0(r) + µr2R(r) − n2R(r) = 0.
Załóżmy, że µ = k2 jest dodatnie. Połóżmy R(r) = u(x), gdzie x = kr. Otrzymujemy równanie
x2u00(x) + xu0(x) + (x2− n2)u(x) = 0.
3.1
Równanie Bessela
(1)Równaniem Bessela rzędu ν nazywamy równanie różniczkowe zwyczajne li-niowe jednorodne drugiego rzędu (kolizja nazewnictwa!) postaci
(3.1) x2u00(x) + xu0(x) + (x2− ν2)u(x) = 0.
Rozwiązania równania Bessela nazywamy funkcjami cylindrycznymi .
Wprowadźmy oznaczenie
D := x d dx.
Równanie Bessela przybiera teraz postać
(D2− ν2)u(x) + x2u(x) = 0.
Dla x bliskich zeru równanie to można traktować jako zaburzenie równania (D2− ν2)u = 0, które ma rozwiązania u(x) = x±ν. Będziemy szukali
rozwią-zań równania Bessela postaci x±νf (x), gdzie f jest funkcją holomorficzną w
zerze.
Po zastosowaniu cechowania
u(x) = xνv(x).
równanie przyjmuje postać
D2v(x) + 2νDv(x) + x2v(x) = 0. Niech v(x) = ∞ X n=0 anxn. Mamy ∞ X n=0 n(n + 2ν)anxn+ ∞ X n=2 an−2xn = 0, zatem, zakładając że ν 6= −1/2, musi zachodzić a1 = 0 oraz
n(n + 2ν)an+ an−2= 0, n = 2, 3, . . . .
Z powyższego wzoru rekurencyjnego wynika, po wzięciu a0 = 1, że
a2m= (−1)m
1
4mm!(ν + 1)(ν + 2) . . . (ν + m − 1)(ν + m),
o ile ν nie jest liczbą całkowitą ujemną. Zatem
xν ∞ X m=0 (−1)m (ν + 1)(ν + 2) . . . (ν + m − 1)(ν + m)m! x 2 !2m
jest rozwiązaniem równania Bessela. Zauważmy, że dla ustalonego x > 0, powyższa funkcja, jako funkcja zmiennej ν, ma biegun rzędu jeden w ν =
−1, −2, −3, . . . . Przypomnijmy, że (ν + 1)(ν + 2) . . . (ν + m − 1)(ν + m)Γ(ν + 1) = Γ(ν + 1 + m) (Fakt 1.1(1)). Zatem wzór (3.2) Jν(x) = ∞ X m=0 (−1)m Γ(ν + 1 + m) m! x 2 !ν+2m
określa rozwiązanie równania Bessela też dla ν = −n, gdzie n = 1, 2, 3, . . . (w takim przypadku sumowanie rozpoczyna się od m = n). Rozwiązanie takie nazywamy funkcją Bessela pierwszego rodzaju.
Szereg ∞ X m=0 (−1)m Γ(ν + 1 + m) m! x 2 !2m
jest zbieżny dla wszystkich x ∈ C. Biorąc główną gałąź logarytmu otrzymu-jemy, że Jν jest funkcją holomorficzną na dopełnieniu półprostej (−∞, 0].
Można zatem wzór (3.2) zróżniczkować otrzymując
(3.3) (xνJν(x))0 = xνJν−1(x), (x−νJν(x))0 = −x−νJν+1(x), co implikuje 1 x d dx !n (xνJν(x)) = xν−nJν−n(x), 1 x d dx !n (x−νJν(x)) = (−1)nx−ν−nJν+n(x). Ale x1−ν(xνJν(x))0 = xJν0(x) + νJν(x) x1+ν(x−νJν(x))0 = xJν0(x) − νJν(x).
