Egzamin z Rachunku Prawdopodobie´nstwa WNE - 6 lutego 2017r., grupa A Czas trwania egzaminu: 120 minut. Ka˙zde zadanie nale˙zy rozwiaza´, c na osobnej kartce, czytelnie podpisanej imieniem, nazwiskiem, numerem indeksu i oznaczeniem grupy (A, B, ...). Ka˙zde z zada´n bedzie punktowane w skali 0 – 10 pkt, wynikiem ko´, ncowym egzaminu jest suma punkt´ow uzyskana z pieciu najwy˙zej ocenionych zada´, n. Tablice rozk ladu normalnego sa niepotrzebne, nale˙zy operowa´, c jego dystrybuanta.,
1. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) ma rozk lad z gesto´sci, a g(x, y) =, 38x1{0<x≤y≤2x≤4}. Obliczy´c EX, Cov(X, Y ) oraz P(Y ≤ 1).
2. Zmienne losowe X, Y sa niezale˙zne i maj, a rozk lady normalne o ´sredniej −1 i wariancjach 1, i 2, odpowiednio.
a) Wyznaczy´c rozk lad zmiennej 2X − Y + 2.
b) Wyznaczy´c macierz kowariancji zmiennej (2X − Y + 2, X + Y ).
c) Obliczy´c E (2X − Y + 2)2 + (X + Y )2|X + Y.
3. Wilgotno´s´c wzgledna powietrza w danym dniu jest zmienn, a losow, a o rozk ladzie z g, esto´sci, a, g(x) = x ln 21 1[50,100](x). W przypadku gdy wilgotno´s´c wynosi x, si la sygna lu emitowanego przez stacje radiow, a jest zmienn, a losow, a o rozk ladzie wyk ladniczym z parametrem x/10. Niech X, Y, oznaczaja wilgotno´s´, c oraz si le sygna lu w jutrzejszym dniu.,
a) Wyznaczy´c gesto´s´, c zmiennej (X, Y ) oraz gesto´s´, c zmiennej Y . b) Obliczy´c P(X ≥ 75|Y ).
4. Kwoty pieniedzy przeznaczonych na podr´, o˙ze przez kolejnych obywateli kraju K1 sa nie-, zale˙znymi zmiennymi losowymi X1, X2, . . . o rozk ladzie wyk ladniczym z parametrem 1/2. Kwoty przeznaczone na podr´o˙ze przez kolejnych obywateli kraju K2 sa niezale˙znymi zmiennymi losowymi, Y1, Y2, . . . (niezale˙znymi tak˙ze od X1, X2, . . .) o rozk ladzie wyk ladniczym z parametrem 1/3.
a) Korzystajac z nier´, owno´sci Czebyszewa-Bienaym´e, oszacowa´c prawdopodobie´nstwo, ˙ze laczna, kwota przeznaczona na podr´o˙ze przez 30 wybranych mieszka´nc´ow kraju K1 r´o˙zni sie od l, acznej, kwoty przeznaczonej przez 20 wybranych mieszka´nc´ow kraju K2 o co najmniej 50.
b) Czy ciag, X1+Y1+X22n+5+Y2+...+Xn+Yn, n = 1, 2, . . ., jest zbie˙zny prawie na pewno? W przypadku odpowiedzi pozytywnej, poda´c granice.,
5. W zwiazku z og loszon, a loteri, a, do kiosku zg lasza si, e 600 klient´, ow, z kt´orych ka˙zdy kupuje jeden, dwa lub trzy losy (wyb´or ka˙zdej liczby jest tak samo prawdopodobny).
a) Obliczy´c przybli˙zone prawdopodobie´nstwo, ˙ze kiosk sprzeda wiecej ni˙z 1220 los´, ow.
