Wykład 5.

METODY NUMERYCZNE

Wykład 5.

Całkowanie numeryczne

Plan

• Wzór trapezów

• Złożony wzór trapezów

• Metoda ekstrapolacji Richardsona

• Metoda Romberga

• Metoda Simpsona – wzór parabol

• Metoda Gaussa

Całkowanie numeryczne - idea

∫

=

a

dx ) x ( f I

X Y

f(x)

a b

∫^b

a

dx x f ( )

Całkę można przybliżyć sumą

∑ Δ

=

i

f c

x

S

1

( )

x_i c x_i+1 f(c)

Kwadratury Newtona-Cotesa

Kwadratura Newtona – Cotesa należy do metod z

ustalonymi węzłami, polega na tym, że funkcja f(x) jest interpolowana wielomianem (np. Lagrange’a)

) x ( f )

x (

f ≈

gdzie: _n

n n

n

n

( x ) a a x ... a x a x

f =

+

+ +

+

Wówczas całka z funkcji f(x) może być przybliżana całką z funkcji interpolującej f_n(x) n-tego stopnia

dx x

f dx

x f I

b

a n b

a

∫

∫

= ( ) ( )

Wzór trapezów

Zakładamy n = 1 czyli

f

( x ) = a

+ a

x

dx x

a a

x f x

f I

b a b

a b

a

) (

) ( )

( ≈ ∫

= ∫

+

= ∫

Szukamy współczynników a₀ i a₁ ( ) 2

2 2

1 0

a a b

a b

a − + −

=

Zakładamy, że prosta, która przybliża funkcję f(x) przechodzi przez punkty (a,f(a)) i (b,f(b)). Czyli:

a a a

a f a

f ( ) = ₁( ) = ₀ + ₁

a b

a b f b a a f

−

= ( ) − ( )

0

Wzór trapezów

trapezu pole

dx x

f

b

a

∫ ^{( )} ≈

X Y

f(x)

a b

f_I(x)

⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡ +

−

∫ =

2

) ( )

) ( (

)

( f a f b

a b

dx x

f

b a

f(a) f(b)

Wzór trapezów

t t t

v 9.8

2100 140000

140000 ln

2000 )

( −

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

= −

Przykład 1:

Prędkość rakiety w przedziale czasu od t₁=8 s do t₂=30 s jest opisana wzorem:

a) Przy pomocy metody trapezów znajdź przemieszczenie rakiety w tym przedziale czasu czyli ∆x=x(t₂)-x(t₁)

b) Wyznacz błąd względny odniesiony do wartości dokładnej (ang.

true relative error)

Wzór trapezów

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

−

≈ 2

) ( )

) (

( f a f b

a b

I ^a = ^{8 s} b = 30 s

t t t

f 9.8

2100 140000

140000 ln

2000 )

( −

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

= −

) 8 ( 8 . ) 9

8 ( 2100 140000

140000 ln

2000 )

8

( ⎥ −

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

= − f

) 30 ( 8 . ) 9

30 ( 2100 140000

140000 ln

2000 )

30

( ⎥ −

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

= − f

s 27 m /

.

=177

s 67 m /

.

= 901 a)

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

−

= 2

67 . 901 27

. ) 177 8

30 (

I

= 11868 m

Wzór trapezów

∫ ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

= − Δ ³⁰

8

8 . 2100 9

140000

140000 ln

2000 t dt

x t

= 11061 m

b) Wartość dokładna

11061 100

11868

11061 − ×

=

∈_t = 7.2959 %

Błąd względny:

Złożony wzór trapezów

n a h b −

=

Błąd, jak pokazuje poprzedni przykład, jest zbyt duży. Można zaproponować podział przedziału całkowania na n segmentów,

każdy o długości h.

∫ + ∫ + ∫

∫ +

∫ =

= ⁺

+

+ +

+ +

+ a h

h a

h a

h a

h a

h a h

a a b

a

dx x f dx

x f dx

x f dx

x f dx

x f I

2 3

2

4 3

) ( )

( )

( )

( )

(

dla n=4 ^X

Y

f(x)

a b

4 a a b−

+ ^a+2b−₄^{a a+3b}₄^−a

∫

dx ) x (

f ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧ +

− +

=

∑

=

) b ( f )

ih a

( f )

a ( n f

a

b ^{n 1}

1

2 2

∫

∫

∫

∫

− +

− + +

+

+ + + + +

= ^b

h ) n ( a h

) n ( a

h ) n ( a h

a

h a h

a

a

dx ) x ( f dx

) x ( f ...

dx ) x ( f dx

) x ( f

1 1

2

∫

a

dx ) x ( f

2 ...

