Metody numeryczne Lista nr 6
rok akademicki 2019/2020, semestr zimowy
Styczeń 2020 r.
całkowanie numeryczne - kwadratury Newtona Cotesa, wzór trapezów, wzór Simpsona
1. Obliczyć pięć cyfr znaczących całkiR00.01x−1sin xdx korzystając z rozwinię- cia funkcji podcałkowej w szereg potęgowy.
2. Znaleźć wzór Newtona-Cotesa dla całki R01f (x)dx i węzłów 0,13,23, 1.
3. Które z niżej podanych wyrażeń równych dokładnie całce R01f (x)dx dla każdego f ∈ Π2 jest lepsze (i w jakim sensie)?
af (0) + bf
1 2
+ cf (1), αf
1 4
+ βf
1 2
+ γf
3 4
.
4. Wzór złożony Simpsona zapisuje się niekiedy w postaci
Z b
a
f (x)dx = 1
3h(f0+ 4U + 2E + fn),
gdzie U = f1 + f3+ . . . + fn−1, E = f2+ f4+ . . . + fn−2, a n jest parzyste.
Wykazać, że powyższy wzór jest równoważny z zastosowaniem wzoru
Z xn+1
xn−1
f (x)dx ≈ 1
3h(fn−1+ 4fn+ fn+1)
gdzie xn = a + nh dla odpowiednich podprzedziałów przedziału [a, b]. In- nymi słowy pokazać, że z drugiego wzoru jesteśmy w stanie wyprowadzić pierwszy.
5. Sprawdzić, że wzór
Z 1
0
f (x)dx ≈ 1 90
7f (0) + 32f
1 4
+ 12f
1 2
+ 32f
3 4
+ 7f (1)
jest dokładny dla f ∈ Π4.
6. Stosując wzór z poprzedniego zadania, obliczyć przybliżoną wartość całki
R1
0(t + 1)−1dt i porównać ją z dokładną wartością, równą log 2.
1
7. Znaleźć wzór przybliżony postaci R01f (x)dx ≈ Af13+ Bf23.
8. Dla [a, b] = [0, 2] znaleźć takie A, B i C, żeby wzór Rabxf (x)dx ≈ Af (0) + Bf (1)+Cf (2) był dokładny dla wielomianów f możliwie wysokiego stopnia.
Jaki jest ten maksymalny stopień?
9. Dla [a, b] = [−1, 3] znaleźć takie A, B i C, żeby wzórRabxf (x)dx ≈ Af (0) + Bf (1)+Cf (2) był dokładny dla wielomianów f możliwie wysokiego stopnia.
Jaki jest ten maksymalny stopień?
10. Jak po zastosowaniu dla pewnego n wzoru złożonego Simposona (pierwszy wzór w zadaniu 4.) obliczyć najmniejszym kosztem wyrażenie, ale z 2n zamiast n.
11. Ile co najmniej podprzedziałów trzeba uwzględnić w złóżonym wzorze tra- pezów , aby obliczyć całkęR12(x + e−x2)dx z błędem mniejszym od 0.5 · 10−7? 12. Przybliżona wartość całki R01e−x2dx obliczona za pomocą złożonego wzoru parabol(Simpsona) dla h = 1/10 wynosi 0.746825. Korzystając ze wzoru na błąd złożonej kwadratury Simpsona wyznaczyć przedział, w którym na pewno znajduje się dokładna wartość tej całki.
2
