1
Wykład nr 2
Wyznaczanie reakcji.
Belki przegubowe.
Ramy.
Siły wewnętrzne.
Mechanika teoretyczna
2
Obciążenie ciągłe równomierne
l VA
HA
RB
q
0
: =
∑
X HA0
: + − ⋅ =
∑
Y VA RB q l2 0 : ⋅ − ⋅ ⋅ =
∑
MA RB l q l ln Miara wypadkowej obciążenia rozłożonego liniowo równa jest polu figury opisującej obciążenie i powinna zostać przyłożona w środku ciężkości tej figury.
q ql
l/2 l/2
3
Obciążenie ciągłe trójkątne
ql/2
2l/3 l/3 q l
VA
HA
RB q
0
: =
∑
X HA2 0 : + −1 ⋅ =
∑
Y VA RB q l3 0 2 2
: ⋅ −1 ⋅ ⋅ =
∑
MA RB l q l l4
Obciążenie ciągłe dowolne
l VA
HA
RB q(x)
W
x0 l-x0
0
: =
∑
X HA0
: + − =
∑
Y VA RB W0 : ⋅ − ⋅ 0=
∑
MA RB l W x( )x dx
q W
∫
l=
0
( )
W dx x x q x
∫
l ⋅= 0
0
5
Obciążenie ciągłe momentem
l VA
HA
RB
m
l
m ml
0
: =
∑
X HA0
: + =
∑
Y VA RB0 : ⋅ − ⋅ =
∑
MA RB l m l6
Przegub
n Połączenie elementów prętowych w taki sposób, że mogą się one swobodnie obracać (nie powstaje moment mogący
przeciwdziałać obrotowi).
n Uzyskuje się dodatkowy punkt, w którym moment wewnętrzny jest równy zero.
n Moment w przegubie od sił zewnętrznych znajdujących się po jednej ze stron przegubu równy jest 0.
7
Podział ramy w przegubie
l l
h P
A B
C P
RB
RC
RC
RA
RB=RC
P RC RA
8
Dodatkowe równanie dla przegubu
l l
h
VA
HA
P
VB
HB
VA
HA
P
VC HC
VB
HB
VC
HC
0
: + + =
∑
X HA HB P0
: + =
∑
Y VA VB0 : ⋅ − ⋅ =
∑
MCl VA l HA h0 : ⋅ + ⋅ =
∑
MCp VB l HB h0 2
: ⋅ − ⋅ =
∑
MA VB l P halbo
Czwarte równanie:
9
Belki przegubowe – rozkład na belki proste
l P
l l l
q
A
B C
D
l P
l l
q
A
B C
VA HA
RB
l q
C D
RD HC
HC
VC VC
10
Belki proste – równania równowagi
l P
l l
q
A
B C
VA
HA
RB
HC
VC
l q
C D
RD HC
VC
0
: − =
∑
X HA HC0
: + − − − ⋅ =
∑
Y VA RB VC P q l0 3 5 , 2 2
: ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ =
∑
MA RB l P l q l l VC l0
: =
∑
X HC0
: + − ⋅ =
∑
Y VC RD q l2 0 : ⋅ − ⋅ ⋅ =
∑
MC RD l q l l11
Reakcje – belki przegubowe
(1)0
: =
∑
X HA0 2
: + + − − ⋅ =
∑
Y VA RB RD P q l2 0 : ⋅ − ⋅ ⋅ =
∑
MCp RD l q l l0 3 2 4
2
: ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ =
∑
MA RB l RD l P l q l ll P
l l l
q
A
B C
D
VA HA
RB RD
12
Rozwiązanie
0
: =
∑
X HA2 2 2 2
2 2 2
0 2 :
ql P ql l P q l q P R R l q P V
l q P R R V Y
D B A
D B A
−
=
−
⋅
−
−
⋅ +
=
−
−
⋅ +
=
⇒
