∑ ∑ Cewka indukcyjna Prawo indukcji elektromagnetycznej (prawo Faradaya). Reguła Lenza

Wykład XII. INDUKCJA ELEKTROMAGNETYCZNA

Prawo indukcji elektromagnetycznej (prawo Faradaya). Reguła Lenza

W obwodzie (zwoju) obejmującym zmieniający się w cza- sie strumień magnetyczny Φ powstaje napięcie indukowa- ne uind (siła elektromotoryczna indukowana eind ) o warto- ści bezwzględnej proporcjonalnej do zmian strumienia w czasie dΦ / dt, niezależnej od sposobu wywoływania zmian strumienia obejmującego uzwojenie, np. poprzez ruch uzwojenia w polu magnetycznym niezmiennym w czasie (rys. a), czy poprzez zmiany prądu w umieszczo- nym obok, nieruchomym uzwojeniu (rys. b).

Wzory definicyjne, nadające różne znaki napięciu indukowanemu uind i sem indukowanej eind , mają następujące postaci:

dt u_{ind =} dΦ

,

dt e_{ind =−}dΦ

. (5.17a, b) Aby określić zwrot u_ind lub e_ind , korzysta się z reguły Lenza (nazywanej prawem przekory), w myśl której: skutek wynikający z przebiegu zjawiska „stara się” przeciwdziałać przyczynie wywołującej to zjawisko. Dla ułatwienia można posłużyć się hipotetycznym prądem Lenza iL , który wytwarza strumień przeciwstawiający się zmianom strumienia podstawowego (rys. a’ i b’).

Cewka indukcyjna

Cewka indukcyjna (inaczej: zwojnica, solenoid, induktor) jest uzwojeniem o określonej liczbie zwo- jów, wraz z otoczeniem stanowiącym środowisko wytwarzanego pola magnetycznego.

Przez strumień magnetyczny cewki (obejmowany przez cewkę) rozumie się strumień obejmowany przez jej zwoje. Zwoje cewki są rozłożone w przestrzeni, więc ogólnie każdy z nich może obejmo- wać inny strumień (inną część strumienia cewki). Strumień obejmowany przez zwój cewki nazywa się strumieniem skojarzonym z tym zwojem lub skojarzeniem magnetycznym tego zwoju.

Cewka przedstawiona na rys. obok składa się ze zwojów o nume- rach: 1, 2, ... , z, obejmujących strumienie: Φ1, Φ2, ... , Φz .

Napięcie indukowane w cewce jest sumą napięć indukowanych w jej zwojach (przez strumienie z nimi skojarzone):

dt d dt

d dt

u d ^z

z

k k ind

Φ Ψ Φ

Φ

Φ = + + + ₌

=

∑

=

)

( _{1 2}

1

... . (5.18)

Wielkość Ψ , tzn. suma strumieni skojarzonych ze zwojami cewki

∑

=

= + + +

= ^z

k k z

1 2

1 Φ Φ Φ

Φ

Ψ ^... . (5.18a) nazywa się strumieniem skojarzonym z cewką lub skojarzeniem magnetycznym cewki.

a’) b’)

uind eind

v +

–

× × B=const.

× × ×

× × ×

× × × iL

× × B

× × ×

× × uind eind

iL

dΦ dt >0

dΦ dt >0 Φ >0,

+

–

1 2 3

z uind

Φz

Φ1

a)

b) v B

uind

N S

i(t) B(t)

uind

Jeśli skojarzenia magnetyczne poszczególnych zwojów cewki są jednakowe, równe strumieniowi obejmowanemu przez cewkę

Φz

Φ Φ

Φ = ₁ = ₂ =...= , (5.19a) to skojarzenie magnetyczne cewki wynosi

Φ

Ψ =z⋅ , (5.19b) a napięcie indukowane w niej -

dt zd u_{ind =} Φ

. (5.19c)

Indukcyjność własna

Zjawisko indukowania się napięcia w cewce lub pojedynczym zwoju (obwodzie elektrycznym), wskutek zmian prądu płynącego w tej cewce lub tym zwoju, nazywa się indukcją własną lub samo- indukcją. Takie cewki lub zwoje, występujące jako elementy obwodu, noszą miano indukcyjności.