) 2 (

) (

2

) (

)

( +

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ + + +

⎥⎦ +

⎢⎣ ⎤

⎡ + +

= f a h f a h

h h a

f a

h f

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ + − +

− +

−

+ 2

) ( )

) 1 (

] ( ) 1 (

( [

... f a n h f b

h n

a b

Złożony wzór trapezów

t t t

v 9.8

2100 140000

140000 ln

2000 )

( −

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

= −

Przykład 2:

Prędkość rakiety w przedziale czasu od t₁=8 s do t₂=30 s jest opisana wzorem:

a) Przy pomocy metody trapezów znajdź przemieszczenie rakiety w tym przedziale czasu czyli ∆x=x(t₂)-x(t₁) przyjmując n=2

b) Wyznacz błąd względny odniesiony do wartości dokładnej (true relative error)

Złożony wzór trapezów

a) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧ ∑ +

− +

= ⁻

= ( ) ( )

2 ) 2 (

1 1

b f ih

a f a

n f a I b

n i

n = 2 a = 8 s b = 30 s s

n a

h b 11

2 8 30 − =

− =

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧ ∑ +

− +

= ⁻

= ( ) (30)

2 )

8 ) (

2 ( 2

8

30 ^{2 1}

1

f ih

a f f

I

i

[

]

4

22 f + f + f

=

[

]

4

22 . + ( . ) + .

=

Złożony wzór trapezów

b)

∫

= ³⁰

8

8 2100 9

140000

140000

2000 . t dt

ln t

x =11061m

wartość dokładna wynosi:

Błąd względny to:

11061 100

11266 11061− ×

=

∈_t =1.8534%

Złożony wzór trapezów

n ∆x E_t

1 11868 -807 7.296 ---

2 11266 -205 1.853 5.343

3 11153 -91.4 0.8265 1.019 4 11113 -51.5 0.4655 0.3594 5 11094 -33.0 0.2981 0.1669 6 11084 -22.9 0.2070 0.09082 7 11078 -16.8 0.1521 0.05482 8 11074 -12.9 0.1165 0.03560

t %

∈ ∈_a %

Złożony wzór trapezów

Błąd bezwzględny metody z pojedynczym segmentem

b a

), (

"

) f a b

E_t ( − ζ < ζ <

= 12

3

gdzie ζ jest punktem w

[ ]

Błąd w metodzie złożonej (wielosegmentowej) jest sumą błędów dla każdego segmentu. Błąd pojedynczego segmentu wynosi:

[ ]

h a

a ), (

"

a f )

h a

E ( + − ζ < ζ < +

= ³ _{1 1}

1 12

) (

"

h f

1 3

12 ζ

=

Analiza błędu dla wzoru trapezów

Podobnie:

[ ]

ih a

h i

a h f

i a ih

E_i a+ − + − ζ_i + − < ζ_i < +

= "( ), ( 1)

12

) ) 1 ( (

)

( ³

) (

"

h f

ζi

= 12

3

dla n:

[ { } ]

b h

) n

( a ), (

"

h f ) n

( a

E_n b − + − ζ_n + − < ζ_n <

= 1

12

1 ³

) (

"

h f

ζn

= 12

3

Analiza błędu dla wzoru trapezów

Całkowity błąd w metodzie złożonej jest sumą błędów pojedynczych segmentów:

∑

= ⁿ

i

i

t E

E

1

∑

=

ζ

= ⁿ

i

i ) (

"

h f

1 3

12 n

) (

"

f n

) a b

(

n i

∑

=

− ζ

= ¹

2 3

12

Wyrażenie

n f

n

i

∑

= =¹

) (

" ζ α

jest przybliżoną średnią wartością drugiej pochodnej w przedziale

a < x < b

2

1 E

∝ α n

Analiza błędu dla wzoru trapezów

Poniższa tablica dla całki ³⁰

∫

8

8 2100 9

140000 140000

2000 . t dt

ln t

przedstawia wyniki w funkcji liczby segmentów n. Widać, że gdy liczba

segmentów jest podwajana, błąd E_t zmniejsza się w przybliżeniu czterokrotnie.