⇒
=
⋅
−
− +
∑
+0 2
: 2 l
q l R
l q l R
M D D
p
C ⋅ − ⋅ ⋅ = ⇒ = ⋅
∑
l P q l P q l R
l l q l P l R R
l l q l P l R l R M
D D
B
D B A
2 2 2 3
2 2
3 2 4
0 3 2 4
2 :
⋅ +
=
⋅ + +
−
⋅ =
⋅ +
⋅ +
⋅
=−
⇒
⇒
=
⋅
⋅
−
⋅
−
⋅ +
∑
⋅13
Podstawienie danych
m l
kN P
m kN q
2 10
/ 5
=
=
=
=0 HA
2 0 / 2 2 5
10 − ⋅ =
= m
m kN kN
VA
m kN m l kN q
RD 5
2 / 2
2=5 ⋅ =
⋅
=
kN m m kN kN
l P q
RB 5 / 2 2 25
2 2 10
2+ ⋅ = + ⋅ ⋅ =
=
14
Reakcje – belki przegubowe
(2)q
VA
HA MA
RB
l l l
0
: =
∑
X HA15
Wypadkowa obciążenia trójkątnego
0 2 3 : + −1 ⋅ =
∑
Y VA RB q l0 2 2 3 2 1
: ⋅ − − ⋅ ⋅ =
∑
MA RB l MA q l lq
VA
HA
MA
RB
l l l
½q 3l·
16
Suma momentów względem przegubu
( )
03 22 2 2
2 1
: ⋅ − ⋅′ ⋅ − − ′⋅ ⋅ =
∑
MCp RB l q l l q q l lq
q’
=
q- ’q
+
q’ q’
q’·2l
½( - ’)q q ·2l
q
VA
HA
MA
RB l
2l 3/ q’·2l
C
½( - ’)q q ·2l
l l
2·2l 3/ q’
3 3
q q l q l
q′= ⇒ ′=
17
Rozwiązanie
0
: =
∑
X HAql ql
ql V
l q R V Y
A B A
⋅
−
=
⋅
−
⋅
=
⇒
=
⋅
−
∑
+18 1 9
14 2 3
0 2 3 : 1
2 2 2
9 3 1 9 2
14
0 2 2 3 2 1
:
ql ql ql M
l l q M l R M
A
A B
A
⋅
=
−
⋅
=
⇒
=
⋅
⋅
−
−
∑
⋅ql ql ql R
l l q
l q R M
B B p C
⋅
=
⋅ +
⋅
=
⇒
=
⋅
−
⋅
−
∑
⋅9 14 9 8 3 2
3 0 8 3 2 2 2 1 : 3
2 2
18
Podstawienie danych
m l
m kN q
5 , 1
/ 10
=
=
=0 HA
kN m
m kN ql
VA 10 / 1,5 0,833 18
1 18
1 ⋅ =− ⋅ ⋅ =−
−
=
(
m)
kNmm kN ql
MA 10 / 1,5 2,5 9
1 9
1⋅ 2= ⋅ ⋅ 2=
=
kN m
m kN ql
RB 10 / 1,5 23,333 9
14 9
14⋅ = ⋅ ⋅ =
=
19
Belki przegubowe
(3)n
Sąsiadujące przeguby
l
P
l l l l l l
q
A B C E
VA
HA
RB RE
m α
D
2q
F
RF q l
P
l l l l l l
q
A B C E
m α
D
2q
F
q
20
Belki proste – równania równowagi
C
HC
HC
VC
VC
l
P
l l
l
l l l
q
A B C E
VA
HA
RB RE
m α
D
2q
F
RF q q
D
HD
VD
HD VD
=0
∑
X=0
∑
Y=0
∑
MC=0
∑
X∑
Y=0∑
MA=0∑
X=0∑
Y=0∑
MD=0n
9 niewiadomych – 9 równań
21
Reakcje – belki przegubowe
(3)l
P
l l l l l l
q
A B C E
VA
HA
RB RE
m α
D
2q
F
RF q
0 cos
: − =
∑X HA P α
0 sin 2 2 4 1
: + + + − ⋅ − ⋅ − =
∑Y VA RB RE RF q l q l P α
0 2 3
: ⋅ + ⋅ + ⋅ =
∑MCl VA l RB l m l
0 7 sin 32 5 2 2 2 5 1 4 2 6 5 2
: − ⋅ =
+
⋅
⋅
−
⋅
⋅
−
⋅
−
⋅ +
⋅ +
∑MA RB⋅ l RE l RF l m l q l l q l l l P α l
0 3 sin 32 2 2 2 5 1 , 1 3 2
: − ⋅ =
+
⋅
⋅
−
⋅
⋅
−
⋅ +
∑MDp RE⋅l RF l q l l q l l l P α l 22
n
Równania względem sąsiadujących przegubów lepiej zapisać z tej samej strony.