Miarą zdolności cewki (zwoju, obwodu) z prądem i, do wytworzenia własnego strumienia skojarzo- nego Ψ, jest indukcyjność własna wyrażona wzorem

L₌Ψi

. (5.20) Jednostką indukcyjności własnej jest – wymieniony już wcześniej – henr (T) czyli omosekunda (Ω⋅s).

Ogólnie, na wartość stosunku Ψ do i może wpływać wartość oraz charakter zmienności Ψ lub i.

Zależność Ψ(i) jest więc w ogólnym przypadku nieliniowa (rys. a). Jeśli uzwojenie cewki jest osa- dzone na rdzeniu ferromagnetycznym, który stanowi magnetowód, to wykres Ψ(i), podobnie jak B(H), przedstawia pętlę histerezy (rys. b). Cewki (indukcyjności) o charakterystykach nieliniowych – bez histerezy i z histerezą – nazywa się nieliniowymi.

Operowanie pojęciem L ma sens, jeśli stosunek Ψ do i ma stałą wartość, czyli zależność Ψ^{(i) jest} liniowa (rys. c). Taka cewka (indukcyjność) nosi nazwę liniowej. Cechę liniowości mają cewki z uzwojeniami umieszczonymi w środowisku o stałej wartości przenikalności magnetycznej µ^.

W praktyce za liniowe uważa się cewki bezrdzeniowe (powietrzne) oraz – w ograniczonym zakresie – cewki o rdzeniach stalowych ze szczeliną powietrzną i cewki o rdzeniach wykonanych ze specjal- nych materiałów (perminvar, izoperm).

Przy równych strumieniach skojarzonych z poszczególnymi zwojami cewki (rys.):

Φz

Φ Φ

Φ = ₁ = ₂ =...= , (5.21a) Φ

Ψ =z⋅ , (5.21b)

µ Λµ

Θ Φ

Φ _{= ⋅ = = ⋅}

= ⋅ ^{2 2} z²

R z z

i

L z , (5.21)

dt Ldi

u_ind = . (5.22) Napięcie indukowane w cewce przez płynący przez nią prąd nazywa się napięciem samoindukcji.

a) b) c)

i Ψ

0

Ψ

i 0

i Ψ

0

uind z Φ i

iL

uind L i U_µ

Θ =zi

Rµ

Φ ⁼Ψ z

Indukcyjność wzajemna

Zjawisko indukowania się napięcia w cewce lub pojedynczym zwoju (obwodzie elektrycznym), wskutek zmian prądu płynącego w innej cewce lub innym zwoju, nazywa się indukcją wzajemną.

Takie cewki lub zwoje (sprzężone magnetycznie) noszą miano indukcyjności sprzężonych.

Zostaną przedstawione zależności dotyczące dwóch cewek sprzężonych (jeśli w układzie jest więcej takich cewek, to każde ze sprzężeń jest opisywane osobno z użyciem tej samej formuły).

Sprzężenie cewek nie jest nigdy idealne: część strumienia wy- twarzanego przez prąd jednej cewki nie jest obejmowana przez drugą, i na odwrót. Strumienie własne Φ11 i Φ22 , wytwarzane przez prądy i₁ i i₂ , dzielą się na strumienie główne (wzajemne) Φg1 i Φg2 , i strumienie rozproszenia Φs1 i Φs2 (rys. obok):

1 1

11 Φg Φs

Φ = + , (5.23a)

2 2

22 Φg Φs

Φ = + . (5.23b) Całkowite skojarzenia magnetyczne cewek są związane ze stru- mieniami własnymi i wzajemnymi (głównymi): Ψ1 z Φ11 i Φg2 ; Ψ2 z Φ22 i Φg1 .

Przyjęto, że strumienie składowe (własne oraz wzajemne) obej- mują wszystkie zwoje jednej lub drugiej cewki, albo obu cewek.

