WYKŁAD 1 Algebra

Algebra

WYKŁAD 1

Realizacja przedmiotu

Wykład 30 godz.

Ćwiczenia 15 godz.

Regulamin zaliczeń:

www.mini.pw.edu.pl/~figurny

Program zajęć

Liczby zespolone Algebra macierzy

Układy równań liniowych Geometria analityczna

ALGEBRA - LITERATURA

Jurlewicz Teresa, Skoczylas Zbigniew, Algebra liniowa 1, Przykłady i zadania, GIS, 2004

Jurlewicz Teresa, Skoczylas Zbigniew, Algebra liniowa 1, Definicje, Twierdzenia, Wzory, GIS, 2004

Krysicki W., Włodarski L. Analiza matematyczna w zadaniach, PWN, 2000.

Nawrocki J. Matematyka, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, 2002.

Klukowski J., Nabiałek I., Algebra dla studentów, WNT, 2006 Nabiałek I., Zadania z algebry liniowej, WNT, 2006

Otto E. (red.), Matematyka dla wydziałów budowlanych i mechanicznych, Tom 1, PWN, 1978

Otto E. (red.), Matematyka dla wydziałów budowlanych i mechanicznych, Tom 2, PWN, 1980

Stankiewicz W., Zadania z matematyki dla wyższych uczelni technicznych.

Część A i B, PWN 2006

Gdowski B., Pluciński E., Zadania z rachunku wektorowego i geometrii analitycznej, PWN, 1974

Algebra - dziedzina matematyki, będąca początkowo teorią rozwiązywania równań, obecnie zajmuje się własnościami działań określonych na pewnych zbiorach oraz

strukturą tych zbiorów

Liczby zespolone

 Definicja

Niech a, b



R . Parą uporządkowaną o poprzedniku a i następniku b nazywamy zbiór {{ a }, { a , b }} _.

Oznaczamy ją w skrócie ( b a , ) _.

 Definicja

Zbiór wszystkich par uporządkowanych nazywamy

iloczynem (produktem) kartezjańskim zbioru R przez R i oznaczamy symbolem R  R .

Uwaga

) , ( )

,

( a b  c d _ ( a  c  b  d )

Liczby zespolone

 Definicja

Dla dowolnych par

( a , b )  ( c , d )

definiujemy działania:

 dodawania

) ,

( ) , ( ) ,

( a b  c d  a  c b  d

 mnożenia

) ,

( )

, ( ) ,

( a b  c d  ac  bd ad  bc

 Definicja

Zbiór

R  R

z działaniami dodawania i mnożenia elementów nazywamy zbiorem liczb zespolonych.

Oznaczamy go symbolem

C.

Jego elementy nazywamy liczbami zespolonymi i oznaczamy symbolami

z

₁

, z

_2, …

Liczby zespolone

Przykład

Obliczyć sumę i iloczyn liczb zespolonych (2,-1) i (3,7) (2, -1) + (3, 7) = (2 + 3, -1 + 7) = (5, 6)

(2, -1)(3, 7) = ( 2  3  1  7 , 2  7  1  3 ) = (13, 11)

 Definicja

Odejmowaniem liczb zespolonych nazywamy działanie odwrotne do dodawania.

Wynik odejmowania liczb zespolonych nazywamy różnicą liczb zespolonych.

Liczby zespolone

W zbiorze liczb zespolonych o elementach postaci

(a, b) można wyodrębnić podzbiór o elementach

) 0 , (a

Dodawanie i mnożenie liczb postaci (a,0) (a, 0) + (b, 0 ⁾ = (a + b, 0)

(a, 0) (b, 0) = (ab, 0)

Element neutralny dodawania -

(0, 0)

Element neutralny mnożenia -

(1, 0)

Element przeciwny do

(a,0)

^{- -}

(a, 0)

Element odwrotny do

(a,0)

^-

1 , 0 )

( a

^dla

(a, 0)  (0, 0).

Liczby zespolone

Wyodrębniony podzbiór zbioru liczb zespolonych

ma względem dodawania i mnożenia jego elementów analogiczne właściwości jak zbiór

R

liczb rzeczywistych.

Dlatego liczby zespolone postaci

(a, 0)

są utożsamiane z liczbami rzeczywistymi

.

W szczególności liczba

(0, 0)

jest utożsamiana z zerem rzeczywistym.

Uwaga

Liczby

(0, b)

różnej od zera zespolonego, nie można w analogiczny sposób utożsamić z żadną liczbą

rzeczywistą^.

Liczby zespolone

 Definicja

Liczbę

(0,1)

nazywamy jednostką urojoną i oznaczamy symbolem

i

.

