Kwantyzacja ładunku

Elektrostatyka – dziedzina fizyki zajmująca się oddziaływaniami pomiędzy nieruchomymi

ładunkami elektrycznymi. Oddziaływania te zwane są

elektrostatycznymi. Elektrostatyka rozpatruje też ładunki poruszające się, o ile pomija się wszystkie efekty wynikające z ruchu ładunków z wyjątkiem zmiany ilości ładunku.

Elektryzowanie ciał przez tarcie, dotyk i indukcję. Elektryzowanie ciał może zachodzić przez:

tarcie, dotyk lub indukcję. Elektryzowanie przez tarcie polega na przejściu elektronów z jednego ciała na drugie. Ciała elektryzują się różnoimiennie.

Kwantyzacja ładunku

Każdy elektron ma masę = m_e i ładunek = -e Każdy proton ma masę = m_p i ładunek = e Ładunek elementarny: e=1,602·10^-19 C

Każdy inny ładunek jest wielokrotnością ładunku elementarnego |Q|= Ne

Prawo (zasada) zachowania ładunku

Całkowity ładunek układu odosobnionego, tzn. algebraiczna suma dodatnich i ujemnych ładunków występujących w dowolnej chwili, nie może ulegać zmianie: Q_całk=const

foton

pozyton

elektron

Rozpad promieniotwórczy jądra

23892𝑈 ՜ ²³⁴₉₀𝑇ℎ + ₂⁴𝐻𝑒

Proces anihilacji elektronu e^- i antycząstki pozytonu e⁺: e^- + e⁺ → g + g

Prawo Coulomba

Charles Augustinde Coulomb

1736-1806

21 12

0 2

2 1 2

2 1

4 1

F F

r k q k q

r F q F q











  

r r q k q

r r q k q

F ˆ

2 2 1 3

2

1



 



Pole elektrostatyczne a pole grawitacyjne

r r q k q

F ˆ

2 2



 r

r m G m

F ˆ

2 2



 

Prawo Coulomba Prawo Newtona

Siła grawitacyjna vs siła Coulomba

m_e = 9.1 10^-31 kg M_p = 1.7 10^-27 kg r_B = 5.3 10^-11 m

k = (4₀)^-1 = 9x10⁹ Nm²/C² G = 6.67x10^-11 m³/(kg s²⁾

F

 1.02 10

N F

 2.3 10

N

10

26 .

2 



g C

F

F

Zasada superpozycji

q

q

q

q

q

F

F

F

F





i

i

tot

F

F

1





Definicja wektora natężenia pola elektrycznego

q E F

 

   ^ _ ^ _ ^

m E V

Dla ładunku punktowego

r r k Q q

r r q k Q

q

E F ˆ ˆ

2

2 





 

Dla dyskretnego rozkładu ładunku

r r k q z

y x E

N

i i

i

ˆ )

, , (

1

2 0



 

Dla ciągłego rozkładu ładunku

dq dL

dQ dS

dQ dV

dQ

z y x r r

dz dy dx z y z x

y x E r r

k dQ E

d

V

























 ,

,

, ) ,

, , ) (

, ,

ˆ ( ^{' ' '}₂ ^{' ' ' 2 2 2 2}

2





Energia potencjalna ładunku w polu elektrostatycznym

Każdy ładunek elektryczny umieszczony w polu elektrycznym posiada energię potencjalną, wynikającą z oddziaływania ładunku z tym polem.

Energia potencjalna ładunku w nieskończonej odległości od źródła pola jest równa zeru.

Energia potencjalna ładunku q w punkcie leżącym w skończonej odległości r od źródła pola równa jest najmniejszej pracy, jaką musi wykonać siła zewnętrzna (równoważąca siłę, z jaką pole elektryczne działa na ten ładunek) przy przeniesieniu go z nieskończoności, do tego punktu

 

 

r q k Q r d F W

E

r r

p









   



Potencjał pola elektrycznego

Stosunek energii potencjalnej ładunku w polu elektrycznym do wartości tego ładunku nazywamy potencjałem pola elektrycznego w danym punkcie pola i oznaczamy przez V

  r

k Q q

r E

V 



Dla ładunków punktowych wzór ten jest prawdziwy dla r ≥ 0.

Dla ładunków ciągłych o rozkładzie sferycznym wzór ten jest prawdziwy dla r ≥ R.

Dla innych rozkładów ładunku wzór ten jest prawdziwy dla r >> R.

Potencjał elektryczny podlega zasadzie superpozycji. Zatem jeśli pole wytworzone jest przez n ładunków, potencjał pola wypadkowego w danym punkcie jest równy sumie potencjałów pochodzących od poszczególnych ładunków.

Związek potencjału pola z natężeniem pola

V z k

j V y i V

x E V

z E V

y E V

x E V

z y x V

V



 



 







 



 



 





 

 

 

 

 







ˆ ˆ ˆ

, ,

) , , (



Potencjał w danym punkcie pola równy jest liczbowo pracy jaką wykonują siły pola przy przesunięciu jednostkowego ładunku dodatniego z tego punktu do nieskończoności.