Zakładając liniowość indukcyjności, tzn. proporcjonalność wszystkich rozważanych strumieni do wywołujących je prądów (co sprowadza się do warunku niezmienności µ), definiuje się wielkości stałe (parametry cewek):

- indukcyjności własne

1 11 1

1 i

L = z ⋅Φ ,

2 22 2

2 i

L = z ⋅Φ , (5.24a, b)

- indukcyjności wzajemne

2 2 1

12 i

L z ⋅Φ^g

= ,

1 1 2

21 i

L z ⋅Φ^g

= , (5.25a, b) - indukcyjności główne

1 1 1

1 i

L_g z ⋅Φ^g

= ,

2 2 2

2 i

L_g z ⋅Φ^g

= , (5.26a, b) - indukcyjności rozproszenia

1 1 1

1 i

L_s = z ⋅Φ^s ,

2 2 2

2 i

L_s = z ⋅Φ^s . (5.27a, b) Jednostką ww. indukcyjności jest henr (H) czyli omosekunda (Ω⋅s).

Wykazuje się, że jeśli strumienie Φg1 i Φg2 przebiegają w tym samym, jednorodnym środowisku (µ = const.), to jest jedna indukcyjność wzajemna

M L

L₁₂ = ₂₁ = . (5.28) Z podanych wyżej wzorów wynika, że:

1 1

1 Lg Ls

L = + , L₂ = L_g2+L_s2 , (5.28a, b) oraz

1 2 1 21

z z L L

g

= ,

2 1 2 12

z z L L

g

= , czyli

2 1 2 1

g g

L M M L z

z = = ,

więc _{2 1 2}

2 1 1 1 2

g g g

g L L L

z L z z

M = z = = ⋅ . (5.28c) z1

i1

Φs1

z2

Φg1

z1

Φ^s2

i2

z2

Φg2

Wprowadzając współczynniki sprzężenia magnetycznego:

- cewki 2. względem 1

1 1 1

1 11

1

21 1

L L L

k = ^g = L^g = − ^s Φ

Φ , (5.29a)

- cewki 1. względem 2.

2 2 2

2 22

2

12 1

L L L

k = ^g = L^g = − ^s Φ

Φ , (5.29b)

- cewek 1. i 2

2 1 12

21 L L

k M k

k = ⋅ = ⋅ , (5.29c)

otrzymuje się wzór M =k L₁⋅L₂ . (5.29d) Cewki sprzężone magnetycznie powinny mieć oznaczone

gwiazdkami lub kropkami zaciski jednoimienne (inna na- zwa: jednakoimienne). Przy prądach dopływających do zacisków jednoimiennych z tej samej strony w obu cew- kach, np. z zewnątrz (rys. obok), mówi się o sprzężeniu dodatnim, a przy prądach dopływających z przeciwnych stron – o sprzężeniu ujemnym. Gdy sprzężenie jest dodat- nie, strumienie główne cewek mają ten sam zwrot, a gdy ujemne – przeciwny.

Strumienie główne cewek tworzą łącznie strumień główny całkowity Φg , zaś strumień główny i strumienie rozproszenia – strumienie obejmowane przez cewki Φ1 i Φ2:

2

1 g

g

g Φ Φ

Φ = ± , Φ₁=Φ_g +Φ_s1 , Φ₂ =Φ_g +Φ_s2 . (5.30a, b, c) Znak „±” we wzorze (5.30a) i w dalszych, niżej zamieszczonych zależnościach, oznacza przy sprzęże- niu dodatnim „+”, a przy sprzężeniu ujemnym „–”. Cewki sprzężone przedstawia się symbolicznie, używając pojęć indukcyjności własnych i wzajemnej (na rys. a – sprzężenie dodatnie). Skojarzenia magnetyczne i napięcia indukowane cewek sprzężonych magnetycznie wyrażają się następująco:

2 1

1 12 11

1 =Ψ +Ψ =L ⋅i ±M⋅i

Ψ , (5.31a)