Wynikają stąd następujące wzory:
Jν−1(x) + Jν+1(x) = 2ν x Jν(x) (3.4) Jν−1(x) − Jν+1(x) = 2Jν0(x). (3.5)
Zauważmy, że za pomocą cechowania u(x) = x−1/2v(x) z równania (3.1)
otrzymujemy x2v00(x) + x2− ν2 +1 4 ! v(x) = 0.
Umożliwi nam to rozpatrzenie przypadku ν = ±1/2. Wówczas rozwiązania równania (3.1) są kombinacjami liniowymi funkcji
cos x √ x , sin x √ x .
Wykorzystując wzór Legendre’a na podwojenie (Fakt 1.1(3)) otrzymujemy, że wzór (3.2) przybiera teraz postać:
J1/2(x) = √ 2 sin x √ πx , J−1/2(x) = √ 2 cos x √ πx .
Ze wzorów (3.4) i (3.5) wynika, że dla gdy ν +12 jest liczbą całkowitą funkcja
Jν wyraża się poprzez funkcje trygonometryczne i potęgi x. Dla ogólnego ν, z postaci (3.2) wynika, że przy x → 0+,
(3.6) Jν(x) ∼ 1 Γ(ν + 1) x 2 ν , Jν0(x) ∼ ν 2 1 Γ(ν + 1) x 2 ν−1 .(2)
Dla rozwiązań u1(·) i u2(·) równania (3.1) ich wrońskian W (·) = W [u1, u2](·)
spełnia równanie x2W0(x) = −xW (x). Zatem W = c/x. Weźmy teraz u
1 =
Jν i u2 = J−ν. Ze wzoru asymptotycznego (3.6) można wywnioskować,
wy-korzystując Fakt 1.1(1–2), że
c = lim x→0+xW [Jν, J−ν](x) = − 2ν Γ(1 + ν)Γ(1 − ν) = = − 2 Γ(ν)Γ(1 − ν) = −2 sin(νπ) π .
Zatem rozwiązania Jν(·) i J−ν(·) są liniowo niezależne o ile ν nie jest liczbą
całkowitą.
Przypomnijmy, że gdy ν jest liczbą całkowitą ujemną −n, pierwszym składnikiem w (3.2) różnym od zera jest ten z m = n. Podstawiając m = n+k otrzymujemy (3.7) J−n(x) = (−1) n ∞ X k=0 (−1)k k!(n + k)! x 2 n+2k = = (−1)nJn(x) = cos(nπ)Jn(x). (2)Wyrażenie „f (x) ∼ g(x) przy x → 0+” oznacza, że lim
Załóżmy, że ν nie jest liczbą całkowitą, i zdefiniujmy funkcje Bessela drugiego rodzaju: (3.8) Yν(x) := cos(νπ)Jν(x) − J−ν(x) sin(νπ) . W szczególności, Y1/2(x) = √ 2 cos x √ πx , Y−1/2(x) = √ 2 sin x √ πx .
Ponieważ, przy ustalonym x > 0, na podstawie wzoru (3.7), licznik we wzorze (3.8) ma miejsce zerowe, jako funkcja ν, dla ν całkowitych, zaś mia-nownik ma miejsce zerowe rzędu jeden dla ν całkowitych, można, korzystając z reguły de L’Hôpitala, określić funkcje Bessela drugiego rodzaju całkowitego rzędu n wzorem Yn(x) := 1 π ∂Jν(x) ∂ν ν=n − (−1)n ∂J−ν(x) ∂ν ν=n ! . Wrońskian W [Jν, Yν](x) = − W [Jν, J−ν](x) sin(νπ) = 2 πx
dla niecałkowitych ν. Jednakże, dla ustalonego x > 0, wrońskian jest holo-morficzną funkcją zmiennej ν, zatem powyższa równość zachodzi dla wszyst-kich ν. W szczególności, Jν i Yν tworzą układ fundamentalny równania (3.1).