b) Ka˙zdy los kosztuje 10 z l, statystycznie co dziesiaty klient p laci kart, a. Obliczy´, c przybli˙zone prawdopodobie´nstwo, ˙ze ilo´s´c got´owki uzyskana ze sprzeda˙zy los´ow bedzie mniejsza ni˙z 11 000 z l.,
6. Ka˙zdego dnia pan Nowak idzie na zakupy do jednego z trzech sklep´ow S1, S2, S3. Je´sli w danym dniu pan Nowak uzyska rabat w sklepie kt´ory wybra l, to nastepnego dnia dokonuje zakup´, ow w tym samym sklepie; w przeciwnym razie wybiera jeden z dw´och pozosta lych (ka˙zdy wyb´or ma te, sama szans, e). Prawdopodobie´, nstwa uzyskania rabatu w sklepach S1, S2, S3 wynosza odpowiednio, 1/2, 1/3 i 1/5. Pierwszego dnia pan Nowak uda l sie do sklepu S, 1.
a) Obliczy´c prawdopodobie´nstwo, ˙ze trzeciego dnia pan Nowak uda sie do sklepu S, 3.
b) Obliczy´c przybli˙zone prawdopodobie´nstwo, ˙ze setnego dnia pan Nowak uda sie do sklepu S, 3. c) Obliczy´c przybli˙zone prawdopodobie´nstwo, ˙ze w setnym dniu pan Nowak dostanie rabat.
Egzamin z Rachunku Prawdopodobie´nstwa WNE - 6 lutego 2017r., grupa B Czas trwania egzaminu: 120 minut. Ka˙zde zadanie nale˙zy rozwiaza´, c na osobnej kartce, czytelnie podpisanej imieniem, nazwiskiem, numerem indeksu i oznaczeniem grupy (A, B, ...). Ka˙zde z zada´n bedzie punktowane w skali 0 – 10 pkt, wynikiem ko´, ncowym egzaminu jest suma punkt´ow uzyskana z pieciu najwy˙zej ocenionych zada´, n. Tablice rozk ladu normalnego sa niepotrzebne, nale˙zy operowa´, c jego dystrybuanta.,
1. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) ma rozk lad z gesto´sci, a g(x, y) =, 163x1{0<x≤y≤3x≤6}. Obliczy´c EX, Cov(X, Y ) oraz P(Y ≤ 2).
2. Zmienne losowe X, Y sa niezale˙zne i maj, a rozk lady normalne o ´sredniej −2 i wariancjach 2, i 1, odpowiednio.
a) Wyznaczy´c rozk lad zmiennej X − 2Y + 1.
b) Wyznaczy´c macierz kowariancji zmiennej (X − 2Y + 1, X + Y ).
c) Obliczy´c E (X + Y )2+ (X − 2Y + 1)2|X − 2Y + 1.
3. Wilgotno´s´c wzgledna powietrza w danym dniu jest zmienn, a losow, a o rozk ladzie z g, esto´sci, a, g(x) = x ln 21 1[40,80](x). W przypadku gdy wilgotno´s´c wynosi x, si la sygna lu emitowanego przez stacje, radiowa jest zmienn, a losow, a o rozk ladzie wyk ladniczym z parametrem x/20. Niech X, Y oznaczaj, a, wilgotno´s´c oraz si le sygna lu w jutrzejszym dniu.,
a) Wyznaczy´c gesto´s´, c zmiennej (X, Y ) oraz gesto´s´, c zmiennej Y . b) Obliczy´c P(X ≥ 60|Y ).
4. Kwoty pieniedzy przeznaczonych na podr´, o˙ze przez kolejnych obywateli kraju K1 sa nie-, zale˙znymi zmiennymi losowymi X1, X2, . . . o rozk ladzie wyk ladniczym z parametrem 1/3. Kwoty przeznaczone na podr´o˙ze przez kolejnych obywateli kraju K2 sa niezale˙znymi zmiennymi losowymi, Y1, Y2, . . . (niezale˙znymi tak˙ze od X1, X2, . . .) o rozk ladzie wyk ladniczym z parametrem 1/2.
a) Korzystajac z nier´, owno´sci Czebyszewa-Bienaym´e, oszacowa´c prawdopodobie´nstwo, ˙ze laczna, kwota przeznaczona na podr´o˙ze przez 20 wybranych mieszka´nc´ow kraju K1 r´o˙zni sie od l, acznej, kwoty przeznaczonej przez 30 wybranych mieszka´nc´ow kraju K2 o co najmniej 40.