Et ∈_t % ∈_a %

n Value

2 11266 -205 1.854 5.343

4 11113 -51.5 0.4655 0.3594

8 11074 -12.9 0.1165 0.03560

Analiza błędu dla wzoru trapezów

Całkowanie metodą Romberga

Metoda Romberga jest rozszerzeniem metody trapezów i daje lepsze przybliżenie całki poprzez zasadniczą redukcję błędu (true error)

n2

E_t ≅ C

n

t TV I

E = −

Ekstrapolacja Richardsona

Błąd (E_t true error) w n-segmentowym wzorze trapezów wynosi

gdzie C jest współczynnikiem proporcjonalności Stąd:

wartość dokładna (true

wartość przybliżona np.

( )

C

2 2

2 ≅ −

gdy segment zostaje zmniejszony o połowę

3

2 2n n

n

I I I

TV −

+

≅

Ekstrapolacja Richardsona

Można pokazać, że

Ze wzorów:

( )

( )

C

2 2

2 ≅ −

otrzymujemy:

t t t

v 9.8

2100 140000

140000 ln

2000 )

( −

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

= −

Przykład 3:

Prędkość rakiety w przedziale czasu od t₁=8 s do t₂=30 s jest opisana wzorem:

a) Przy pomocy ekstrapolacji Richardsona znajdź przemieszczenie rakiety w tym przedziale czasu czyli ∆x=x(t₂)-x(t₁)

b) Wyznacz błąd względny odniesiony do wartości dokładnej (true relative error)

Ekstrapolacja Richardsona

t %

∈ ∈_a %

n ∆x E_t

1 11868 -807 7.296 ---

2 11266 -205 1.853 5.343

3 11153 -91.4 0.8265 1.019 4 11113 -51.5 0.4655 0.3594 5 11094 -33.0 0.2981 0.1669 6 11084 -22.9 0.2070 0.09082 7 11078 -16.8 0.1521 0.05482 8 11074 -12.9 0.1165 0.03560

Tabela wyników ze złożonego wzoru trapezów do n=8 segmentów

a)

m

I₂ =11266 I₄ =11113m

3

2 2n n

n

I I I

TV −

+

≅ dla n=2

3

2 4 4

I I I

TV −

+

≅ 3

11266 11113

11113 −

+

=

11062m

=

Ekstrapolacja Richardsona

b)

∫ ^⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

= ³⁰ −

8

8 2100 9

140000

140000

2000 . t dt

ln t

x =11061 m

Stąd

11062 11061 −

t

=

E

Ekstrapolacja Richardsona

Wartość dokładna to:

.

c) Błąd względny

11061 100

11062 11061

− ×

=

∈_t = 0.00904%

Ekstrapolacja Richardsona

n ∆x (m)

wzór

trapezów wzór trapezów

∆x (m)

ekstrapolacja

Richardsona ekstrapolacja Richardsona

12 4

11868 11266 11113

7.296 1.854 0.4655

11065-- 11062

0.03616-- 0.009041 Porównanie wyników z metodą złożoną trapezów

t %

∈ ∈_t %

Całkowanie metodą Romberga stosuje ten sam wzór co ekstrapolacja Richardsona. Jednakże, metoda

Romberga jest to algorytm rekurencyjny.

Przypomnijmy:

3

2 2n n

n

I I I

TV −

+

≅ Można zapisać

( )

2 2

2 n n

R n n

I I I

I −

+

= 4^{2 1} 1

2 2

− + −

= _n I ⁿ₋ Iⁿ I

Metoda Romberga

Wartość dokładna TV jest zastąpiona przez wynik całkowania metodą Richardsona

Znak jest zastąpiony przez znak równości.