Ze wzorów (3.8) i (3.7) wynika, że
Y−n(x) = (−1)nYn(x), n = 0, 1, 2, . . . . Wzory (3.4) i (3.5) dają Yν−1(x) + Yν+1(x) = 2ν x Yν(x) (3.9) Yν−1(x) − Yν+1(x) = 2Yν0(x). (3.10)
3.2
Miejsca zerowe funkcji cylindrycznych
Twierdzenie 3.1. Niech ν ∈ R. Rzeczywista niezerowa funkcja cylindryczna
u(x) ma przeliczalnie wiele dodatnich miejsc zerowych
0 < x1 < x2 < . . . < xn < . . . .
Odległość xn+1− xn jest > π gdy |ν| > 12, i < π gdy |ν| < 12. Ponadto xn+1− xn = π + O(n−2) gdy n → ∞.
Dowód. Cechowanie u(x) = x−1/2v(x) przekształca równanie (3.1) na (3.11) v00(x) + 1 −ν 2− 1 4 x2 ! v(x) = 0.
Dla ν 6= 0, funkcja cylindryczna u jest kombinacją liniową funkcji xν razy funkcja całkowita i x−ν razy funkcja całkowita. Dla ν = 0 funkcja cylindrycz-na jest kombicylindrycz-nacją liniową funkcji całkowitej i funkcji dążącej do −∞ przy
x → 0+. Zatem v nie ma miejsc zerowych na pewnym przedziale (0, ε), gdzie
ε > 0
Zauważmy, że nietrywialne rozwiązanie równania różniczkowego zwyczaj-nego liniowego drugiego rzędu (3.11) nie może mieć więcej niż przeliczalnie wiele miejsc zerowych, gdyż w przeciwnym razie miejsca zerowe miałyby punkt skupienia na [ε, ∞), co jest niemożliwe.
Będziemy stosowali twierdzenie Sturma (Twierdzenie 2.1), wykorzystu-jąc do porównania równanie w00(x) + a2w(x) = 0, którego rozwiązaniami są
funkcje
w(x) = cos(ax + b), a > 0.
Zauważmy, że odstęp między miejscami zerowymi funkcji w jest równy π/a. (1) Niech a > 0 i δ > 0 będą takie, że a2 jest ograniczeniem dolnym
współczynnika rzędu zerowego 1 − ν
2− 1 4
x2 , δ ¬ x < ∞,
Wówczas z twierdzenia Sturma wynika, że na [δ, ∞) pomiędzy dwoma kolejnymi miejscami zerowymi funkcji w istnieje miejsce zerowe funkcji
v.
(2) Niech a > 0 i δ > 0 będą takie, że a2 jest ograniczeniem górnym współczynnika rzędu zerowego
1 − ν
2− 1 4
x2 , δ ¬ x < ∞,
Wówczas z twierdzenia Sturma wynika, że na [δ, ∞) pomiędzy dwoma kolejnymi miejscami zerowymi funkcji v istnieje miejsce zerowe funkcji
w.
Zawsze można znaleźć a > 0 i δ > 0 takie, że warunek z punktu (1) jest spełniony dla x ∈ [δ, ∞), zatem v, i co za tym idzie, u, ma przeliczalnie wiele dodatnich miejsc zerowych.
Załóżmy, że ν2 < 1/4. Warunek z punktu (1) jest spełniony dla a2 = 1 i
δ = x1. Zatem xn+1− xn< π dla wszystkich n = 1, 2, . . . .
Załóżmy, że ν2 > 1/4. Warunek z punktu (2) jest spełniony dla a2 = 1 i
δ = x1. Zatem xn+1− xn> π dla wszystkich n = 1, 2, . . . .
Z powyższych rozumowań wynika, że xn jest porównywalne z n (oznacza
to, że istnieją 0 < α < β takie, że αn ¬ xn ¬ βn). Gdy ustalimy xn, na
półprostej [xn, ∞) kresy górne i dolne wyrażenia 1 − (ν2− 14)/x2 różnią się
od 1 o O(n−2), zatem odstępy między kolejnymi miejscami zerowymi funkcji
v i w różnią sie od π o O(n−2).