1 2

2 21 22

2 =Ψ +Ψ =L ⋅i ±M⋅i

Ψ , (5.31b)

dt M di dt L di

u_ind.1 = ₁⋅ ¹ ± ⋅ ² , (5.32a)

dt M di dt L di

u_ind.2 = ₁⋅ ² ± ⋅ ¹ , (5.32b) gdzie (rys. b):

1 1 11 =L ⋅i

Ψ ^, Ψ₁₂ =±^M ⋅ⁱ₂ , (5.33a, b)

2 2 22 =L ⋅i

Ψ ^, Ψ₂₁ =±^M ⋅ⁱ₁ . (5.33c, d) W literaturze spotyka się też inne zasady indekso- wania podanych wyżej wielkości. Można np. spotkać oznaczenia Φg2 = Φ21 i Φg1 = Φ12 , prowadzące w konsekwencji do oznaczeń Ψ21 i Ψ12 , w miejscu przyjętych tu Ψ12 i Ψ21 .

i1

Φs1

uind.1 z1

Φ^s2

i2

z2 uind.2

Φg1

Φg2

i1 M

uind.1 L1 L2

i2

uind.2

a)

b)

i1

Ψ¹¹ 0

L1 i1

i2

Ψ22

0

L2 i2

i2

Ψ¹² 0

+M i2

–M i2

i1

Ψ21

0

+M i1

–M i1

Energia pola magnetycznego cewki

Energia wytworzona w polu magnetycznym cewki, w czasie dt, równa się pracy prądu w jej obwodzie elektrycznym (rys. a):

µ u i dt i dΨ

dW = _ind⋅ ⋅ = ⋅ , (5.34a) albo

Φ Ψ Θ

µ d

z z d i

dW = ⋅ ⋅ = ⋅ . (5.34b) Całkowita energia pola magnetycznego cewki wynosi

∫

∫

=

) (

0 )

(

0

Θ Φ Ψ

µ ^{i d}Ψ Θ ^dΦ

W

i

. (5.34c) Związki (5.34a, b, c) przedstawiono poglą- dowo na rys. b.

Jeśli wartości Ψ ^lub Φ rosną, to pole obrazujące W_µ zwiększa się, czyli energia jest pobierana z obwodu elektrycznego i gromadzona w polu magnetycznym, jeśli natomiast Ψ ^lub Φ maleją, to W_µ zmniejsza się, czyli energia pola jest zwracana do obwodu. Idealna (bezrezystancyjna) cewka jest więc elementem bezstratnym (konserwatywnym).

Z zależności: (5.16a) i (5.20), dotyczących obwodów pokazanych na rys. a’, oraz (5.34c), wynikają następujące wzory dla cewki linio- wej:

µ µ

µ Φ Θ Φ Θ

R R

W 2 2

1 2

1 ⋅ ₂ = ⋅ = ²

= . (5.35a)

2 2

2 1 2

1

2 i L i

W =ΨL = Ψ ⋅ = ⋅

µ , (5.35b)

Związki powyższe przedstawiono poglądowo na rys. b’.

Energia pola magnetycznego cewek sprzężonych

Energia pola magnetycznego wytwarzana przez prądy i₁ i i₂ w uzwojeniach dwóch cewek sprzężo- nych – przy zmianach skojarzeń magnetycznych dΨ1 i dΨ2 – wynosi

2 2 1

1 Ψ Ψ

µ i d i d

dW = ⋅ + ⋅ . (5.36) Ze wzorów (5.31a) i (5.31b) wynika, że:

2 1

1 12 11

1 d d L di M di

dΨ = Ψ + Ψ = ⋅ ± ⋅ , (5.36a)

1 2

2 21 22

2 d d L di M di

dΨ = Ψ + Ψ = ⋅ ± ⋅ , (5.36b) a zatem:

22 2 21 2 12 1 11

1 Ψ Ψ Ψ Ψ

µ i d i d i d i d

dW = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ , (5.37a)

2 2 2 1 2 2 1 1

1

1 i di M (i di i di ) L i di

L

dW_µ = ⋅ ⋅ ± ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ , (5.37b) stąd:

2 2

2 2

22 2 21 2 12 1 11

1 Ψ Ψ Ψ Ψ

µ = i ⋅ +i ⋅ +i ⋅ +i ⋅

W , (5.38a)

2 2

2 2 2 2 1 2

1

1 L i

i i i M

W_µ = L ⋅ ± ⋅ ⋅ + ⋅ . (5.38b) a)

b) Ψ

0 i1 i Ψ

Ψ¹ dΨ

i Wµ

dWµ

Φ

0 Θ1 Θ Φ

Φ¹ dΦ

Θ Wµ

dWµ

uind z i iL

Φ =Ψ z

a’)

b’)

Θ =R_µΦ

Rµ

Φ

uind L i =Ψ

L

Ψ

i 0

Ψ

i Wµ

Φ

Θ 0

Φ

Θ Wµ

Uwzględniając możliwość różnych znaków Θ2 i Φ2 =Φg2 +Φs2 , względem Θ1 i Φ1 =Φg1 +Φs1

(zgodnych – przy sprzężeniu dodatnim, przeciwnych – przy sprzężeniu ujemnym), przedstawia się zależność (5.38a) w postaci związanej z wielkościami obwodu magnetycznego (rys. – sprzężenie dodatnie):

2 , 2

2

2 2

) (

) (

2

2 ) ( ) ( 2

) ( 2

) ( 2

2 2 1

1

2 2 2

1 2

1 1 1

2 1 2

2 2

1 1 1

s s

g s s g

g

W g

Φ Φ Θ

Φ Θ Θ

Φ Φ Θ

Φ Θ Φ Θ

Θ

Φ Φ Θ

Θ Φ

Φ Θ

µ Θ

+ ⋅ + ⋅

= ⋅

⋅ =

± +

⋅ + ±

= ⋅

± =

⋅ + ±

⋅ + ±

± + ⋅

= ⋅

(5.38c)

gdzie: Θ =Θ₁±Θ₂ ^, Φ =Φ_g1±Φ_g2 . (5.38d, e)

Gęstość energii pola magnetycznego

Ogólnie, natężenie pola magnetycznego i indukcja magnetyczna są funkcjami położenia, lecz ogra- niczając rozważania do elementarnej „rurki” magnetycznej (rys. a) przyjmuje się, że pole magne- tyczne w tak małym fragmencie przestrzeni jest równomierne, zatem energia pola rozkłada się w nim równomiernie. Dla wielkości elementarnych, wzory (5.3c), (5.13d) i (5.34b) przyjmują postaci:

S B ∆

∆Φ = ⋅ , ∆U_µ =H⋅∆l, ^d(∆^W_µ)=∆^U_µ⋅^d(∆Φ), stąd ∆ µ ^=∆Φ

∫

∫

0 0

) (

B

dB H S l d

U

W .

Iloczyn ∆l⋅∆S jest objętością rurki, więc objętościowa (prze- strzenna) gęstość energii magnetycznej wyraża się wzorem

∫

=

) (

0 H B

W_µ H dB

ρ . (5.39a) Dla środowiska o stałej wartości µ – zależność (5.39a) przyjmu- je postaci:

B H B H

W = = ⋅ = ⋅

2 1

2 1 2

2

2 µ

ρ _µ µ . (5.39b)

Objętościowej gęstości energii magnetycznej odpowiada pole powierzchni między osią rzędnych i charakterystyką magneso- wania w układzie współrzędnych B, H – rys. b (przenikalność µ zmienna), rys. c (przenikalność µ ^stała).

Transformator bezstratny

Transformator jest urządzeniem umożliwiającym przenoszenie energii z jednego obwodu elektrycz- nego do drugiego obwodu elektrycznego, na drodze magnetycznej. Idealne (bezstratne) cewki sprzężone są prototypem transformatora bezstratnego.