( ) ^I

≅

Estymowana wartość dokładna wynosi: ^{TV ≅}

( )

gdzie Ch⁴ jest wartością błędu przybliżenia Metoda Romberga

Następna wartość całki (podwajając liczbę segmentów) wynosi:

( )

2 4 4

4 n n

R n n

I I I

I −

+

=

Estymowana wartość dokładna wynosi teraz:

( ) ( )

( )

(2h C I

TV ≅ _{n R} +

1 2 4 ¹

1 1

1 1

1 ≥

− + −

= _{− +} I ^{− +}₋ I ⁻ ,k I

I_{k,j k ,j} ^{k ,j}_k ^{k ,j}

Wskaźnik k reprezentuje rząd ekstrapolacji

k=1 odpowiada wartościom uzyskanym ze wzoru trapezów Ogólne wyrażenie w metodzie Romberga

Metoda Romberga

k=2 odpowiada wartościom uzyskanym z błędem O(h²) Wskaźnik j reprezentuje dokładność; j+1 daje całkę wyznaczoną dokładniej niż j

t t t

v 9.8

2100 140000

140000 ln

2000 )

( −

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

= −

Przykład 4:

Prędkość rakiety w przedziale czasu od t₁=8 s do t₂=30 s jest opisana wzorem:

a) Przy pomocy wzoru Romberga znajdź przemieszczenie rakiety w tym przedziale czasu czyli ∆x=x(t₂)-x(t₁)

b) Wyznacz błąd względny odniesiony do wartości dokładnej (true relative error)

Metoda Romberga

t %

∈ ∈_a %

Tabela wyników ze złożonego wzoru trapezów do n=8 segmentów

n ∆x E_t

1 11868 -807 7.296 ---

2 11266 -205 1.853 5.343

3 11153 -91.4 0.8265 1.019 4 11113 -51.5 0.4655 0.3594 5 11094 -33.0 0.2981 0.1669 6 11084 -22.9 0.2070 0.09082 7 11078 -16.8 0.1521 0.05482 8 11074 -12.9 0.1165 0.03560

Na podstawie tabeli odczytujemy:

11868

1 1_, =

I I_1,2 =11266

11113

3 1_, =

I I_1,4 =11074

Metoda Romberga

W pierwszym przybliżeniu k=2:

3

1 1 2

1 2

1 1

2

, ,

, ,

I I I

I −

+

=

11868 11266

11266 −

+

= 1 2

4 ¹

1 1

1 1

1 ≥

− + −

= _{− +} I ^{− +}₋ I ⁻ ,k I

I k

j , k j

, k j

, k j

, k

Podobnie,

3

2 , 1 3

, 1 3

, 1 2

, 2

I I I

I −

+

=

3

11266 11113

11113+ −

=

11062

=

3

3 , 1 4

, 1 4

, 1 3

, 2

I I I

I −

+

=

3

11113 11074

11074 −

+

=

11061

=

Metoda Romberga

1 2 4 ¹

1 1

1 1

1 ≥

− + −

= _{− +} I ^{− +}₋ I ⁻ ,k I

I k

j , k j

, k j

, k j

, k

W drugim przybliżeniu k=3,

15

1 2 2

2 2

2 1

3

, ,

, ,

I I I

I −

+

=

15

11065 11062

11062 + −

=

11062

=

15

2 , 2 3

, 2 3

, 2 2

, 3

I I I

I −

+

=

15

11062 11061

11061 −

+

=

11061

= Metoda Romberga

1 2 4 ¹

1 1

1 1

1 ≥

− + −

= _{− +} I ^{− +}₋ I ⁻ ,k I

I k

j , k j

, k j

, k j

, k

Dla trzeciego rzędu (k=4),

63

1 3 2

3 2

3 1

4

, ,

, ,

I I I

I −

+

=

63

11062 11061

11061 −

+

=

11061 m

=

Metoda Romberga

11868

11262

11113

11074

11065

11062

11061

11062

11061

11061 1-segment

2-segment 4-segment 8-segment

Rząd 1 Rząd 2 Rząd 3

Poprawione wartości całki metodą Romberga Metoda Romberga

Metoda Simpsona

Metoda trapezów była oparta na przybliżeniu funkcji podcałkowej f(x) wielomianem stopnia pierwszego.

W metodzie Simpsona wykorzystuje się wielomiany stopnia drugiego, jest to tzw. metoda parabol.

