FUNKCJE BESSELA 1

Transformaty Całkowe i Wstęp do Teorii Dystrybucji, MiNI PW, rok akad. 2019/20 1

12. FUNKCJE BESSELA

1. Wykazać, że funkcje Bessela I-go rodzaju Jν, tzn.

Jν(x) =

∞

X

k=0

(−1)^k

Γ(k + 1)Γ(k + ν + 1)

x 2

ν+2k

, x ∈ C, ν ∈ Z,

są rozwiązaniami równania Bessela w C \ {0}

u⁰⁰(x) + 1

xu⁰(x) + 1 −ν² x²

!

u(x) = 0.

2. Wykazać, że dla ν ∈ Z oraz x ∈ C \ {0} zachodzą poniższe własności a) d

dx(x^νJν(x)) = x^νJν−1(x), b) d

dx x^−νJ_ν(x)
= −x^−νJ_ν+1(x), c) J_ν−1(x) + J_ν+1(x) = 2ν

x J_ν(x), d) J_ν−1(x) − J_ν+1 = 2J_ν⁰(x).

3. Niech Ω = B(0, 1) ⊂ R². Rozwiązać zagadnienie dla funkcji u = u(t, x, y):

a) stygnięcie walca: ut= ∆u dla (x, y) ∈ Ω, t > 0, u(t, x, y) = 0 dla (x, y) ∈ ∂Ω, t > 0, u(0, x, y) = 1 − (x²+ y²) dla (x, y) ∈ Ω;

b) stygnięcie walca: u_t= ∆u dla (x, y) ∈ Ω, t > 0, u(t, x, y) = 0 dla (x, y) ∈ ∂Ω, t > 0, u(0, x, y) = 1 − (x²+ y²)² dla (x, y) ∈ Ω;

c) nagrzewanie powierzchni bocznej walca:

ut= ∆u dla (x, y) ∈ Ω, t > 0,

u(t, x, y) = V > 0 dla (x, y) ∈ ∂Ω, t > 0, u(0, x, y) = 0 dla (x, y) ∈ Ω.

Wskazówka. Warto w powyższych przykładach przejść do współrzędnych biegunowych i zastosować metodę rozdzielenia zmiennych.