b) Czy ciag, X1+Y1+X23n−1+Y2+...+Xn+Yn, n = 1, 2, . . ., jest zbie˙zny prawie na pewno? W przypadku odpowiedzi pozytywnej, poda´c granice.,
5. W zwiazku z og loszon, a loteri, a, do kiosku zg lasza si, e 360 klient´, ow, z kt´orych ka˙zdy kupuje jeden, trzy lub cztery losy (wyb´or ka˙zdej liczby jest tak samo prawdopodobny).
a) Obliczy´c przybli˙zone prawdopodobie´nstwo, ˙ze kiosk sprzeda wiecej ni˙z 1000 los´, ow.
b) Ka˙zdy los kosztuje 10 z l, statystycznie co czwarty klient p laci karta. Obliczy´, c przybli˙zone prawdopodobie´nstwo, ˙ze ilo´s´c got´owki uzyskana ze sprzeda˙zy los´ow bedzie mniejsza ni˙z 7 230 z l.,
6. Ka˙zdego dnia pan Nowak idzie na zakupy do jednego z trzech sklep´ow S1, S2, S3. Je´sli w danym dniu pan Nowak uzyska rabat w sklepie kt´ory wybra l, to nastepnego dnia dokonuje zakup´, ow w tym samym sklepie; w przeciwnym razie wybiera jeden z dw´och pozosta lych (ka˙zdy wyb´or ma te, sama szans, e). Prawdopodobie´, nstwa uzyskania rabatu w sklepach S1, S2, S3 wynosza odpowiednio, 1/2, 1/5 i 1/7. Pierwszego dnia pan Nowak uda l sie do sklepu S, 1.
a) Obliczy´c prawdopodobie´nstwo, ˙ze trzeciego dnia pan Nowak uda sie do sklepu S, 2.
b) Obliczy´c przybli˙zone prawdopodobie´nstwo, ˙ze setnego dnia pan Nowak uda sie do sklepu S, 2. c) Obliczy´c przybli˙zone prawdopodobie´nstwo, ˙ze w setnym dniu pan Nowak dostanie rabat.
Egzamin z Rachunku Prawdopodobie´nstwa WNE - 6 lutego 2017r., grupa C Czas trwania egzaminu: 120 minut. Ka˙zde zadanie nale˙zy rozwiaza´, c na osobnej kartce, czytelnie podpisanej imieniem, nazwiskiem, numerem indeksu i oznaczeniem grupy (A, B, ...). Ka˙zde z zada´n bedzie punktowane w skali 0 – 10 pkt, wynikiem ko´, ncowym egzaminu jest suma punkt´ow uzyskana z pieciu najwy˙zej ocenionych zada´, n. Tablice rozk ladu normalnego sa niepotrzebne, nale˙zy operowa´, c jego dystrybuanta.,
1. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) ma rozk lad z gesto´sci, a g(x, y) =, 19x1{0<x≤y≤2x≤6}. Obliczy´c EX, Cov(X, Y ) oraz P(Y ≤ 2).
2. Zmienne losowe X, Y sa niezale˙zne i maj, a rozk lady normalne o ´sredniej −1 i wariancjach 3, i 2, odpowiednio.
a) Wyznaczy´c rozk lad zmiennej 2X − 3Y − 2.
b) Wyznaczy´c macierz kowariancji zmiennej (2X − 3Y − 2, X + Y ).
c) Obliczy´c E (2X − 3Y − 2)2+ (X + Y )2|2X − 3Y − 2.
3. Wilgotno´s´c wzgledna powietrza w danym dniu jest zmienn, a losow, a o rozk ladzie z g, esto´sci, a, g(x) = x ln 21 1[30,60](x). W przypadku gdy wilgotno´s´c wynosi x, si la sygna lu emitowanego przez stacje, radiowa jest zmienn, a losow, a o rozk ladzie wyk ladniczym z parametrem x/30. Niech X, Y oznaczaj, a, wilgotno´s´c oraz si le sygna lu w jutrzejszym dniu.,
a) Wyznaczy´c gesto´s´, c zmiennej (X, Y ) oraz gesto´s´, c zmiennej Y . b) Obliczy´c P(X ≥ 40|Y ).
