Metody Numeryczne

(1)

Metody Numeryczne

Ćwiczenia 12

Całkowanie numeryczne funkcji.

UWAGA !

II Kolokwium dnia 18,19,23.01.2006 na zajęciach.

Materiał: rozwiązywanie równań liniowych

oraz całkowanie.

(2)

Algorytm prostokątów

Przedział całkowania <x_p,x_k> funkcji f(x) dzielimy na n równo odległych punktów x₁,x₂,...,x_n. Punkty te wyznaczamy wg wzoru:

x

_i

= x

_p

+ (x

_k

- x

_p

)

i/n

dla i = 1,2,...,n

Obliczamy odległość między dwoma sąsiednimi punktami - podstawa prostokąta:

dx = (x

_k

– x

_p

)/n

Dla wyznaczonych punktów obliczamy wartość funkcji f(x):

f

_i

= f(x

_i

), dla i = 1,2,...,n

Obliczamy sumę iloczynów wyznaczonych wartości funkcji przez odległość dx między dwoma sąsiednimi punktami - suma pól prostokątów ograniczonych wykresem funkcji:

S = f

₁

dx + f

₂

dx + ... + f

_n

dx

lub

S = dx (f

₁

+ f

₂

+ ... + f

_n

)

Otrzymana suma jest przybliżoną wartością całki oznaczonej funkcji f(x) w przedziale

<x_p,x_k>.

(3)

Algorytm trapezów I

Przedział całkowania <x_p,x_k> funkcji f(x) dzielimy na n+1 równo odległych punktów x₀,x₁,x₂,...,x_n. Punkty te wyznaczamy wg wzoru:

x

_i

= x

_p

+ (x

_k

- x

_p

)

i/n

dla i = 0,1,2,...,n

Obliczamy odległość między dwoma sąsiednimi punktami - podstawa prostokąta:

dx = (x

_k

– x

_{p_}

)/n

Dla wyznaczonych punktów obliczamy wartość funkcji f(x):

f

_i

= f(x

_i

), dla i = 0,1,2,...,n

Pole pod wykresem funkcji przybliżane jest polami n trapezów. Pole i-tego trapezu obliczamy wg wzoru: dla i=1,2,...,n

P

_i

= dx (f

_i-1

+ f

_i

)/2

Przybliżona wartość całki jest sumą pól wszystkich otrzymanych w ten sposób trapezów:

s = P + P + ... + P

(4)

Algorytm trapezów II

Przekształcając uzyskujemy:

Ogólny wzór opisujący przybliżoną wartość całki funkcji metodą trapezów:

(5)

Algorytm parabol-Simpsona I

Dzielimy przedział całkowania i obliczamy wartości punktów x_i oraz odległości między dwoma sąsiednimi punktami dx podobnie jak w metodzie trapezów.

Dla każdych dwóch sąsiednich punktów wyznaczamy punkt środkowy t_i wg wzoru:

t

_i

= (x

_i-1

+ x

_i

)/2

, dla i = 1,2,...,n

Następnie obliczamy wartości funkcji f(x_i) oraz f(t_i) w punktach podziału i środkowych.

f

_i

= f(x

_i

)

, dla i = 0,1,2,...,n oraz f_ti = f(t_i) dla i = 1,2,...,n

W każdym podprzedziale <x_i-1,x_i> przybliżamy funkcję za pomocą paraboli g(x) o następującej postaci:

g

_i

(x) = a

_i

x

²

+ b

_i

x + c

_i

, x

<x_i-1, x_i> dla i = 1,2,...,n Parabola g_i(x) musi przechodzić przez punkty: (x_i-1,f_i-1), (t_i,f_ti), (x_i,f_i).

Współczynniki a_i, b_i i c_i wyznaczymy zatem z układu trzech równań:

dla i = 1,2,...,n

(6)

Algorytm parabol-Simpsona II

Pole pod parabolą w przedziale <x_i-1,x_i> będzie równe całce oznaczonej:

dla i = 1,2,...,n

Po obliczeniach oraz przekształceniach uzyskujemy wzór, który pozwala wyliczyć pole obszaru pod parabolą aproksymującą funkcję f(x) w przedziale <x_i-1,x_i>. Wartość całej całki otrzymamy sumując te pola, czyli:

do obliczeń komputerowych stosujemy efektywniejszy wzór otrzymywania powyższej sumy:

(7)

Zadanie

Wykonać całkowanie dla n=5 **funkcji f(x)= 4.40*sin(x) za**

pomocą algorytmów : prostokątów, trapezów, parabol-

Simpsona w przedziale < 0.30;1.10 >.

(8)

Następne zajęcia

II Kolokwium dnia (18,19,23).01.2006 r.

• na zajęciach

• Materiał: rozwiązywanie równań liniowych oraz całkowanie.

Metody Numeryczne