Metody numeryczne w fizyce

Metody numeryczne w fizyce

FZP002934wcL

rok akademicki 2019/20 semestr letni

Wykład 5

Karol Tarnowski

karol.tarnowski@pwr.edu.pl

L-1 p. 220

• Metody wyznaczania miejsc zerowych

– Metoda bisekcji

– Metoda Newtona i metoda siecznych

• Zagadnienie brzegowe

• Zagadnienie własne

• Metoda strzałów

Plan wykładu

Jeśli f jest funkcją ciągła w przedziale [a,b]

i jeśli f(a)f(b)<0, to funkcja ta musi mieć zero w (a,b).

Metoda bisekcji

Wyznaczamy punkt c = ½(a+b) oraz wartość funkcji f(c)

jeśli f(a)f(c)<0 to jeśli f(b)f(c)<0 to

b = c a = c

Metoda bisekcji

jeśli f(a)f(c)<0 to b = c

Metoda bisekcji

Kryteria zakończenia:

• przekroczenie maksymalnej liczby kroków,

• zadowalająco mały błąd,

• zadowalająco mała wartość funkcji.

Metoda bisekcji

Metoda siecznych

     

1

1

n n

n n n

n n

x x

x x f x

f x f x

 



  



Metoda Newtona

   

1 '

n

n n

n

x x f x

   f x

     

1

1

n n

n n n

n n

x x

x x f x

f x f x

 



  



Układ współrzędnych zawsze można wybrać tak, aby granice obszaru wypadały dla wartości x = 0 oraz x = 1.

Warunki brzegowe:

•

•

•

•

Zagadnienie brzegowe

 



'' , ';

u f u u x

 

u u u

 

 

u u

 

' 0

u v

 

' 0

u v

 

u u

 

' 1

u v

 

' 1

u v

Przykład: drgania podłużne sprężystego pręta.

• pręt obustronnie umocowany

• pręt umocowany jednostronnie

Zagadnienie własne

 

'' , '; , u  f u u x k

  ² ''

u k u

 

u ^u

 

 

u ^{u ' 1}

 

Rozwiązania analityczne dla pręta obustronnie umocowanego

Zagadnienie własne

 

 

n n

u x k x

 

 ²

2

kn n

Stosując podstawienia otrzymujemy

Załóżmy, że warunki brzegowe są postaci:

Metoda strzałów

Zagadnienie brzegowe

 



'' , ';

u f u u x

1 

y u y₂  u '

 





1 2

2 1 2

,

, ; . dy y

dx

dy f y y x dx

 

u  u u

 

Wprowadźmy dodatkowy parametr d i załóżmy, że

Dla ustalonego d jesteśmy w stanie rozwiązać zagadnienie początkowe znanymi metodami.

Rozwiązanie równania różniczkowego daje nam wartość funkcji na drugim brzegu przedziału

Metoda strzałów

Zagadnienie brzegowe

 

' 0 . u  d

 

u_d

 

 

F u u

Miejsca zerowego funkcji

poszukiwać możemy np. metodami:

• bisekcji,

• siecznych.

Metoda strzałów

Zagadnienie brzegowe

 

 

F u u

Metodę strzałów można także wykorzystać do rozwiązania zagadnienia własnego.

W tym przypadku dopasowujemy wartość własną zagadnienia.

Metoda strzałów

Zagadnienie własne

 

 

F k  u  u

Metoda strzałów

Zagadnienie własne

Metoda strzałów

Zagadnienie własne