4. Kwoty pieniedzy przeznaczonych na podr´, o˙ze przez kolejnych obywateli kraju K1 sa nie-, zale˙znymi zmiennymi losowymi X1, X2, . . . o rozk ladzie wyk ladniczym z parametrem 1/3. Kwoty przeznaczone na podr´o˙ze przez kolejnych obywateli kraju K2 sa niezale˙znymi zmiennymi losowymi, Y1, Y2, . . . (niezale˙znymi tak˙ze od X1, X2, . . .) o rozk ladzie wyk ladniczym z parametrem 1/4.
a) Korzystajac z nier´, owno´sci Czebyszewa-Bienaym´e, oszacowa´c prawdopodobie´nstwo, ˙ze laczna, kwota przeznaczona na podr´o˙ze przez 20 wybranych mieszka´nc´ow kraju K1 r´o˙zni sie od l, acznej, kwoty przeznaczonej przez 15 wybranych mieszka´nc´ow kraju K2 o co najmniej 50.
b) Czy ciag, X1+Y1+X25n+1+Y2+...+Xn+Yn, n = 1, 2, . . ., jest zbie˙zny prawie na pewno? W przypadku odpowiedzi pozytywnej, poda´c granice.,
5. W zwiazku z og loszon, a loteri, a, do kiosku zg lasza si, e 150 klient´, ow, z kt´orych ka˙zdy kupuje dwa, trzy lub cztery losy (wyb´or ka˙zdej liczby jest tak samo prawdopodobny).
a) Obliczy´c przybli˙zone prawdopodobie´nstwo, ˙ze kiosk sprzeda mniej ni˙z 460 los´ow.
b) Ka˙zdy los kosztuje 10 z l, statystycznie co trzeci klient p laci karta. Obliczy´, c przybli˙zone prawdopodobie´nstwo, ˙ze ilo´s´c got´owki uzyskana ze sprzeda˙zy los´ow bedzie wi, eksza ni˙z 3 110 z l.,
6. Ka˙zdego dnia pan Nowak idzie na zakupy do jednego z trzech sklep´ow S1, S2, S3. Je´sli w danym dniu pan Nowak uzyska rabat w sklepie kt´ory wybra l, to nastepnego dnia dokonuje zakup´, ow w tym samym sklepie; w przeciwnym razie wybiera jeden z dw´och pozosta lych (ka˙zdy wyb´or ma te, sama szans, e). Prawdopodobie´, nstwa uzyskania rabatu w sklepach S1, S2, S3 wynosza odpowiednio, 1/3, 1/5 i 1/7. Pierwszego dnia pan Nowak uda l sie do sklepu S, 2.
a) Obliczy´c prawdopodobie´nstwo, ˙ze trzeciego dnia pan Nowak uda sie do sklepu S, 3.
b) Obliczy´c przybli˙zone prawdopodobie´nstwo, ˙ze setnego dnia pan Nowak uda sie do sklepu S, 3. c) Obliczy´c przybli˙zone prawdopodobie´nstwo, ˙ze w setnym dniu pan Nowak dostanie rabat.
Egzamin z Rachunku Prawdopodobie´nstwa WNE - 6 lutego 2017r., grupa D Czas trwania egzaminu: 120 minut. Ka˙zde zadanie nale˙zy rozwiaza´, c na osobnej kartce, czytelnie podpisanej imieniem, nazwiskiem, numerem indeksu i oznaczeniem grupy (A, B, ...). Ka˙zde z zada´n bedzie punktowane w skali 0 – 10 pkt, wynikiem ko´, ncowym egzaminu jest suma punkt´ow uzyskana z pieciu najwy˙zej ocenionych zada´, n. Tablice rozk ladu normalnego sa niepotrzebne, nale˙zy operowa´, c jego dystrybuanta.,
1. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) ma rozk lad z gesto´sci, a g(x, y) =, 181x1{0<x≤y≤3x≤9}. Obliczy´c EX, Cov(X, Y ) oraz P(Y ≤ 1).
