Algebra liniowa

Algebra liniowa

Macierze i układy równań liniowych

Własności wyznaczników

∙ det I = 1,

∙ det(AB) = det A ⋅ det B,

∙ det(A

) = det A .

Macierz nieosobliwa

Niech A będzie macierzą kwadratową wymiaru n×n.

Mówimy, że macierz A jest nieosobliwa, gdy jej wyznacznik jest różny od zera, tzn.

W przeciwnym razie macierz nazywamy osobliwą.

det A ≠ 0.

Macierz odwrotna

Niech A będzie macierzą kwadratową wymiaru n×n. Macierz kwadratową A^-1 nazywamy macierzą odwrotną do A, gdy

Z własności wyznaczników wynika, że jeśli A posiada macierz odwrotną, to jest nieosobliwa. Dla macierzy osobliwych nie ma zdefiniowanej macierzy odwrotnej! Zatem, zanim wyznaczy się

macierz odwrotną A^-1 należy sprawdzić, czy wyznacznik macierzy A jest różny od zera.

A ⋅ A

= A

⋅ A = I .

Wyznaczanie macierzy odwrotnej

Niech A będzie macierzą kwadratową wymiaru n×n. Załóżmy, że macierz A jest nieosobliwa. Do wyznaczenia macierzy odwrotnej stosujemy następujący wzór:

gdzie B jest macierzą złożoną z dopełnień algebraicznych Aij

elementów aij macierzy A, tzn.

gdzie Mij jest minorem elementu aij.

A

= 1

det A ⋅ B

,

A

= (−1)

M

,

Wyznaczanie macierzy odwrotnej

Wyznaczenie macierzy odwrotnej do A można podzielić na trzy etapy:

1. Obliczenie wyznacznika detA.

2. Obliczenie wszystkich dopełnień algebraicznych Aij i ustawienie ich w macierz B.

3. Wstawienie powyższych wartości do wzoru:

A⁻¹ = 1

det A ⋅ B^T,

Przykład

A = [

1 0 2 0 3 −1

−2 0 1 ]

1. det A = 1 0 2 0 3 −1

−2 0 1 = 3 + 12 = 15 ≠ 0 2. A₁₁ = (−1)¹⁺¹ 3 −1

0 1 = 3, A₁₂ = (−1)¹⁺² 0 −1

−2 1 = 2, A₁₃ = 6,

A₂₁ = 0, A₂₂ = 5, A₂₃ = 0,

A₃₁ = − 6, A₃₂ = (−1)³⁺² 1 2

0 −1 = 1, A₃₃ = 3.

B = 3 2 6 0 5 0

−6 1 3

Przykład

A = [

1 0 2 0 3 −1

−2 0 1 ]

det A = 15, B = 3 2 6

0 5 0

−6 1 3 , 3.

A⁻¹ = 1

det A ⋅ B^T = 1 15

3 0 −6 2 5 1

6 0 3 =

15 0 − ²₅

152 1

3 1

2 15

5 0 ¹₅

.

Układy równań

liniowych

Układ równań liniowych m-równań, n-niewiadomych

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n = b₁, a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a_2nx_n = b₂, a⋮_m1x₁ + a_m2x₂ + … + a_mnx_n = b_m .

a_ij - współczynniki układu x_j - niewiadome układu b_i - wyrazy wolne układu

A =

a₁₁ a₁₂ … a_1n a₂₁ a₂₂ … a_2n

⋮ ⋮ ⋮

a_m1 a_m2 … a_mn

B =

b₁ b₂ b⋮_m

X =

x₁ x₂ x⋮_n

Układ równań liniowych m-równań, n-niewiadomych

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n = b₁, a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a_2nx_n = b₂, a⋮_m1x₁ + a_m2x₂ + … + a_mnx_n = b_m .

A =

a₁₁ a₁₂ … a_1n a₂₁ a₂₂ … a_2n

⋮ ⋮ ⋮

a_m1 a_m2 … a_mn

B =

b₁ b₂ b⋮_m

X =

x₁ x₂ x⋮_n

Dzięki powyższym oznaczeniom układ można zapisać krótko w postaci macierzowej

AX = B .

Układ równań liniowych m-równań, n-niewiadomych

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n = b₁, a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a_2nx_n = b₂, a⋮_m1x₁ + a_m2x₂ + … + a_mnx_n = b_m .