Niech ν > 0. Dodatnie miejsca zerowe funkcji Bessela pierwszego rodzaju
Jν oznaczamy
0 < jν,1 < jν,2 < . . . < jν,n< . . . .
Twierdzenie 3.2. Załóżmy, że ν > 0. Zachodzi
0 < jν,1 < jν+1,1 < jν,2 < jν+1,2 < jν,3 < . . . .
Dowód. Wzór (3.3) daje nam, że
x−νJν+1(x) = − d dx x−νJν(x) , xν+1Jν(x) = − d dx xν+1Jν+1(x) .
Kolejne miejsca zerowe jν,k i jν,k+1funkcji Jν(x) są miejscami zerowymi
funk-cji x−νJν(x). Zatem pomiędzy nimi istnieje co najmniej jedno miejsce zerowe
pochodnej funkcji x−νJν(x), więc i funkcji Jν+1(x).
Załóżmy, że jν+1,k < jν+1,k+1 są kolejnymi dodatnimi miejscami
zerowy-mi funkcji Jν+1(x). Sa one też miejscami zerowymi funkcji xν+1Jν+1(x), i
pomiędzy nimi istnieje co najmniej jedno miejsce zerowe funkcji Jν(x).
Tego, że jν,1 < jν+1,1, dowodzi się przy pomocy pewnej modyfikacji
dowo-du twierdzenia Sturma. Załóżmy nie wprost, że Jν nie ma miejsc zerowych
na przedziale (0, jν+1,1). Obie funkcje Jν i Jν+1 muszą być dodatnie na tym
przedziale, zatem powtarzając odpowiednią część dowodu twierdzenia Stur-ma otrzymujemy, że wrońskian W [Jν, Jν+1] jest malejący na (0, jν+1,1).
Po-nadto, W [Jν, Jν+1](jν+1,1) 0. Lecz ze wzoru asymptotycznego (3.6) wynika,
że lim
x→0+W [Jν, Jν+1](x) = 0, sprzeczność.
Następne twierdzenie podajemy bez dowodu. Odnosi się ono do zespo-lonych miejsc zerowych funkcji Bessela pierwszego rodzaju (dla ν rzeczywi-stych).
Twierdzenie 3.3. Gdy ν > −1, wszystkie miejsca zerowe funkcji Jν(z) są
rzeczywiste. Gdy ν 0, wszystkie miejsca zerowe funkcji Jν0(z) są rzeczywiste. Gdy −1 < ν < 0, Jν0(z) ma parę czysto urojonych miejsc zerowych, i wszystkie pozostałe miejsca zerowe są rzeczywiste.
3.2.1 Przedstawienia całkowe funkcji Bessela Z równości B(x, y) = Γ(x)Γ(y) Γ(x + y) wynika, że 1 Γ(m + ν + 1) = 1 Γ(m + 12)Γ(ν + 12) 1 Z −1 t2m(1 − t2)ν−1/2dt
dla Re ν > −12 i m = 0, 1, 2, . . . . Podstawiając powyższy wzór do rozwinię-cia (3.2) otrzymujemy, po zastosowaniu wzoru na podwojenie (Fakt 1.1(3)), że Jν(x) = ∞ X m=0 (−1)m m! x 2 !ν+2m 1 Γ(m +12)Γ(ν +12) 1 Z −1 t2m(1 − t2)ν−1/2dt = = 1 Γ(ν + 12) x 2 !ν 1 Z −1 (1 − t2)ν−1/2 ∞ X m=0 (−1)m(xt)2m 22mΓ(m + 1)Γ(m + 1 2) ! dt = = 1 Γ(12)Γ(ν + 12) x 2 !ν 1 Z −1 (1 − t2)ν−1/2cos(xt) dt. Otrzymany wzór (3.12) Jν(x) = 1 √ π Γ(ν + 12) x 2 !ν 1 Z −1 (1 − t2)ν−1/2cos(xt) dt, Re ν > −1/2,
nazywamy przedstawieniem Poissona funkcji Bessela pierwszego rodzaju. Umówiwszy się, że bierzemy główną gałąź logarytmu zespolonego, wzór (3.12) jest prawdziwy, gdy za x weźmiemy niezerową liczbę zespoloną o ar-gumencie różnym od π.