2. Zmienne losowe X, Y sa niezale˙zne i maj, a rozk lady normalne o ´sredniej −2 i wariancjach 3, i 1, odpowiednio.
a) Wyznaczy´c rozk lad zmiennej X − 3Y + 1.
b) Wyznaczy´c macierz kowariancji zmiennej (X − 3Y + 1, X + Y ).
c) Obliczy´c E (X + Y )2+ (X − 3Y + 1)2|X + Y.
3. Wilgotno´s´c wzgledna powietrza w danym dniu jest zmienn, a losow, a o rozk ladzie z g, esto´sci, a, g(x) = x ln 21 1[20,40](x). W przypadku gdy wilgotno´s´c wynosi x, si la sygna lu emitowanego przez stacje, radiowa jest zmienn, a losow, a o rozk ladzie wyk ladniczym z parametrem x/20. Niech X, Y oznaczaj, a, wilgotno´s´c oraz si le sygna lu w jutrzejszym dniu.,
a) Wyznaczy´c gesto´s´, c zmiennej (X, Y ) oraz gesto´s´, c zmiennej Y . b) Obliczy´c P(X ≥ 30|Y ).
4. Kwoty pieniedzy przeznaczonych na podr´, o˙ze przez kolejnych obywateli kraju K1 sa nie-, zale˙znymi zmiennymi losowymi X1, X2, . . . o rozk ladzie wyk ladniczym z parametrem 1/2. Kwoty przeznaczone na podr´o˙ze przez kolejnych obywateli kraju K2 sa niezale˙znymi zmiennymi losowymi, Y1, Y2, . . . (niezale˙znymi tak˙ze od X1, X2, . . .) o rozk ladzie wyk ladniczym z parametrem 1/4.
a) Korzystajac z nier´, owno´sci Czebyszewa-Bienaym´e, oszacowa´c prawdopodobie´nstwo, ˙ze laczna, kwota przeznaczona na podr´o˙ze przez 40 wybranych mieszka´nc´ow kraju K1 r´o˙zni sie od l, acznej, kwoty przeznaczonej przez 20 wybranych mieszka´nc´ow kraju K2 o co najmniej 30.
b) Czy ciag, X1+Y1+X24n−3+Y2+...+Xn+Yn, n = 1, 2, . . ., jest zbie˙zny prawie na pewno? W przypadku odpowiedzi pozytywnej, poda´c granice.,
5. W zwiazku z og loszon, a loteri, a, do kiosku zg lasza si, e 450 klient´, ow, z kt´orych ka˙zdy kupuje jeden, dwa lub cztery losy (wyb´or ka˙zdej liczby jest tak samo prawdopodobny).
a) Obliczy´c przybli˙zone prawdopodobie´nstwo, ˙ze kiosk sprzeda mniej ni˙z 1100 los´ow.
b) Ka˙zdy los kosztuje 10 z l, statystycznie co si´odmy klient p laci karta. Obliczy´, c przybli˙zone prawdopodobie´nstwo, ˙ze ilo´s´c got´owki uzyskana ze sprzeda˙zy los´ow bedzie wi, eksza ni˙z 9 300 z l.,
6. Ka˙zdego dnia pan Nowak idzie na zakupy do jednego z trzech sklep´ow S1, S2, S3. Je´sli w danym dniu pan Nowak uzyska rabat w sklepie kt´ory wybra l, to nastepnego dnia dokonuje zakup´, ow w tym samym sklepie; w przeciwnym razie wybiera jeden z dw´och pozosta lych (ka˙zdy wyb´or ma te, sama szans, e). Prawdopodobie´, nstwa uzyskania rabatu w sklepach S1, S2, S3 wynosza odpowiednio, 1/2, 1/3 i 1/7. Pierwszego dnia pan Nowak uda l sie do sklepu S, 2.
a) Obliczy´c prawdopodobie´nstwo, ˙ze trzeciego dnia pan Nowak uda sie do sklepu S, 1.
b) Obliczy´c przybli˙zone prawdopodobie´nstwo, ˙ze setnego dnia pan Nowak uda sie do sklepu S, 1. c) Obliczy´c przybli˙zone prawdopodobie´nstwo, ˙ze w setnym dniu pan Nowak dostanie rabat.