) (

pB pA

p

V V

q E

E W

q V E











Linie pola, płaszczyzny ekwipotencjalne, potencjał

http://open.agh.edu.pl/course/view.php?id=100

Strumień natężenia pola elektrycznego (I)







A

s

d

E  

Strumień natężenia pola elektrycznego (II)

Ładunek punktowy

E E

E E

0 2

2 0

2

4

4 4 1

 

  R ^q

R R q

E     





q

Strumień natężenia pola elektrycznego (III): prawo Gaussa

Całkowity strumień pola elektrycznego przez powierzchnię zamkniętą zależy wyłącznie od ładunku elektrycznego zawartego wewnątrz tej powierzchni. Powierzchnię tę nazywamy powierzchnią Gaussa

0 0





wew S

wew

s Q d E

Q

 ^





 

• Powierzchnia Gaussa jest tworem hipotetycznym, matematyczną konstrukcją myślową,

• Jest dowolną powierzchnią zamkniętą, lecz w praktyce powinna mieć kształt związany w symetrią pola,

• Powierzchnię Gaussa należy tak poprowadzić aby punkt, w którym obliczamy natężenie pola elektrycznego leżał na tej powierzchni.

Strumień natężenia pola elektrycznego (IV): prawo Gaussa Jednorodnie naładowana powierzchnia kuli

R Gęstość powierzchniowa 

Dla punktów wewnątrz sfery: E = 0



 ^

A

ds S

d

E 



 1



2 0

0 2

2

4 1

4 1 4

r E q

R r

E dS

E dS

E S

d E

S S

S



 













  

 ^{ }

Strumień natężenia pola elektrycznego (V): prawo Gaussa Jednorodnie naładowana kula

R



 

   



0 2

3 4

4 r 1 R

E

Dla punktów na zewnątrz kuli:

2 0

3

1

3 r

E  R 







 



3

4 R

q

Strumień natężenia pola elektrycznego (VI): prawo Gaussa Jednorodnie naładowana kula

R

Gęstość objętościowa 

Dla punktów wewnątrz kuli:

r



 



 

3 0

2

0

3 4 4 1

1

r r

E

dV S

d E

S S



 

 ^{ }

3 



E  r

Strumień natężenia pola elektrycznego (VII): prawo Gaussa

Jednorodnie naładowana kula

Jednorodnie naładowana

powierzchnia kuli

Przewodniki w polu elektrycznym

Objętość przewodnika i jego powierzchnia stanowią obszary ekwipotencjalne.

Niezrównoważone ładunki elektryczne rozłożone są jedynie na powierzchni przewodnika.

𝑉 = ¹

4𝜋𝜀₀ 𝑞

𝑟 = ¹

4𝜋𝜀₀

𝜎∙4𝜋𝑟² 𝑟 =^𝜎∙𝑟

𝜀₀ ֜ 𝜎 = 𝑉 ^𝜀0

𝑟

Feynman 1964, Bolton 1974

A. Boularas et. al, Journal of Applied Physics 116(084106):1-11

Generator Van de Graaffa

(1901 – 1967)

Robert JemisonVan de Graaff

Zastosowania „prostych” układów elektrostatycznych

acrylonitrile-butadiene-styrene (ABS) high impact polystyrene (HIPS)

Pojemność elektryczna

Zgromadzony ładunek jest proporcjonalny do potencjału (różnicy potencjałów)

1F = 1C/1V

V U U

C q V

C q V

C q   

 



CU q

V C q

CV

q    

Stała proporcjonalności C nosi nazwę pojemności elektrycznej

Kondensator (I)

Kondensator – urządzenie przeznaczone do magazynowania energii w postaci pola elektrycznego

Kondensator gromadzi duży ładunek przy niewielkiej różnicy potencjałów

Kondensator (II)

+q -q d

S

S q S

E   q  





 ,

0 0

d S S d

q q U

C q

S d d q

E U

0

0 0

















Kondensator płaski

Kondensator (III)

Kondensator cylindryczny

a b

L a

b L q

q U

C q

a b L a q

L b r q

L dr q

r L dr q

L r Edr q

r d E U

L r E q

q ES L

r S

b a b

a b

a b

a b

a

ln 2 2 ln

2 ln )

ln 2 (ln

2 ln 1

2 2

2 2

0

0

0 0

0 0

0

0 0































 









































Kondensator kulisty

a b

ab ab

a b q

q U

C q

ab a b q a

b q

r dr q

r dr q

r Edr q

r d E U

r E q

r E q

r S

b

a b

a b

a b

a b

a

 

 



 



 



 

 



 



























































 





4 4

4 1

1 4

1 4

1 4

4 4 4 4

0

0

0 0

0 2

0 2

0

2 0 2

0 2

 

Połączenia kondensatorów





































































n

j j

n

n

j j

n n

j j n

Z

n n n

j j n

C C

C C C

C q C

q C

q C U q U

U C U

U q

C U q C

U q C

q C U q

const q

U U

U U U

2 1 1 1

2 1 1 1

2 1

2 2 1

1 1 1

1 2

1

1 ... 1

1 1 1

...

...

,..., ,

...

Połączenie szeregowe

 

n Z

n

j

Z j

n n

n

j j

n n

C C

C C C

U C U

C C

C U C U C

U C U q q

C U q C

U q C U q

const U



















































...

...

...

..., , ,

2 1 1

2 1 2

1 1

2 2

1 1

Połączenie równoległe

Dielektryk w polu elektrycznym

Pojemność kondensatora z dielektrykiem

0 0 0

0 



 ^{ }





s



 

 







 

 















1 1 1 1

0 0

0 0

Q Q

A E Q

E

A Q E Q

Q A Q

E S d E

P

P P

s

d C S

C  

  

d C





Energia zgromadzona w kondensatorze

q_e

  E Sd

d d E

Ed S d

S C

E U

Ed d U

C S C

E U

QU C

U C

Q q

qdq C dq C

C E q

C U q

dq q U E

dq q U dE

p p

Q Q Q

P

Q P P

2 2

1 2

1 2

, ,

2 ,

2 2

2 2

1 1

) ( )

(

2 2 0

0 2 0 2

2

0 2

2 2

0 2

0 0

0















































