ALGEBRA LINIOWA

(1)

ALGEBRA LINIOWA

I JEJ METODY OBLICZENIOWE 2

Egzamin (pierwszy termin) 23-06-2006

Uwaga: ka˙zdy podpunkt ma warto´s´c 10 punkt´ow, niezale˙znie od stopnia trudno´sci.

1. Niech V

n

= IR[x]

n

b edzie przestrzeni

_,

a liniow

_,

a wielomian´ow rzeczywistych stopnia

_,

≤ n.

Niech φ : V

n

× V

ⁿ

→ IR b edzie form

,

a dwuliniow

_,

a postaci

_,

φ(u, w) = u(1)w(1) −

Z 1

0

u

⁰⁰

(t)w

⁰⁰

(t) dt, a Φ : V

n

→ IR odpowiadaj ac

,

a jej form

_,

a kwadratow

_,

a.

_,

(a) Czy φ jest iloczynem skalarnym w V

n

?

(b) Jak wygl ada posta´c kanoniczna Sylwestra macierzy formy Φ w przypadku n = 2?

_,

Wska˙z odpowiedni a baz

_,

e.

_,

2. Niech V

2

= IR[x]

2

b edzie przestrzeni

_,

a z iloczynem skalarnym (

_,

·, ·) takim, ˙ze wielomiany p

1

(t) = (t − 1)/2, p

2

(t) = (t + 1)/2, p

3

(t) = t

²

+ 1 tworz a baz

_,

e ortonormaln

_,

a. Znajd´z:

_,

(c) macierz (Grama) iloczynu skalarnego w bazie 1, x, x

²

,

(d) macierz rzutu ortogonalnego w V

2

na podprzestrze´ n rozpi et

_,

a przez welomiany 1

_,

oraz x, w bazie p

1

, p

2

, p

3

,

(e) obj eto´s´c r´ownoleg lo´scianu rozpi

_,

etego na wektorach 1, x, x

_, ²

. 3. Niech macierz

A =

"

1 2 −2

2 1 2

#

. Znajd´z:

(f) rozk lad SVD macierzy A,

(g) najkr´otsze rozwi azanie r´ownania Ax = b dla b = [1, 2]

_, ^T

,

(h) rozk lad macierzy A na iloczyn macierzy ortogonalnej i tr´ojk atnej g´ornej.

_,

4. (i) Oblicz A

⁵⁰

dla

A =

"

1 1

−1 3

#

.

(k) Znajd´z posta´c Jordana zespolonej macierzy dwudiagonalnej

A =







a b

2

a b

3

· · · · a b

n

a