W transformatorze (rys. obok) wyróżnia się stronę pier- wotną i stronę wtórną; odpowiednio do tego: napięcie pierwotne u₁, prąd pierwotny i₁, napięcie wtórne u₂ i prąd wtórny i2 . Strzałkowanie napięcia i prądu transformatora po stronie pierwotnej jest typu odbiornikowego, a po stro- nie wtórnej – generatorowego. Oznaczenie zacisków dla prądów i₁ i i₂ odpowiada sprzężeniu ujemnemu, tzn.

2

1 Θ

Θ

Θ = − ^, Φ =Φg1−Φg2 . Θ 1

Θ 2

R_µ.s1

Φs1

R_µ.s2

Φ^{s2 Rµ.} Φ

B, H

∆^Uµ

∆l

∆^S a)

b)

c) B

0 H B

H ρWµ

B

H 0

B

H ρWµ

i1 M

uind.1 L1 L2

i2

uind.2

(z1 ) (z2 )

Napięcia po obu stronach transformatora bezstratnego są napięciami indukowanymi:

dt M di dt L di

u_ind.1 = ₁⋅ ¹ − ⋅ ² ,

dt M di dt L di

u_ind.2 =− ₂⋅ ² + ⋅ ¹ . (5.40a, b) Wykorzystując zależności (5.28a, b, c):

1 1

1 Lg Ls

L = + , L₂ =L_g2+L_s2 , ₂

2 1 1 1 2

g

g L

z L z z

M = z = ,

zapisuje się równania (5.40a, b) w następującej postaci:

dt L di z z dt L di dt L di

u_{ind s g g1} ²

1 2 1 1 1 1 1

. − ⋅ = ⋅ − ⋅ , (5.41a)

dt L di dt L di z z dt L di

u_{ind s g2} ¹ _g2 ²

2 1 2 2 2

. + ⋅ = ⋅ − ⋅ . (5.41b) Po oznaczeniu wyrazów przedstawiających napięcia na indukcyjnościach rozproszenia:

dt L di

u_s1 = _s1⋅ ¹ ,

dt L di

u_s2 = _s2⋅ ² , (5.42a, b) oraz oznaczeniu i przekształceniu wyrażeń po prawych stronach równań (5.41a, b):







 − ⋅

⋅

= dt

di z z dt L di

u_{g g} ²

1 2 1 1

1 , (5.43a)







 − ⋅

⋅

=







 − ⋅

⋅

= dt

di z z dt L di z z dt di z z dt L di z

u_g z _{g g} ²

1 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1

2 , (5.43b)

otrzymuje się równania:

1 1 1

. s g

ind u u

u − = , u_ind.2+u_s2 =u_g2 , (5.44a, b) którym odpowiada dwuobwodowy schemat zastępczy transformatora bezstratnego (rys. poniżej).

Wynikiem dzielenia stronami równań (5.43a) i (5.43b) jest wielkość nazywana przekładnią transformatora:

2 1 2 1

z z u u

g

g =

ϑ = . (5.45)

Zależność (5.28c) przyjmuje więc formę:

2 1

g

g L

M = L =ϑ⋅

ϑ , (5.45a) zaś wzory (5.43a, b) – po dodatkowym, obustronnym pomnożeniu drugiego z nich przez ϑ ^{– zapi-} suje się następująco:



 



 − ⋅

⋅

= dt

di dt

L di

u_{g1 g1} ¹ 1 ²

ϑ , (5.46a)



 



 − ⋅

⋅

=

⋅

= dt

di dt

L di u

u_{g1 g2} ² _g2 ¹ 1 ²

ϑ ϑ

ϑ . (5.46b)

Na podstawie tych zależności przedstawia się jedno- obwodowy schemat zastępczy transformatora bez- stratnego (rys. obok), na którym występują wielkości przeliczone ze strony wtórnej na stronę pierwotną:

2 2

1 _g '_g

g

i u u u

u = =ϑ⋅ = , (5.47a)