Rozwiązaniem układu jest każdy punkt x = (x₁, x₂, …, x_n),

dla którego spełnione są jednocześnie wszystkie równania układu.

Ze względu na liczbę rozwiązań dla układów równań liniowych mamy trzy możliwości:

I. Brak rozwiązań, tzn. zbiór punktów x spełniających układ jest pusty.

II. Dokładnie jedno rozwiązanie, tzn. zbiór rozwiązań skłąda się z jednego punktu.

III. Nieskończenie wiele rozwiązań, tzn. zbiór rozwiązań nie składa się ze skończonej liczby punktów, lecz jest ich

nieskończenie wiele.

Układ równań liniowych n-równań, n-niewiadomych

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n = b₁, a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a_2nx_n = b₂, a⋮_n1x₁ + a_n2x₂ + … + a_nnx_n = b_n .

A =

a₁₁ a₁₂ … a_1n a₂₁ a₂₂ … a_2n

⋮ ⋮ ⋮

a_n1 a_n2 … a_nn B =

b₁ b₂ b⋮_n

X =

x₁ x₂ x⋮_n

AX = B .

Jak widać, macierz układu jest teraz macierzą kwadratową, a układ ma postać

Układ równań liniowych n-równań, n-niewiadomych

AX = B

Wynika stąd, że układ n równań z n niewiadomymi

ma dokładnie jedno rozwiązanie, gdy macierz A układu jest nieosobliwa, tzn.

det A ≠ 0.

Rozwiązanie to można wówczas wyznaczyć za pomocą rachunku na macierzach:

X = A⁻¹B .

Układ równań liniowych n-równań, n-niewiadomych

A =

a₁₁ a₁₂ … a_1n a₂₁ a₂₂ … a_2n

⋮ ⋮ ⋮

a_n1 a_n2 … a_nn

B =

b₁ b₂ b⋮_n

Wprowadźmy oznaczenia:

W = det A =

a₁₁ a₁₂ … a_1n a₂₁ a₂₂ … a_2n

⋮ ⋮ ⋮

a_n1 a_n2 … a_nn ,

W_i =

a₁₁ a₁₂ … a_1i−1 b₁ a_1i+1 … a_1n a₂₁ a₂₂ … a_2i−1 b₂ a_2i+1 … a_2n

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

a_n1 a_n2 … a_ni−1 b_n a_ni+1 … a_nn .

Wzory Cramera

Jeśli wyznacznik W jest różny od 0, tzn.

W = det A ≠ 0,

to układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie będące punktem

x = (x₁, x₂, …, x_n),

którego współrzędne xi wyznaczamy na podstawie następujących wzorów Cramera

x_i = W_i

W dla i = 1,2, …, n.

Pozostałe przypadki

Jeśli wyznacznik W jest równy 0, tzn.

W = det A = 0,

natomiast, choć jeden wyznacznik Wi jest różny od 0, tzn.

to układ nie ma rozwiązań. W przeciwnym przypadku, tzn.

jeśli zerują się wszystkie wyznaczniki

W_i ≠ 0 dla pewnego i = 1,2, …, n,

W = 0, W₁ = 0, …, W_n = 0, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Przykład

= 3 ^I

A + 2

B

II

= 4 ^I + 5 ^II

Ile jednostek produktów I i II wytworzymy dysponując zasobami surowców A i B w ilościach 21 i 42 jednostek odpowiednio?

{3x₁ + 2x₂ = 21 4x₁ + 5x₂ = 42

W = 3 24 5 = 7 ≠ 0, W₁ = 21 242 5 = 21, W₂ = 3 214 42 = 42.

x₁ = W₁

W = 217 = 3, x₂ = W₂

W = 427 = 6.

Układy nierówności liniowych

W wielu zastosowaniach ekonomicznych: planowania

optymalnej produkcji, w zagadnieniach transportowych,

wyborze optymalnego portfela inwestycyjnego, planowania przydziału godzin pracy, planowania strategii rozdziału

środków finansowych, planowania wielkości zapasów magazynowych w firmie, problemach diety, mieszania,

żywienia, problemach organizacji pracy, organizacji kampanii reklamowej za pomocą różnych mediów stwierdzono, że

umiejętność rozwiązywania układów nierówności liniowych jest niezbędna. Czym są układy nierówności liniowych? Jaka jest interpretacja geometryczna ich rozwiązań?