Sąsiadujące przeguby – łatwość rozwiązania
0 cos
: − =
∑X HA P α
0 sin 2 2
4 1
: + + + − ⋅ − ⋅ − =
∑Y VA RB RE RF q l q l P α
0 2 3
: ⋅ + ⋅ + ⋅ =
∑MCl VA l RB l m l
0 7 sin 2 3 5 2 2 2 5 1 4 2 6 5 2
: − ⋅ =
+
⋅
⋅
−
⋅
⋅
−
⋅
−
⋅ +
⋅ +
∑MA RB⋅ l RE l RF l m l q l l q l l l P α l
0 3 sin 32 2 2 2 5 1 , 1 3 2
: − ⋅ =
+
⋅
⋅
−
⋅
⋅
−
⋅ +
∑MDp RE⋅l RF l q l l q l l l P α l 2 0
2 1 2 4
: ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ =
∑MDl VA l RB l m l q l l
23
Rozwiązanie
kN HA=
5
kN VA=−
6 , 25
kN RB =
8 , 75
kN RF =
28 , 987
ml
m kNm m
m kN q
kN P
1 / 5
/ 5 10
=
=
=
=
kN RE =
2 , 173
24
Zasady pisania dodatkowych równań dla przegubów
(1)n
Dodatkowe równanie względem przegubu musi wykorzystywać
własność przegubu, tj. że moment w przegubie równy jest 0, a więc
dodatkowe równanie nie może być zwykłą sumą momentów względem przegubu, a musi być sumą
momentów od sił z jednej strony
przegubu.
25
Zasady pisania dodatkowych równań dla przegubów
(2)n
Każdy przegub musi zostać
wykorzystany co najmniej jeden raz.
n
Jeżeli chcemy zapisać równanie dla przegubu z drugiej strony, to
zastępuje ono jedno z równań podstawowych (sumę momentów względem dowolnego punktu).
26
Inne rodzaje obciążeń
n Obciążenie osiowe rozłożone wzdłuż pręta.
n Obciążenie pionowe na pręcie ukośnym:
– intensywność na jednostkę rzutu;
– intensywność na jednostkę długości pręta.
l h
h
h
q
q/2
l/2 2q
2 2 h l q⋅ + 2 2l
q⋅
q h 2⋅2
27
Reakcje – rama trójprzegubowa
(1)l l
P h
h
h
q
M
28
Reakcje – rama trójprzegubowa
(2)l l
P
A B
C h
VA
HA
VB
HB
h
h q
M
0
: − + =
∑X HA HB P
0 : + − ⋅ =
∑Y VA VB ql
0 3 : ⋅ − ⋅ − =
∑MCp VB l HB h M
0 2 2 1
: + =
+
⋅
⋅
−
⋅ +
∑MB VA⋅ l Ph ql l l M
29
Reakcje – rama przegubowa
(1)l h
h
h
2q
q M
α P
30
Reakcje – rama przegubowa
(2)0 cos
: + =
∑
X HA P α0 2 2
sin :
2
2+ − ⋅ =
⋅
−
+
−
∑
+h q h l q
P R V
Y A B α
2 0 2
2
: ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ 2+ 2⋅ =
∑
MCp RB l q h l q l h l0 2
2 2
cos :
2 2
=
⋅
−
⋅
⋅ +
+
⋅ +
⋅ +
+ +
⋅
⋅
∑
+l R l h q
h l l q
M h P
M M
B A
A α
VA
HA
MA
l h
h
h
2q
q M
P α
C
RB
A B
31
Rama nawowa
l l
h
h
h
q
l l
q q
P M
32
Rama nawowa –
równania równowagi
0
: + + =
∑
X HB HC P0 2
:
=
⋅
−
⋅
−
⋅
−
+ + +
∑
+l q l q l q
R V V R
Y A B C D
0 5 , 2 1
2 3
: ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ =
∑
MGp VC l HC h RD l q l l M q l l0 5 , 3 2 2
2 2
4 3 :
=
⋅
⋅
−
⋅
⋅
−
+
⋅
⋅
−
−
⋅
−
+
⋅ +
⋅ +
∑
⋅l l q l l q
l l q M h P