Zauważmy, że funkcja exp(ir sin ϑ) spełnia równanie Helmholtza ∆u+u = 0 we współrzędnych walcowych: (3.13) ∂ 2 ∂r2 + 1 r ∂ ∂r + 1 r2 ∂2 ∂ϑ2 + 1 ! (eir sin ϑ) = 0. Rozważmy jej rozwinięcie w szereg Fouriera
(3.14) eir sin ϑ=
∞
X
n=−∞
gdzie (3.15) jn(r) = 1 2π 2π Z 0 eir sin ϑe−inϑdϑ. Ponieważ e−inϑ = i n d dϑ e−inϑ,
powtarzając kolejno całkowanie przez części otrzymujemy, że dla każdej liczby całkowitej k 0 zachodzi
|jn(r)| ¬ Ck
(1 + r)k
|n|k , n 6= 0.
Analogiczne oszacowania zachodzą dla pochodnych funkcji jn. Zatem można
różniczkować (3.14) wyraz po wyrazie, więc wzór (3.13) implikuje, że
r2jn00(r) + rjn0(r) + (r2− n2)j
n(r) = 0, n = 0, ±1, ±2, . . . .
Podstawiając we wzorze (3.15) t = eiϑ otrzymujemy
jn(r) = 1 2πi Z C exp 1 2r t − 1 t ! t−n−1dt,
gdzie C jest okręgiem jednostkowym. Jako że funkcja podcałkowa jest ho-lomorficzna poza zerem i „odpowiednio zachowuje się w nieskończoności”, można zamiast okręgu jednostkowego za C wziąć krzywą o początku i końcu w −∞ obiegającą początek układu w kierunku dodatnim. Dalej, gdy zamiast
n weźmiemy liczbę zespoloną ν, można poprawnie zdefiniować jν(r) := 1 2πi Z C exp 1 2r t − 1 t ! t−ν−1dt,
o ile tylko C jest krzywą o początku i końcu w −∞, położoną poza niedodat-nią półosią rzeczywistą, i obiegającą początek układu przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Po dokonaniu zamiany zmiennych s = rt/2 i zmianie ko-lejności całkowania i sumowania (dozwolonej, gdyż całka jest bezwzględnie zbieżna) otrzymujemy jν(r) = 1 2πi r 2 !ν Z C0 exp(s − r2/4s) s−ν−1ds = = 1 2πi r 2 !ν ∞ X m=0 (−1)m m! r2m 22m Z C0 ess−m−ν−1ds,
gdzie C0 jest obrazem krzywej C przy zamianie zmiennych. Ze wzoru Hankela (patrz wzór (1.6) w Wykładzie nr 1) wynika, że
1 2πi Z C ess−m−ν−1ds = 1 Γ(m + ν + 1).
Porównując ze wzorem (3.2) otrzymujemy, na podstawie jednoznaczności roz-winięcia w szereg Maclaurina, że jν = Jν.
Wzór (3.16) Jn(x) = 1 2π 2π Z 0 eix sin ϑe−inϑdϑ, n ∈ Z,
nazywamy przedstawieniem Bessela. Można je też zapisać w postaci
Jn(x) = 1 π π Z 0 cos(x sin ϑ − nϑ) dϑ, n = 0, ±1, ±2, . . . . Wzór (3.17) Jν(x) = 1 2πi Z C exp 1 2x t − 1 t ! t−ν−1dt, x ∈ R,
C jest krzywą o początku i końcu w −∞, położoną poza niedodatnią półosią
rzeczywistą, i obiegającą początek układu przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, nazywamy przedstawieniem Schlömilcha(3).