∫

∫

= ^b

a b

a

dx ) x ( f dx

) x ( f

I ₂

gdzie:

2 2 1

0

2

( x ) a a x a x

f = + +

X Y

f(x)

a b

f_I(x)

Metoda Simpsona

Równanie paraboli dla 3 punktów:

)), a ( f , a (

b , f a

b ,

a ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛ +

2 2

)) b ( f , b (

2 2 1

0

2( a ) a a a a a

f )

a (

f = = + +

2 2

1 0

2 2 2 2

2 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛ +

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛ +

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛ +

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + a b

b a a a

b a f a

b f a

Metoda Simpsona

2 2

2 2

0 2

4 2

b ab

a

) a ( f b ) a ( b abf

abf a )

b ( abf )

b ( f a

a − +

+

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛ + +

=

2 1 2

2

4 2 3

2 3 4

b ab

a

) b ( b bf

bf a )

a ( bf )

b ( b af

af a )

a ( af

a − +

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛ + +

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛ +

−

=

2 2 2

2 2 2 2

b ab

a

) b ( b f

f a )

a ( f

a − +

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ ⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛ +

=

Wyznaczone współczynniki funkcji f₂(x) to:

Metoda Simpsona

≈ ^b

∫

a

dx ) x ( f

I ₂

( )

∫

= ^b

a

dx x

a x

a

a_{0 1 2} ²

b

a

a x a x

x

a ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ + +

= 2 3

3 2 2

1 0

3 2

3 3

2 2

2 1 0

a a b

a a b

) a b

(

a −

− + +

−

= Wówczas:

Metoda Simpsona

⎥⎦ ⎤

⎢⎣ ⎡ ⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛ +

= −

∫ ^{f ( x ) dx b a f ( a ) f a b f ( b )}

b

a

4 2

2

6

2 a h b −

=

Co daje:

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛ +

∫

a

wzór parabol

Metoda Simpsona w wersji złożonej

) ...

x ( f ) x ( f )

x ( ) f

x x

( dx ) x ( f

b

a

⎥⎦ +

⎢⎣ ⎤

⎡ + +

−

∫ = ^{2 0 0 4} ₆ ^{1 2}

) ...

x ( f ) x ( f )

x ( ) f

x x

( +

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ + +

−

+ 6

4 _{3 4}

2 2 4

f(x)

. . .

x₀ x₂ x_n-2 x_n x

...

dx ) x ( f dx

) x ( f dx

) x ( f

x

x x

x b

a

+ +

= ∫ ∫

∫ ⁴

2 2

0

∫

∫

−

−

−

+

+ ⁿ

n n

n

x

x x

x

dx ) x ( f dx

) x ( f ....

2 2

4

) ...

x ( f ) x

( f )

x ( ) f

x x

(

... _{n n} ^{n n n} +

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ + +

−

+ _{− −} ^{− − −}

6

4 _{3 2}

4 4 2

h x

x_i − _i−2 = 2 n ..., , , i = 2 4

Metoda Simpsona

) ...

x ( f ) x ( f )

x ( h f

dx ) x ( f

b

a

⎥⎦ +

⎢⎣ ⎤

⎡ + +

∫ = ^{2 0 4} ₆ ^{1 2}

) ...

x ( f ) x ( f )

x (

h f +

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ + +

+ 6

2 ² 4 ^{3 4}

) ...

x ( f ) x

( f )

x (

h f ^{n n n} +

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ + +

+ ^{− − −}

6

2 ⁴ 4 ^{3 2}

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ + +

+ ^{− −}

6

2 f ( x ² ) 4 f ( x ¹ ) f ( x )

h ^{n n n}

Metoda Simpsona

b∫

a

dx ) x (

f ^{= h}

[

{

}

]

3

{

}

2

...+ f x₂ + f x₄ + + f x_n−2 + f x_n

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ + + +

= ∑ ∑⁻

==

−

== ( ) 2 ( ) ( )

4 )

3 (

2 2 1

0 1 n

n

even i

i

i n

odd i

i

i f x f x

x f x

h f

⎥⎥

⎤

⎢⎢

⎡ + + +

= − ∑ ∑⁻

=

−

= ( ) 2 ( ) ( )

4 )

3 (

2 2 1

0 1 n

n i

i n

i

i f x f x

x f x

n f a b

Wartości przybliżone

przykładu stosując regułę 1/3 Simpsona z wieloma segmentami

n Wartość przybliżona E_t ^{|Єt |} 24

68 10

11065.72 11061.64 11061.40 11061.35 11061.34

4.380.30 0.060.01 0.00

0.0396%

0.0027%

0.0005%

0.0001%

0.0000%

Metoda Simpsona – analiza błędu

Błąd dla jednego segmentu b a f a b

E_t − ζ < ζ <

−

= ( ),

2880 )