2 . 2

'_ind. u_ind

u =ϑ⋅ ^, u'_s2=ϑ⋅u_s2 , (5.47b, c) i1 Ls1 ϑ : 1 Ls2 i2

uind.1 ug1 ug2 uind.2 Lg1

Lg2

us2

us1

i1 Ls1 L’s2 i’2

uind.1 ui u’ind.2 i_µ

Lµ

u’s2

us1

ϑ² '2 i

i = , L_µ =L_g1=ϑ²⋅L_g2 ^{, L'}_s2=ϑ²⋅^L_s2 . (5.47d, e, f) Ostatecznie otrzymuje się równania:

i s

ind u u

u _.1 = ₁+ , u_i =u'_s2+u'_ind.2 , (5.48a, b)

dt L di

u_s1= _s1⋅ ¹ ,

dt L di u_{s2 s2} '²

'

' = ⋅ , (5.48c, d)

dt L di

u_i = _µ ⋅ ^µ , i₁ =i_µ +i'₂ . (5.48e, f) Uwaga. Stosując przekładnię 1/ϑ ^zamiast ϑ, przelicza się wielkości ze strony pierwotnej na wtórną.

W energetyce definiuje się przekładnie transformatora (napięciowe lub zwojowe) jako stosunki wielkości górnych i dolnych, tzn. dotyczących stron wyższego i niższego napięcia. Wartość tak określonej przekładni nie może być mniejsza od 1. Powyższe rozważania dotyczą więc transformatora

„energetycznego” zasilanego od strony górnej (jeśli jest inaczej, to za ϑ wstawia się wszędzie 1/ϑ^).

Transformator idealny a transformator bezstratny

Transformator idealny jest elementem o dwóch parach zaci- sków, zdefiniowanym przez równania (rys. a):

2

1 u

u =ϑ⋅ , ϑ²

1

i =i . (5.49a, b) Realizacja fizyczna transformatora idealnego (pod różnymi na- zwami) może dotyczyć zarówno prądu zmiennego, jak i stałego.

Pod pewnymi warunkami, przy prądzie zmiennym, transformator bezstratny spełnia dość dokładnie równania transformatora idealnego. Aby określić te warunki, przed- stawiono dwuobwodowy schemat zastępczy transformatora bezstratnego z transforma- torem idealnym (rys. b).

Jak widać, sprzężenie powinno być idealne (L_s1=0, L_s2 =0, więc k = 1, M = L₁⋅L₂ ^{) i jak} największe ( i_µ =0, więc L_µ =L_g1 =ϑ⋅M ≈∞). Wtedy: u_ind.1 ≈ϑ⋅u_ind.2 ^, i1 ≈i2 ϑ ^.

Transformator rzeczywisty

W uzwojeniach rzeczywistego transformatora występują straty Joule’a, którym przypisane są rezy- stancje. Dołącza się je szeregowo (po stronie pierwotnej i wtórnej) do transformatora bezstratnego.

Rezystancję uzwojenia wtórnego R2 przelicza się na stronę pierwotną wg wzoru: R'₂=ϑ²⋅R₂ ^. Strumień główny rzeczywistego transformatora przebiega wyłącznie w powietrzu lub w rdzeniu ferromagnetycznym, albo częściowo rdzeniu i częściowo w powietrzu (w szczelinie powietrznej).

W rdzeniu występują zjawiska histerezy i prądów wirowych, z którymi związane są straty energii, którym przypisana jest rezystancja R_Fe . Straty w ferromagnetyku zależą nieliniowo od indukcji ma- gnetycznej i częstości przemagnesowywania rdzenia, ale przy stałej wartości skutecznej i częstotli- wości napięcia traktuje się rezystancję RFe jako stałą. Dołącza się ją równolegle do indukcyjności głównej (magnesującej) L_µ transformatora bezstratnego.

Na rys. obok pokazany jest jednoobwo- dowy schemat zastępczy transformatora z rdzeniem ferromagnetycznym, skon- struowany zgodnie z powyższymi obja- śnieniami.

ϑ ^{: 1} i1 i2

u1 u2

a)

b) i1 Ls1 Ls2 i2

uind.1 ug1 ug2 uind.2

iµ

Lµ

us2

us1

ϑ ^{: 1}

i1 R1 Ls1 L’s2 R’2 i’2

u1 u_i Lµ u’2

iµ

iFe

RFe