l R l V l V
MA B C D
2 0 : ⋅ − ⋅ ⋅ =
∑
MEl RA l q l l∑
MFp:RD⋅l−q⋅l⋅2l =0A
l l
h
h
h
q
l l
q q
P M
VB
HB
VC
HC
RA RD
C
B D
E F
G
33
Rama ze ściągiem – reakcje podporowe (3 niewiadome)
l l
P h
h
2q
M q
0
: + =
∑
X HA P0 2 2 : + − ⋅ − ⋅ =
∑
Y VA RB q l q l0 2 2 2 2
: ⋅ − ⋅ − − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =
∑
MA RB l P h M q l l q l ll l
P
A B
VA
HA
RB
h
h
2q
M q
C
D E
34
Siły w ściągu – cztery dodatkowe równania
0
: − =
∑
X HD HE0 : + − ⋅ =
∑
Y VD VE q l2 0 2
: ⋅ − ⋅ ⋅ =
∑
MD VE l q l l2 0 2 : ⋅ − ⋅ − ⋅ + + ⋅ ⋅ =
∑
MCp VE l HE h RB l M q l ll l
P
A B
VA
HA
RB
h
h
2q
M C
D E D E
q
VD
HD HE
VE
VD
HD
VE
HE
l l
35
Rama ze ściągiem – 7 niewiadomych
0
: − =
∑
X HD HE0 : + − ⋅ =
∑
Y VD VE q l2 0 2
: ⋅ − ⋅ ⋅ =
∑
MD VE l q l l2 0 2 : ⋅ − ⋅ − ⋅ + + ⋅ ⋅ =
∑
MCp VE l HE h RB l M q l l0
: − + + =
∑
X HA HD HE P0 2 2
: + − − − ⋅ =
∑
Y VA RB VD VE q l0 2
2 2 2
: ⋅ − ⋅ − − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ =
∑
MA RB l P h M q l l VE l HE h HD hl l
P
A B
VA
HA
RB
h
h
2q
M C
D E D E
q
VD
HD HE
VE
VD
HD
VE
HE
l l
36
Przeguby pojedyncze
n
Przeguby, w których jeden pręt łączy się z drugim ze swobodą obrotu.
n
Pozwala na zapisanie jednego dodatkowego równania (sumy
momentów względem przegubu od sił na jednej części konstrukcji
oddzielonej przegubem).
37
Przeguby wielokrotne
n Przeguby, w których łączą się ze sobą więcej niż dwa pręty ze swobodą obrotu względem pozostałych prętów.
n Pozwalają na zapisanie więcej niż jednego dodatkowego równania równowagi.
38
Rama z przegubem dwukrotnym
2 0 : ⋅ − ⋅ ⋅ =
∑
MDp RC l q l l0
: + =
∑
X HB P0 2
: + + − ⋅ =
∑
Y RA VB RC q l2 0 : ⋅ + − ⋅ + − ⋅ ⋅2+ ⋅ ⋅ + ⋅ =
∑
MB RA l MB RC l M q l l q l l P h2 0 : ⋅ − ⋅ ⋅ + =
∑
MDl RA l q l l MM q
P h
h
l l
M q
P h
h
l l
RC
RA
VB HB
MB
D
39
Stopień statycznej wyznaczalności
n Stopień zewnętrznej statycznej wyznaczalności n:
– Belka: n=r-g-rs;
– Rama: n=r+3o-g-rs;
– Kratownica: n=r-rs lub n=p-2w.
n Oznaczenia:
– r – liczba reakcji;
– g – liczba przegubów pojedynczych;
– o – liczba pól zamkniętych;
– rs=3 – liczba równań statyki;
– p – liczba prętów;
– w – liczba węzłów. 40
Stopień statycznej wyznaczalności
n
Określenie stopnia statycznej
wyznaczalności odnośnie do reakcji:
– Układ jest statycznie wyznaczalny, jeżeli współczynnik n = 0;
– Układ jest statycznie niewyznaczalny, jeżeli współczynnik n > 0;
– Układ jest geometrycznie zmienny, jeżeli współczynnik n < 0.