1 )

1 , 0 ( ) 1 , 0

2

 i  i  (   

i

Stąd

2

  1 i

Uwaga

Nie istnieje liczba rzeczywista, której kwadrat byłby liczbą ujemną!

Liczby zespolone

Ponieważ

(a, b) = (a, 0) + (0, b) oraz (0, b) = (0, 1)(b, 0)

każą liczbę zespoloną z = (a, b) można zapisać w postaci kanonicznej (algebraicznej, kartezjańskiej, Gaussa)

z = a + bi

a R - część rzeczywista liczby zespolonej z, - oznaczenie a = Re z (czyt. realis z)

b



R - część urojona liczby zespolonej z, - oznaczenie b = Im z (czyt. imaginalis z)

Liczby zespolone

Działania wykonywane na liczbach zespolonych w postaci kartezjańskiej podlegają tym samym prawom, jakie stosujemy przy przekształcaniu

wyrażeń algebraicznych (wyłączanie przed nawias, redukcja wyrazów podobnych, wzory skróconego mnożenia itp.).

Wykorzystujemy przy tym fakt, że i

²

  1 _.

Liczby zespolone

Przykłady

       

       

  

 ^{ac id bd ac}   ^{iad i ad ibc bc}  ^{i bd}

c ib a

d b

i c

a id

c ib

a

d b

i c

a id

c ib

a



















































2

Liczby zespolone

Potęgi jednostki urojonej

Inaczej zapisane

Wyznaczanie

i

ⁿ

^dla

n  N

1.

^Dzielimy

n

^przez

4 (

ponieważ wartości potęg

i

powtarzają się cyklicznie co

4).

2.

^Niech

r

będzie resztą

z

^dzielenia

,

wówczas

i

ⁿ

= i

^r

.

3. Jeżeli reszta wynosi

0

to

i

ⁿ

=1,(

ponieważ

i

⁰

=1).

1 1

...

1 1

8 4

7 3

6 2

5 1

























i i

i i

i i

i i

i i i

i

...

1 1

1

1 ^{3 4 5 6 7 8}

2

1 i i   i  i i  i i i   i i i 

i

Liczby zespolone

Przykłady

a) i

¹²

= 1

b) i

⁶⁷

= –i

c) 4 + i

³

= 4 + (–i) = 4 – i

d) 4i

⁴

– 2i

²

+ i = 4(1) – 2(–1) + i = 4 + 2 + i = 6 + i

Liczby zespolone

 Definicja

Modułem liczby zespolonej

z = a + bi,

oznaczanym przez |

z

|, nazywamy rzeczywistą liczbę nieujemną, będącą pierwiastkiem sumy kwadratów części

rzeczywistej i części urojonej tej liczby

2

|

2

|

z  a b

Przykłady

  ^{4 5 ,}

3

| 4 3

|

. 0

| 0

|

, 1

|

|

, 1

| 1

|

2

 

2













i i

Liczby zespolone

 Definicja

Liczbą sprzężoną z liczbą

z  a  bi ,

nazywamy liczbę postaci

a  bi i oznaczamy

. bi a

z  

Dwie liczby, z których jedna jest sprzężona z drugą

,

nazywamy liczbami sprzężonymi

.

Wnioski



Liczby sprzężone mają równe moduły

|

|

|

| z  z

 Iloczyn liczb sprzężonych jest równy kwadratowi ich wspólnego modułu

Liczby zespolone

Ostatni wzór można zapisać w postaci

 ^{a bi}  ^{a bi} 

b

a

²



²

  

Zatem w zbiorze liczb zespolonych sumę kwadratów

można rozłożyć na iloczyn czynników pierwszego stopnia.

Przykład

   ^{x i x i}

x

²

 1   

Liczby zespolone

Dzielenie liczb zespolonych

Jeśli

z

₁

 a  bi , z

₂

 c  di oraz z

₂

 0

_{, to}

2 2

2 1 2

2 2 1 2

1

|

| z z z z

z z z z

z  

Po rozpisaniu

  

      

2

2

d

c

bc ad

i bd

ac id

c id c

id c

ib a

id c

ib a







 







 





Liczby zespolone

Przykład

i i

i i

i

i i

i

i i i

i i i

5 3 10

13 20

12 26

4 8

8 16

10 20

8 16

2 4

2 4

2 4

5 4

2 4

5 4

2 2



 

 











 

 





 



Liczby zespolone

Przykłady

  

i i i

i i

25 11 25

2 4

3

4 3

2 4

3 2

2

2

 





 





  

i i i

i i

i    



 

 1

2 2 2

2 1

1 1 2

1 2

2 2

i i i

i

i  





 

) ( 1

Liczby zespolone

2 1

2

1

z z z

z   

2 1

2

1

z z z

z    z

z )  (

2 1

2

1

z z z

z   

R z

z

z   

|

|

|

|

|

| z

₁

 z

₂

 z

₁

 z

₂

Podstawowe własności

Liczby zespolone

|2

| z c id

ib z a



  Przykład

Obliczyć jeżeli

Metoda I

) /(

) (

|

| /

|

|

|

| z ² aib ² cid ² a² b² c² d²

Liczby zespolone

Przykład (c. d.)