Podstawiając w powyższym wzorze t = eiϑ, otrzymujemy przedstawienie Sommerfelda(4): (3.18) Jν(x) = 1 2πi Z D eix sin ϑ−iνϑdϑ,
gdzie D jest krzywą złożoną z półprostej od −π − i∞ do −π, odcinka od −π do π i półprostej od π do π − i∞.
Podstawiając we wzorze Schlömilcha t = %eiϑ i biorąc za C krzywą
złożo-ną z półprostej od −∞ do −1, okręgu o promieniu 1 obieganym przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, i półprostej od −1 do −∞ (gdzie funkcje pod-całkowe interpretujemy jak we wzorze Hankela), otrzymujemy
Jν(x) = 1 2π 2π Z 0
cos(x sin ϑ − νϑ) dϑ − sin(νπ)
π ∞ Z 1 exp −1 2x % − 1 % ! %−ν−1d%, (3)Oscar Xaver Schlömilch (1823 – 1901), matematyk niemiecki
co po podstawieniu % = eα daje Jν(x) = 1 2π 2π Z 0
cos(x sin ϑ − νϑ) dϑ − sin(νπ)
π ∞ Z 0 exp(−x sinh α − να) dα.
3.3
Wzór na dodawanie
Rozważmy wzór (3.19) eix sin ϑ= ∞ X n=−∞ Jn(x)einϑ,Ponieważ po podstawieniu z = eiϑ do wzoru (3.19) otrzymujemy
exp 1 2x z − 1 z ! = ∞ X n=−∞ Jn(x)zn,
funkcję po lewej stronie powyższego wzoru nazywamy funkcją tworzącą (dla) funkcji Bessela pierwszego rodzaju.
Dalej, zachodzi
∞
X
n=−∞
Jn(x + y)einϑ = ei(x+y) sin ϑ = ∞ X n=−∞ Jn(x)einϑ ! ∞ X n=−∞ Jn(y)einϑ ! .
Porównując współczynniki przy einϑ otrzymujemy następujący wzór na do-dawanie: (3.20) Jn(x + y) = ∞ X m=−∞ Jm(x)Jn−m(y).
3.4
Rozwinięcie Fouriera–Bessela
Niech f : (0, a) → R, gdzie a > 0, będzie daną funkcją. Chcemy przedstawić funkcję f w postaci szeregu
(3.21) f (x) = ∞ X m=1 cmJνjν,mx a , 0 < x < a, ν > −1,
gdzie jν,m oznacza m-te dodatnie miejsce zerowe funkcji Bessela pierwszego
Lemat 3.4. Przy oznaczeniach jak powyżej, zachodzi a Z 0 xJν jν,m x a Jν jν,n x a dx = 0, m 6= n, oraz a Z 0 xJν2jν,n x a dx = a 2 2 J 2 ν+1(jν,n).
Dowód. Niech α 6= β będą liczbami rzeczywistymi. Oznaczmy uα(x) := Jν(αx), uβ(x) := Jν(βx). Funkcje uα i uβ spełniają równania różniczkowe
u00α(x) + 1 xu 0 α(x) + α2− ν 2 x2 uα(x) = 0, u00β(x) + 1 xu 0 β(x) + β2−ν 2 x2 uβ(x) = 0.
Odejmując drugie z równań pomnożone przez xuα od pierwszego
pomnożo-nego przez xuβ i całkując wynik od 0 do a otrzymujemy
(α2− β2) a Z 0 xuαuβdx = x(uαu0β − uβu0α) a 0, co daje (3.22) a Z 0 xJν(αx)Jν(βx) dx =
aβJν(αa)Jν0(βa) − aαJν(βa)Jν0(αa)
α2− β2 ,
o ile ν > −1. Biorąc α = jν,m/a i β = jν,n/a, otrzymujemy pierwszy wzór w
tezie lematu.