Układy nierówności liniowych

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n ⩽ b₁, a⋮_m1x₁ + a_m2x₂ + … + a_mnx_n ⩽ b_m,

a_m+11x₁ + a_m+12x₂ + … + a_m+1nx_n ⩾ b_m+1, a⋮_p1x₁ + a_p2x₂ + … + a_pnx_n ⩾ b_p,

a_p+11x₁ + a_p+12x₂ + … + a_p+1nx_n = b_p+1, a⋮_r1x₁ + a_r2x₂ + … + a_rnx_n = b_r .

m nierówności ≤

p - m nierówności ≥

r - p równań

Zastosowanie praktyczne

Dzienna produkcja

Wyroby

Zasoby
 surowców x1 


Wielkość dziennej produkcji wyrobu I

x2 


Wielkość dziennej produkcji wyrobu II

Surowce A 3 2 12

B 4 5 23

Zyski jednostkowe 11 12

3x₁ + 2x₂ ⩽ 12, 4x₁ + 5x₂ ⩽ 23, x₁ ⩾ 0,

x₂ ⩾ 0.

Zastosowanie praktyczne

3x₁ + 2x₂ ⩽ 12, 4x₁ + 5x₂ ⩽ 23, x₁ ⩾ 0,

x₂ ⩾ 0.

Każdy punkt x = (x1, x2), którego współrzędne spełniają powyższy układ nazywamy rozwiązaniem dopuszczalnym. Zbiór wszystkich rozwiązań dopuszczalnych można przedstawić graficznie w układzie współrzędnych Ox1, Ox2. Zaczynamy od wykreślenia prostych

{3x₁ + 2x₂ = 12, 4x₁ + 5x₂ = 23,

czyli prostych: _{x2 = − 3}

2 x₁ + 6, x₂ = − 45 x₁ + 235 .

Zastosowania praktyczne

x1

x2

4 6

6

4

x₂ = − 32 x₁ + 6,

x₂ = − 45 x₁ + 235 .

Obszar


dopuszczalny

Zastosowanie praktyczne

Dzienna produkcja

Wyroby

Zasoby
 surowców x1 


Wielkość dziennej produkcji wyrobu I

x2 


Wielkość dziennej produkcji wyrobu II

Surowce A 3 2 12

B 4 5 23

Zyski jednostkowe 11 12

Celem nadrzędnym jest maksymalizacja zysku przedsiębiorstwa.

Przy powyższych założeniach należy znaleźć punkt z obszaru

dopuszczalnego dla którego zysk, który wyraża się następującym wzorem

f(x₁, x₂) = 11x₁ + 12x₂,

będzie największy, maksymalny.

Zastosowanie praktyczne

f(x₁, x₂) = 11x₁ + 12x₂,

Oznaczając przez M zysk maksymalny należy znaleźć największe M, czyli prostą

11x₁ + 12x₂ = M,

która przetnie się z obszarem dopuszczalnym w jednym punkcie.

Prosta ta ma postać

x₂ = − 11

12 x₁ + M 12 ,

czyli jest nachylona pod jednakowym kątem do osi Ox1 dla wszystkich M. Na rysunku łatwo znaleźć taką prostą.

Zastosowania praktyczne

x1

x2

4 6

6

4

Obszar


dopuszczalny

M musi być takie, by prosta

x₂ = − 1112 x₁ + M12 ,

przechodziła przez punkt będący rozwiązaniem układu równań

liniowych

{3x₁ + 2x₂ = 12, 4x₁ + 5x₂ = 23.

Zastosowanie praktyczne

Rozwiązaniem układu

jest punkt

(x₁, x₂) = (2,3) . Zatem M musi spełniać równanie

{3x₁ + 2x₂ = 12, 4x₁ + 5x₂ = 23

11 ⋅ 2 + 12 ⋅ 3 = M .

Inaczej mówiąc, maksymalny zysk M = 58 firma uzyska

produkując, przy podanych ograniczeniach zasobów, 2 jednostki wyrobu I oraz 3 jednostki wyrobu II.