Metoda II

2 2

2

) 2

)(

(

) )(

( ) (

) (

d c

ad i bc

d c

bd ac

id c

id c

id c

ib a

id c

ib z a



 



 







 



 

2 2 2

2 2

2 2

2

) (

) (

) ) (

Im(

) Re(

|

| c d

ad bc

bd z ac

z

z 





 





2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

2

) (

) 2

( ) 2

(

d c

d a abcd c

b d

b abcd c

a











 

2 2

2 2

2 2 2

2 2

2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

2 2

2

) (

) (

) (

)

( c d

b a

d c

d c

b d

c a d

c

d a c

b d

b c

a



 







 







 

Liczby zespolone

Zadanie

Niech

z

₁

  2  3 i

i

z

₂

 1  4 i

_,

Wyznaczyć

(a)

z

1

 2z

2 (b)

z

2

 iz

1 (c)

z

1

z

2 (d)

2 1

z z

Zadanie

Zapisać w postaci kanonicznej

(a) gdzie z i

z

z  





, 1

2 2

(b)

 





2 sin 2

cos 1

2 sin 2

cos 1

i i









1

Liczby zespolone

ALGEBRA 28

INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA LICZB ZESPOLONYCH

Rozważmy płaszczyznę z wyróżnionym układem

współrzędnych prostokątnych. Każdy punkt płaszczyzny jest opisany w sposób jednoznaczny za pomocą pary

(uporządkowanych) współrzędnych.

Zatem każdej liczbie zespolonej

z = x + iy,

^można

przyporządkować punkt o współrzędnych

(x

^,

y).

P

z = x + iy

x y

O

Im

Re

|z| = r

θ

φjest kątem skierowanym pomiędzy osią Re i wektorem OP

φ

|z| jest odległością punktu P od środka układu

Liczby zespolone

Im

Re r = |z|=1

O i

-1 1

-i

Ważne liczby

Liczby zespolone



z Im

Re r = |z|

z

O

Ważne liczby

Liczby zespolone

Im

z₁

Re z₁+ z₂

z₂ O

Działanie dodawania w liczbach zespolonych odpowiada dodawaniu wektorów

Liczby zespolone

Podobnie jak punkt na płaszczyźnie, liczbę zespoloną

z  0 możemy reprezentować przez parę   ^{z ,  .}

Jest to przedstawienie liczby we współrzędnych biegunowych.

P

z = x + i y

x y

O

Im

Re e



|z|

Liczby zespolone

Jeżeli liczba zespoloną z jest reprezentowana przez

parę   ^{z ,  , to kąt φ nazywamy argumentem liczby z}

i oznaczamy arg z.

Argument spełniający nierówność 0  arg z < 2 , ( lub równoważnie -  < arg z   ^{) nazywamy}

argumentem głównym i oznaczamy Arg z.

Uwaga

 ^{Dla liczby} z = 0 argumentu nie definiuje się .

 Liczby rzeczywiste dodatnie mają argument główny równy 0, zaś liczby ujemne .

Liczby zespolone

Liczbę zespoloną z  0 ^możemy przedstawić w postaci

 ^{cos  sin } 

| )

|

| ( |

|

| i r i

z b z

z a bi

a

z      

gdzie

r

^–

moduł liczby zespolonej,



^–

argument liczby zespolonej.



Definicja

Przedstawienie

 ^{cos  i sin } 

r

z  

nazywamy postacią trygonometryczną liczby zespolonej z.

Liczby zespolone



Przykład

Znaleźć postać trygonometryczną liczby z  3  i

2 1

3  



 z

r

 

 



k 6 2

2 sin 1

2 cos 3







 



 







 

  



 sin 6

cos 6 2

3  

i i

Liczby zespolone



Przykład

Znaleźć postać trygonometryczną liczby z = -2+2i.

4 . 3 2

2 2

2 2 8

sin 2

2 2 2

2 2 8

cos 2

, 8 2

) 2 ( 2

2

^{2 2}











 



 

















 















 i

z

 

 



 

  

4 sin 3 4

cos 3

8 i

z

Liczby zespolone