Dalej, dążąc z β do α otrzymujemy ze wzoru (3.22), wykorzystując regułę de l’Hôpitala i równanie Bessela (3.1), że
a Z 0 xJν2(αx) dx = a 2 2 (J 0 ν) 2(αa) − 1 αaJ 0 ν(αa)Jν(αa) + 1 − ν 2 α2a2J 2 ν(αa) ! . Wzór (3.3) daje a Z 0 xJν2jν,n x a dx = a 2 2(J 0 ν) 2(j ν,n) = a2 2J 2 ν+1(jν,n).
W świetle powyższego lematu, współczynniki cm w (3.21) wyrażają się formalnym wzorem (3.23) cm = 2 a2J2 ν+1(jν,n) a Z 0 xf (x)Jν jν,n x a dx.
Szereg (3.21) ze współczynnikami wyliczonymi według wzoru (3.23) nazywa-my szeregiem Fouriera–Bessela funkcji f .
Zachodzi następujące (przykładowe) twierdzenie:
Twierdzenie 3.5. Załóżmy, że f : (0, a) → R jest taką funkcją, że
a
Z
0
q
ξ |f (ξ)| dξ < ∞.
Niech x ∈ (0, a) będzie takie, że dla pewnych δ > 0 i C > 0 zachodzi
f (ξ) − f (x) ξ − x ¬ C gdy 0 < |ξ − x| < δ. Wówczas szereg ∞ X m=1 cmJν jν,m x a ,
gdzie współczynniki cm są dane wzorem (3.23), jest zbieżny do f (x).
3.5
Informacje o innych funkcjach Bessela
Funkcje Bessela trzeciego rodzaju (lub funkcje Hankela) definiujemy wzorem
Hν(1)(x) := Jν(x) + iYν(x), Hν(2)(x) := Jν(x) − iYν(x).
Zmodyfikowane funkcje Bessela to
Iν(x) := ∞ X m=0 1 Γ(ν + 1 + m) m! x 2 !ν+2m , czyli
Iν(x) = e−iνπ/2Jν(ix).
Zmodyfikowane funkcje Bessela są rozwiązaniami równania różniczkowego (3.24) x2u00(x) + xu0(x) − (x2+ ν2)u(x) = 0.
Inne rozwiązanie powyższego równania otrzymuje sie w następujący sposób: dla ν nie będących liczbami całkowitymi definiujemy
Kν(x) := π
2
I−ν(x) − Iν(x)
sin (πν) ,
i przedłużamy na całkowite ν poprzez przejście graniczne. Funkcje Kν
nazy-wamy funkcjami Macdonalda.(5)
3.6
Informacje o przekształceniu Hankela
Transformatą Hankela rzędu ν, gdzie ν −1/2, funkcji całkowalnej f : (0, ∞) → R nazywamy funkcję Fν(y) := ∞ Z 0 x Jν(xy) f (x) dx.
Można udowodnić, że jeśli transformata Hankela funkcji całkowalnej też jest całkowalna, to transformata Hankela tej transformaty jest równa wyjściowej funkcji.
Powyższa własność dotyczy funkcji interpretowanej jako klasa równoważ-ności. Okazuje się, że przy mocniejszych założeniach można ją interpretować punktowo. Mianowicie, jeśli f : (0, ∞) → R jest kawałkami ciągła, ma waha-nie skończone na każdym zwartym podprzedziale półprostej (0, ∞), oraz
∞ Z 0 √ x |f (x)| dx < ∞, to równość f (x) = ∞ Z 0 y Jν(xy) ∞ Z 0 ξ Jν(yξ) f (ξ) dξ ! dy
zachodzi dla wszystkich punktów ciągłości x funkcji f .
