Metody Numeryczne (III INF)
Egzamin, 22-02-2016
Uwaga. Rozwiązanie każdego z dziesięciu zadań należy pisać na osobnej kartce podpisanej imieniem, nazwiskiem i numerem indeksu. Każde zadanie warte jest 5 punktów.
1. Jak w arytmetyce fl pojedynczej precyzji policzyć wartość funkcji
1 − cos(4x)
dla 10−7 < x < 10−6, aby otrzymać mały błąd względny? Zakładamy, że funkcje trygonometryczne potrafimy liczyć z błędem względnym na poziomie błędów repre- zentacji.
2. Dana jest macierz
A =
1 2 0 2 1 2 0 2 1
.
Wyznacz czynniki P , L i U rozkładu P A = LU . Za pomocą wyznaczonego rozkładu rozwiąż układ równań A~x = ~b dla ~b = [6, 4, −4]T.
3. Dla danych
(x0, y0) = (−1, 0), (x1, y1) = (0, −21), (x2, y2) = (1, 26), (x3, y3) = (2, −8) wyznacz współczynniki a, b, c ∈ R takie, że funkcja
f (t) = a + bt + ct(t − 1)(16t − 56) minimalizuje sumę
3
X
k=0
|f (xk) − yk|2.
W tym celu sformułuj odpowiednie liniowe zadanie najmniejszych kwadratów i roz- wiąż je metodą równań normalnych.
4. Funkcję f (x) = x4 interpolujemy wielomianem Hermite’a w dwóch podwójnych wę- złach: x = 0 i x = 1.
(a) Wyznacz wielomian interpolacyjny w odpowiedniej bazie Newtona.
(b) Uzasadnij, że dla każdego x ∈ [0, 1] błąd interpolacji można oszacować przez 161 .
5. Znajdź wielomian stopnia nie większego niż 2 najlepiej aproksymujący funkcję f (x) = x3− x + 1
w normie jednostajnej na przedziale [0, 1].
CIĄG DALSZY NA NASTĘPNEJ STRONIE !
2
6. Ile wynosi maksymalny rząd kwadratury opartej na trzech jednokrotnych węzłach:
0, a, b, gdzie a, b ∈ [−1, 1], przybliżającej całkę R−11 f (x) dx? Odpowiedź uzasadnij.
7. Niech Tk i Pk będą odpowiednio złożoną kwadraturą trapezów i złożoną kwadraturą parabol z równomiernym podziałem przedziału [0, 1] na k podprzedziałów. Wykaż, że dla wszystkich k 1 mamy
Pk = 4T2k− Tk
3 .
8 Rozważamy metodę iteracji prostej dla funkcji Φ(x) = 1 + (x − 1)2.
Wykaż, że metoda jest zbieżna dla x0 = 1.5. Jaka jest szybkość zbieżności?
9. Dla funkcji f ∈ C3(R) z jednokrotnym zerem x∗, rozpatrzmy metodę iteracyjną xk+1 = xk− h f (xk)
f(xk+ h) − f (xk)
dla rozwiązania równania f (x) = 0, gdzie h > 0. Wykaż, że jeśli h jest dostatecznie małe (jak małe?) to metoda jest lokalnie zbieżna. Jaka jest szybkość zbieżności?
10. Niech B będzie macierzą symetryczną 2 × 2 o dwóch różnych dodatnich wartościach własnych mniejszych od jedności. Do macierzy A1 = B − 4 ∗ I i A2 = B + 20 ∗ I zastosowano metodę potęgową
~xk+1= Ai~xk kAi~xkk2
z wektorem początkowym ~x0 6= 0 niebędącym wektorem własnym macierz B otrzy- mując dwa ciągi, po jednym dla każdej z macierzy. Czy możemy być pewni, że ciąg rk = ~xTkAi~xk jest zbieżny w obu przypadkach? Czy znając wartości obu granic (o ile istnieją) jesteśmy w stanie podać kosztem O(1) obliczeń w fl wartości własne macierzy B?