( ⁵ ₍₄₎

) (

) f x x

E ( ⁽⁴⁾ ₁

5 0 1 2

2880− ζ

−

= h f _{( )}( ),

1 5 4

90 ζ

−

=

) (

) f x x

E ( ⁽⁴⁾ ₂

5 2 2 4

2880− ζ

−

= h f _{( )}( ),

2 5 4

90 ζ

−

=

2 1

0 x

x < ζ <

4 2

2 x

x < ζ <

Metoda Simpsona – analiza błędu

Błąd w metodzie wielosegmentowej

) x

x

( − ⁵ h⁵ < ζ <

Całkowity błąd

∑=

= ²

1 n

i

i

t E

E ∑

= ζ

−

= ²

1

) 4 5 (

) 90 (

n

i

f i

h

∑

= ζ

− −

= ²

1

) 4 ( 5

5

) 90 (

) (

n

i

f i

n a b

n f n

a b

n

i i

∑= ζ

− −

=

2 1

) 4 (

4

5 ( )

90 ) (

Metoda Simpsona – analiza błędu

) 4 ( 4

5

90 )

( f

n a E_t b −

−

=

średnia wartość pochodnej

n f f

n

i

∑ i

= ζ

=

2 1

) 4 ( )

4

( ( )

Metoda Gaussa

=

∫

a

dx ) x ( f

I ≈ c

f ( x

) + c

f ( x

)

Całkę metodą kwadratury Gaussa przedstawia wzór:

Punkty x₁ i x₂ , w których określamy wartość funkcji podcałkowej nie są ustalone (jak poprzednio na granicach przedziału czyli a i b), ale

stałe współczynniki

Metoda Gaussa

. x a x

a x

a a

) x (

f = ₀ + ₁ + ₂ ² + ₃ ³

( )

∫

∫

a b

a

dx x

a x

a x

a a

dx ) x (

f _{0 1 2} ² ₃ ³

b

a

a x a x

a x x

a ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ + + +

= 2 3 4

4 3 3

2 2

1 0

( )

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟⎟ +

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟⎟ +

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

+

−

= 2 3 4

4 4

3 3

3 2

2 2

1 0

a a b

a a b

a a b

a b

a

Niewiadome x₁, x₂, c₁, c₂ znajduje się zakładając, że funkcja podcałkowa spełnia warunek:

Metoda Gaussa

( ) (

)

2 2 2 2

1 0

2 3

1 3 2

1 2 1

1 0

1 a a x a x a x c a a x a x a x

c dx

) x ( f

b

a

+ +

+ +

+ +

+

∫

( ) ( ) ( ) (

)

3 1 1 3 2

2 2 2

1 1 2 2

2 1

1 1 2

1

0 c c a c x c x a c x c x a c x c x

a + + + + + + +

=

=

∫

a

dx ) x ( f

I ≈ c

f ( x

) + c

f ( x

)

( )

∫

∫

a b

a

dx x

a x

a x

a a

dx ) x (

f _{0 1 2} ² ₃ ³

(

)

= b² a² b³ a³ b⁴ a⁴

z jednej strony

z drugiej strony

Metoda Gaussa

2

1 c

c a

b − = +

2 2 1

1 2

2

2 a c x c x

b − = +

2 2 2 2

1 1 3

3

3 a c x c x

b − = + ₃

2 2 3

1 1 4

4

4 a c x c x

b − = +

( ) ( ) ( ) (

)

3 1 1 3 2

2 2 2

1 1 2 2

2 1

1 1 2

1

0 c c a c x c x a c x c x a c x c x

a + + + + + + +

( )

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟⎟ +

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟⎟ +

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

+

−

= 2 3 4

4 4

3 3

3 2

2 2

1 0

a a b

a a b

a a b

a b

a

Metoda Gaussa

2 3

1

1 2

a b

a

x b ⎟ + +

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛−

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛ − 3 2

1

2 2

a b

a

x b +

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎟⎛

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛ −

Rozwiązując układ równań:

2

1 c

c a

b − = +

2 2 1

1 2

2

2 a c x c x

b − = +

2 2 2 2

1 1 3

3

3 a c x c x

b − = +

3 2 2 3

1 1 4

4

4 a c x c x

b − = +

otrzymujemy dla metody dwupunktowej: