Elektrostatyka. Kondensatory Nieruchome (niezmienne) ładunki elektryczne rozmieszczone w

Elektrotechnika podstawowa ²³

ROZDZIAŁ 2

E l e k t r o s t a t y k a . K o n d e n s a t o r y

Nieruchome (niezmienne) ładunki elektryczne rozmieszczone w środowisku dielektrycznym są źró- dłami pola elektrostatycznego. W praktyce model taki można stosować także przy wolno zachodzą- cych zmianach ładunków, odnosząc go do pola elektrycznego występującego w kolejnych chwilach czasowych. Założenie quasistacjonarności pola elektrycznego stosuje się m.in. do układów izola- cyjnych i kondensatorów przy napięciu sinusoidalnym o częstotliwości 50 Hz.

Własności izolacyjne układów bądź zdolność gromadzenia ładunków w układach są zależnie od rodzaju stosowanych dielektryków i struktury przestrzennej elementów.

Kondensator jest urządzeniem służącym do gromadzenia ładunku elektrycznego. Kondensatory można łączyć na różne sposoby, uzyskując określone wartości pojemności zastępczych.

Rzeczywiste dielektryki nie są doskonałe, tzn. cechują się upływnością (konduktywnością), co po- garsza ich trwałość i inne parametry użytkowe. Ciepło wydzielające się w konduktancji rzeczywi- stego dielektryka może wywoływać w materiale zmiany starzeniowe, sprzyjające wyładowaniom niezupełnym, które prowadzą do wyładowania zupełnego (przebicia izolacji).

Analiza układów z rzeczywistymi dielektrykami wykracza formalnie poza ramy elektrostatyki. Po- dobnie rzecz się ma z analizą procesów ładowania i rozładowania kondensatora ze źródła napię- ciowego. Umieszczenie tych zagadnień i elektrostatyki w tym samym rozdziale wydaje się jednak logiczne i potrzebne.

+ –

Oznaczenia wielkości występujących w rozdziale 2 C pojemność elektryczna

d odległość między okładzinami kondensatora D indukcja elektryczna

E stałe napięcie źródłowe E natężenie pola elektrycznego F siła

h odległość między ładunkami dipola elektrycznego i prąd (natężenie prądu)

i_γ prąd upływnościowy i_ε prąd przesunięcia

I prąd stały (natężenie prądu stałego) J gęstość prądu elektrycznego

l długość kabla

pE ciśnienie elektrostatyczne p moment dipola elektrycznego P polaryzacja elektryczna q ładunek; ładunek dipola Q ładunek

r odległość; promień okręgu r wektor odległości; promień R rezystancja (opór elektryczny) S pole powierzchni

S elastancja (odwrotność pojemności) t czas

U napięcie stałe v objętość V potencjał W praca, energia

x współrzędna długości; przesunięcie

γ przewodność właściwa (konduktywność) materiału ε przenikalność elektryczna

εr przenikalność elektryczna względna

ε0 stała elektryczna (przenikalność elektryczna próżni)

ρq przestrzenna (objętościowa) gęstość ładunku elektrycznego

ρW przestrzenna (objętościowa) gęstość energii pola elektrostatycznego σpol powierzchniowa gęstość ładunków polaryzacji

σq powierzchniowa gęstość ładunku elektrycznego τ stała czasowa obwodu

χ podatność elektryczna dielektryka

Ψ strumień indukcji elektrostatycznej; strumień elektryczny

Literatura do rozdziału 2 [2], [3], [4]

2. Elektrostatyka. Kondensatory ²⁵

Wykład III. INDUKCJA ELEKTRYCZNA. DIELEKTRYKI. POJEMNOŚĆ ELEKTRYCZNA

Prawo Coulomba

Wartość bezwzględna sił oddziaływania elektrycznego F (N) dwóch ładunków punktowych o war- tościach bezwzględnych Q₁ i Q₂ (C), umieszczonych w powietrzu (próżni) i oddalonych od siebie o r (m) - jak na rys. - wynosi

2 0

2 1

4 r

Q F Q

⋅

⋅

= ⋅ ε

π , (2.1a) gdzie ε0 ≈ 8,85⋅10^-12 C² N^-1 m^-2 – przenikalność elek- tryczna próżni (stała elektryczna); odwołując się do jed- nostki pojemności elektrycznej - farada (F), co objaśniono dalej, ε0 wyraża się w faradach na metr (F m^-1).

Jeśli uwzględnimy znaki Q1 i Q2 , a odległości Q2 od Q1

przypiszemy wektor r21 = r2 – r1 = r⋅1r.21 , zaś odległości Q₁ od Q₂ – wektor o przeciwnym zwrocie r₁₂ = r₁ – r₂ =

= r⋅1_r.12 = – r₂₁ (1_r.12 i 1_r.21 są wektorami kierunkowymi odległości, mającymi przeciwne zwroty a kierunek taki, jak prosta wyznaczona przez położenie Q1 i Q2), to siła działająca na Q₂ jest wektorem

21 2 . 0

2 1

21 4 r ^r

Q

Q 1

F ⋅

⋅

⋅

= ⋅ ε

π ; (2.1b) natomiast siła działająca na Q₁ –

21 12

2 . 0

2 1

12 4 1 F

F ⋅ =−

⋅

⋅

= ⋅ _r

r Q Q

ε

π . (2.1c)

Ze zmniejszania się siły oddziaływania elektrostatycznego z kwadratem odległości od ładunku wy- nika ograniczony zasięg oddziaływania elektrycznego.

Pole elektrostatyczne w próżni

Pole elektryczne, wytworzone w próżni (idealnym środowisku dielektrycznym) przez ładunki nieru- chome i niezmienne w czasie, nazywa się polem elektrostatycznym.

W odległości r = r 1_r od pojedynczego ładunku Q (rys.) występuje w próżni natężenie pola elektrycznego

r r

Q 1

E ⋅

⋅

= ⋅ ₂

4π ε0 ; (2.2a) i potencjał elektryczny

r dr Q

E V

r ⋅ = ⋅ ⋅

=

∫

4π ε0 . (2.2b) Całka liniowa po drodze zamkniętej wektora natężenia pola elektrostatycznego, pochodzącego od ładunku punktowego, jest równa zeru.

Jeśli w przestrzeni znajduje się więcej ładunków elektrycznych, to wypadkowe natężenie pola elek- trostatycznego i potencjał elektryczny można wyznaczyć – w dowolnym punkcie przestrzeni – na zasadzie superpozycji.

Całka wektora natężenia pola jest sumą całek wektorów pochodzących od każdego z ładunków.

Całka liniowa po drodze zamkniętej wektora natężenia pola elektrostatycznego jest więc równa ze- ru. Pole elektrostatyczne jest polem bezwirowym.

x

y z

r +Q2

1r.21

+Q1

1r.12

F12

F21

r1

r2

+Q r E

1r V

Zjawisko indukcji elektrostatycznej

Zakłada się, że ładunek +Q został umieszczony w środku kuli o promieniu r, a powierzchnia tej kuli jest pokryta cienką warstwą przewodzącą, która stanowi osłonę elektrostatyczną (ekran) ładunku.

Na zasadzie zjawiska indukcji elektrostatycznej (influencji), po wewnętrznej stronie osłony groma- dzi się ładunek −Q, a po zewnętrznej ładunek +Q. Rozważany układ przestrzenny jest symetryczny, wobec tego powierzchniowa gęstość ładunku (po wewnętrznej stronie – ujemnego, po zewnętrznej – dodatniego) wynosi

4 r2

Q

q = ⋅

σ π . (2.3a) Jeśli, zamiast całej osłony, na powierzchni kuli znajduje się tyl- ko mała płytka przewodząca o powierzchni ∆S (rys. a), to bez- względne wartości ładunków, jakie indukują się w niej, po każ- dej ze stron, wynoszą

S r

Q Q ∆

∆ π ⋅

= ⋅ ₂

4 . (2.3b) Gdy powierzchnia takiej płytki jest ustawiona pod kątem α ^do promienia (rys. b), to powierzchniowe gęstości i bezwzględne wartości indukujących się na niej ładunków są równe:

α σ

σ_qα = _q ⋅cos , (2.3c) α

π ∆

∆ ^cos

4 ² ⋅ ⋅

= ⋅ S

r

q Q . (2.3d)

Jeśli ładunek Q jest osłonięty dowolną, zamkniętą warstwą przewodzącą, to po zewnętrznej stronie tej warstwy, niezależnie od kształtu jej powierzchni S, indukuje się ładunek o łącznej wartości Q:

∑

S

Q

∆q . (2.3e)

Indukcja elektrostatyczna i strumień indukcji elektrostatycznej

W związku z zależnościami (2.3a) i (2.3d), wprowadza się następujące wielkości (rys.):

- indukcję elektrostatyczną ładunku punktowego (w odległości od niego r = r 1r )

E 1

1

D ⋅ = ⋅

= ⋅

⋅

= _{2 0}

4 ε

σq r π r

r

Q , (2.4a)

- strumień indukcji elektrostatycznej ∆Ψ (oznaczenia rezerwowe

∆Φe) przez element powierzchni ∆^S

α

∆

∆

∆Ψ = D⋅ S =D⋅ S⋅^cos , (2.4b) - strumień indukcji elektrostatycznej Ψ (oznaczenia rezerwowe Φe) przez powierzchnię S

∫

=

S

d

Ψ D S , (2.4c) gdzie ∆S =∆S 1⋅ _n – wektor normalny do elementu powierzchni ∆S (w przypadku powierzchni

zamkniętych – skierowany na zewnątrz tych powierzchni).

Na podstawie: (2.4a), (2.4b) i (2.4c), otrzymuje się nowy zapis zależności (2.3d) i (2.3e):

S D ∆

∆

∆q= Ψ = ⋅ , (2.5a) Q

d

Ψ =

∫

r

E -σq +σq

-∆Q +∆Q

∆S a)

b)

+Q r

E -σqα

-∆q +∆q

∆S +σqαα

+Q

r

E 1r

∆^S D

∆^S 1n

S

α

2. Elektrostatyka. Kondensatory ²⁷

Twierdzenie Gaussa. Indukcja elektryczna i strumień elektryczny

Zależność (2.5b) to analityczny zapis twierdzenia Gaussa w elektrostatyce. W słowach wyraża się ono następująco: strumień indukcji elektrostatycznej przez powierzchnię zamkniętą, skierowany na zewnątrz tej powierzchni, jest równy obejmowanemu przez nią ładunkowi (tzn. znajdującemu się w obszarze wewnętrznym, objętym tą powierzchnią).

Wartość całki we wzorze (2.5b) jest w ogólnym przypadku różna od zera. Pole elektrostatyczne jest więc polem źródłowym.

Powierzchnia może obejmować dowolną liczbę ładunków skupionych oraz ładunki rozmieszczone powierzchniowo i przestrzennie. Na zasadzie superpozycji, strumienie indukcji elektrostatycznej, pochodzące od poszczególnych ładunków, dodają się algebraicznie. Wzór (2.5b) można więc przed- stawić w postaci ogólnej:

∑ ∫ ∑ ∫

∫

∑

=

j S k v

k qk j

qj i

i

j k

dv dS

Q d

Ψ ^{D S} σ ρ . (2.5c)

Pojęcia indukcji elektrostatycznej D i strumienia indukcji elektrostatycznej Ψ rozszerza się – ze względów obliczeniowych – na dowolne pole elektryczne, nazywając je: D – indukcją elektryczną, Ψ – strumieniem elektrycznym.

Jednostką indukcji elektrycznej jest kulomb na metr do kwadratu (C m^-2), a strumienia elektryczne- go – kulomb (C).

Chociaż powierzchniowa gęstość ładunku elektrycznego σq i indukcja elektryczna D mają tę samą jednostkę (C m^-2), są to różne wielkości fizyczne. Podobnie rzecz się ma z ładunkiem elektrycznym Q i strumieniem elektrycznym Ψ, których jednostką jest C.

Przewodniki w polu elektrostatycznym

Powierzchnia i wnętrze przewodnika umieszczonego w polu elektrostatycznym mają ten sam potencjał. Ładunki w przewod- niku umieszczonym w polu elektrostatycznym, rozdzielone wskutek zjawiska influencji i rozłożone na powierzchni, wytwa- rzają własne pole elektryczne, które jest „odpowiedzią” na dzia- łanie pola zewnętrznego. Pole indukowane wewnątrz przewod- nika tym rozkładem ładunków całkowicie kompensuje pole ze- wnętrzne (rys. obok). Ładunki układają się więc na powierzchni w taki sposób, że wewnątrz nie ma pola elektrostatycznego.

Pole elektrostatyczne w dielektrykach

Pole indukowane wewnątrz dielektryków – w wyniku przesunięć ładunków w strefie cząsteczek – jest również skierowane przeciwnie do pola zewnętrznego, lecz nie kompensuje go całkowicie.

Reakcje atomów i cząsteczek dielektryków na zewnętrzne pole elektrostatyczne E, przedstawiono poglądowo na rysunkach (rys. a – bez pola zewnętrznego; rys. b – z polem zewnętrznym).

Model atomu: Model cząsteczki niepolarnej (02): Model cząsteczki polarnej (H2O):

a) a) a)

b) b) b)

Ezewn

Ezewn

E_wewn – + – + – + – + – + – – + + – +

E = 0

E

- - - - - + - - - - -

- - - - - + - - - - -

E = 0

- - - - - + - - - - -

- - - - - + - - - - -

E

- - - - - + - - - - - - -

- - - + - - - - -

E = 0

- - - - - + - - - - - -

+ + -

E

+ -

- + - - - - - + - - - - -

Polaryzacja dielektryków

Zmiany zachodzące w dielektrykach pod wpływem zewnętrznego źródła pola elektrostatycznego określa się mianem polaryzacji elektrostatycznej (elektrycznej). Atom lub cząsteczka spolaryzowa- nego dielektryka jest dipolem elektrycznym.

Moment dipola elektrycznego jest iloczynem p = q h, gdzie h – wektor odległości między ładunkami dipola ±q, zwrócony do ładunku dodatniego (rys. a).

Na zbiór elektrycznych dipoli atomów i cząsteczek, znaj- dujących się w objętości ∆v dielektryka, trzeba patrzeć

„statystycznie”. Wypadkowe działanie tych dipoli jest skierowane przeciwnie do pola zewnętrznego, można za- tem rozważać istnienie „zastępczych” dipoli p_∆v, których odległości h_∆v są zorientowane zgodnie z E (rys. b).

Założywszy objętościową gęstość ρq ładunków dodatnich i ujemnych, tworzących dipole atomów lub cząsteczek die- lektryka, i mnożąc ją przez h_∆v „zastępczych” dipoli, otrzymuje się powierzchniową gęstość σpol ładunków po- laryzacji, czyli ładunków rozłożonych na ściankach

„warstw dipoli” prostopadłych do E (rys. c).

Gęstość σpol wyraża stopień polaryzacji dielektryka i w większości przypadków jest proporcjonalna do E, a więc grubość „warstw dipoli” (rozsunięcie dodatnich i ujemnych ładunków dipoli „zastęp- czych”) h_∆v jest też proporcjonalna do E.

Wektor polaryzacji elektrycznej

W próżni (powietrzu) została określona indukcja elektrostatyczna D = D0 = ε0 E, która jest związa- na z powierzchniową gęstością σq ładunków elektrycznych indukowanych na ściankach przewodni- ka, zgodnie z zależnościami: σq = |D| i σqα = |D| cos α^.

Analogicznie, z gęstością σpol kojarzy się wektor polaryzacji elektrycznej (polaryzację elektryczną) E

1

P=σ_pol⋅ _E =χ⋅ε₀⋅ , (2.6a) gdzie χ – podatność elektryczna dielektryka, wielkość bezwymiarowa.

Zachodzą przy tym zależności:

a) σpol = |P| b) σpol.α = |P| cos α

Polaryzację elektryczną P definiuje się jako graniczną wartość stosunku sumy momentów dipoli elektrycznych p_∆v cząsteczek zawartych w objętości ∆v, do tej objętości:

v

v 0

lim

= ^∆

→

∆

P p . (2.6b)

Indukcja elektryczna w dielektryku i przenikalność elektryczna dielektryka

Na elektrodach, między którymi wytwarzane jest w dielektryku, przez układ zewnętrzny, pole elek- tryczne E, gromadzi się dodatkowo – oprócz ładunku odpowiadającemu indukcji D₀ w próżni (rys. a) – ładunek odpowiadający polaryzacji P dielektryka (rys. b).

–q

+q

p = qh h

a)

b)

c)

E

–q_∆v +q∆v

p∆v h_∆v

h∆v

–σpol

+σpol

h∆v

–σpol

+σpol

–σpol +σpol

E P

–σpol.α +σpol.α

E αP

2. Elektrostatyka. Kondensatory ²⁹

Strumień elektryczny jest związany z całym, zgromadzonym ładunkiem. Wobec tego indukcja elek- tryczna w dielektryku wynosi

E E

E P

D

D= 0+ =ε0⋅(1+χ)⋅ =ε0⋅εr⋅ =ε⋅ , (2.6c) gdzie: ε ⁼ ε0εr – przenikalność elektryczna środowiska,

εr – przenikalność elektryczna względna środowiska, wielkość bezwymiarowa.

Przenikalność elektryczna ε jest podstawową stałą materiałową dielektryka.

Jednostką ε, tak jak stałej elektrycznej ε0 , jest F m^-1 (objaśnienie – dalej).

Prąd przesunięcia dielektrycznego

Z przepływem ładunków gromadzących się na elektrodach wiążą się pojęcia (rys.):

- prądu przesunięcia dt d dt

i dQε Ψ

ε = = , (2.7a) - gęstości prądu przesunięcia

t

t ∂

⋅∂

∂ =

=∂D E

J_ε ε , (2.7b) gdzie: Ψ - strumień elektryczny, nazywany też strumie-

niem przesunięcia dielektrycznego,

D - indukcja elektryczna, nazywana też wekto- rem przesunięcia dielektrycznego.

W czasie gromadzenia się ładunków na elektrodach nie jest spełniony warunek stałości ładunku w czasie. Problem wykracza zatem poza ramy „czystej” elektrostatyki. Pole elektryczne występujące między elektrodami nie jest polem elektrostatycznym, ale w kolejnych chwilach może być trakto- wane w ten sposób, o ile zachodzące zmiany są dostatecznie wolne.

Na elektrodach kondensatora z idealnym dielektrykiem gromadzi się cały ładunek Q przepływający w obwodzie.

Prąd przesunięcia dielektrycznego i prąd upływnościowy

Rzeczywiste dielektryki nie są idealnymi izolatorami; inaczej mówiąc, są dielektrykami niedoskona- łymi. Obok własności dielektrycznych, scharakteryzowanych przenikalnością elektryczną ε^{, mają} własności upływnościowe (przewodzenia prądu), scharakteryzowane konduktywnością γ^.

Z ładunkiem Q przepływającym w ob- wodzie zewnętrznym – między elektro- dami przedzielonymi dielektrykiem nie- doskonałym – jest zatem związany prąd przesunięcia i_ε i prąd upływnościowy i_γ. Na elektrodach gromadzi się, w tym przypadku, tylko część ładunku Q prze- pływającego w obwodzie (rys.).

a) b) _E D=D0 +P +

+ – + + – +

– + – – + – – ε

U E

D0

+ + +

– – – ε0

U

i=i_ε Q

D=ε^E

+Q_ε –Q_ε ε

+σq –σq

Ψ

i=i_ε+i_γ Q

E +Q_ε –Q_ε

ε^, γ

Q_γ, i_γ

Operowanie pojęciem konduktywności dielektryka γ oznacza, że prąd upływnościowy odnosi się do takich wartości gęstości prądu i natężenia pola elektrycznego, przy których stosuje się prawo Ohma.

Wartość napięcia przyłożonego do elektrod powinna więc być na tyle mała, by nie występowało jeszcze nasycenie prądu wyładowania niesamoistnego, które poprzedza procesy jonizacji lawinowej (jonizacja lawinowa prowadzi z kolei do wyładowania samoistnego i powoduje utratę własności izolacyjnych, tzn. przebicie dielektryka; w przypadku dielektryków stałych chodzi o jonizację we

„wtrącinach” gazowych).

Gęstość prądu całkowitego wynosi więc

∂t

⋅∂ +

= E

E

J γ ε . (2.7c)

Rozkłady pól w dielektrykach rzeczywistych

Zostaną porównane pola elektrostatyczne w elementarnych „komórkach” dielektrycznych i pola przepływowe w elementarnych „komórkach” prądowych (elementarnych „rurkach” prądu), przy różnych rodzajach symetrii przestrzennej „komórek” oraz stałych wartościach przenikalności elek- trycznej ε i konduktywności γ^.

Strumień elektryczny ∆Ψ – w dowolnym poprzecznym przekroju ∆S elementarnej „komórki” die- lektrycznej – jest stały. Z twierdzenia Gaussa otrzymuje się zależność:

S E S

D ∆ ε ∆

∆Ψ = ⋅ = ⋅ _ε ⋅ , stąd E S

∆ ε∆Ψ

ε = ⋅ .

Prąd elektryczny ∆I – w dowolnym poprzecznym przekroju ∆S elementarnej „komórki” prądowej – jest stały. Z równania prądu otrzymuje się zależność:

S E S

J

I ∆ γ ∆

∆ = ⋅ = ⋅ _γ ⋅ , stąd

S E I

∆ γ∆

γ = ⋅ .

W przypadku „komórek” prostopadłościennych (rys. a):

2

1 S

S

S ∆ ∆

∆ = = ^;

E_ε = const., E_γ = const.;

d E dx E U

d ∆

∆ =^∆

∫

0

, więc

d E U

∆

ε = ∆ ;

d E dx E U

d ∆

∆ =^∆

∫

0

, więc

d E U

∆

γ = ∆ .

W przypadku „komórek” walcowych (rys. b):

2 2 1

1 r

S r r S r

S =∆ ⋅ =∆ ⋅

∆ ^;

r r

E S ¹

1

⋅ ⋅

=ε ∆

ε ∆Ψ ,

r r S

E I ¹

1

⋅ ⋅

=γ ∆

γ ∆ ;

1 2 1

1 1

1 ln

2

1

r r S

r r

dr S U r

r

r

⋅ ⋅

= ⋅

⋅ ⋅

=

∫

∆ ^{, więc}

1

ln 2

r r r E U

⋅

= ∆

ε ;

1 2 1 1 1

1 ln

2

1

r r S r I r dr S

r U I

r

r

⋅ ⋅

= ⋅

⋅ ⋅

=

∫

∆ ^{, więc}

1

ln 2

r r r E U

⋅

= ∆

γ .

x

∆^S1

E_ε E_γ

∆^U

∆^S2

∆S

∆d a)

b)

c)

E_ε E_γ

∆^U r1

r2

r

∆S1 ∆^S ∆^S2

E_ε E_γ

∆^U r1

r2

r

∆S1

∆S2

∆S

2. Elektrostatyka. Kondensatory ³¹

W przypadku „komórek” kulistych (rys. c):

2 2

2 2 2

1 2

1 r

S r r S r

S =∆ ⋅ =∆ ⋅

∆ ^{; 1}₂²

1 r r

E S ⋅

= ⋅

∆ ε

ε ∆Ψ ,

2 2 1 1 r

r S

E I ⋅

= ⋅

∆ γ

γ ∆ ;







 −

⋅ ⋅

= ⋅

⋅ ⋅

=

∫

2 1 1

1 2

1 2

1 1 1

2

1

r r S

r r

dr S U r

r

r ε ∆

∆Ψ

∆ ε

∆ ∆Ψ ^{, więc}

1 2

1 2

r r

r r E U

−

⋅

= ∆ ⋅

ε ;







 −

⋅ ⋅

= ⋅

⋅ ⋅

=

∫

2 1 1 1 2

1 2

1 1 1

2

1

r r S r I r

dr S r U I

r

r γ ∆

∆

∆ γ

∆ ∆ ^{, więc}

1 2

1 2

r r

r r E U

−

⋅

= ∆ ⋅

γ .

Jak widać, we wszystkich rozważanych przypadkach symetrii przestrzennej, w każdym punkcie – E_ε= E_γ .

Wynika z tego, że w dielektrykach niedoskonałych – jednorodnych zarówno co do ε^{, jak i} γ ^{– roz-} kłady pól: elektrostatycznego i przepływowego, pokrywają się.

W przypadku dielektryków niedoskonałych – niejednorodnych ze względu na ε ^lub γ^{, albo} ε ⁱ γ jednocześnie – rozkłady pól: elektrostatycznego i przepływowego, nie pokrywają się. Nie można więc zakładać jednoczesnej quasistacjonarności tych pól. Analityczne wyznaczenie rozkładu pola elektrycznego bardzo się wtedy komplikuje, poza przypadkiem stanu ustalonego przy stałym napię- ciu, kiedy pole jest przewodnościowe (upływnościowe).

Pojemność elektryczna kondensatora i ciała odosobnionego

Pojemność elektryczna, w sensie fizycznym, oznacza zdolność ciał przewodzących, umieszczonych w środowisku nieprzewodzącym (w próżni lub dielektryku), do gromadzenia ładunku elektryczne- go. Właściwość tę można przypisać zarówno obiektom technicznym, jak i tworom natury. Urządze- niem elektrycznym, służącym z zasady do gromadzenia ładunku elektrycznego, jest kondensator.

Kondensator jest to układ dwóch elektrod metalowych, nazywanych okładzinami, wraz z oddziela- jącą je warstwą dielektryka.

Po połączeniu jednej okładziny kondensatora z dodatnim biegunem źródła, i drugiej – z ujemnym, gromadzą się na tych okładzinach ładunki o przeciwnych znakach i równych wartościach bez- względnych. W przestrzeni między okładzinami występuje pole elektryczne.

Wartość bezwzględną ładunku zgromadzonego na każdej z okładzin przyjęto nazywać ładunkiem kondensatora, a wartość napięcia między okładziną o ładunku dodatnim i okładziną o ładunku ujemnym – napięciem na kondensatorze.

Stosunek ładunku kondensatora Q do napięcia na kondensatorze U na- zywa się pojemnością kondensatora C (rys.):

U

C= Q . (2.8a) Jeśli ładunek kondensatora wynosi Q i jest przyjęty zwrot napięcia U, to tym samym są określone ładunki +Q i –Q na okładzinach (jeśli napięcie ma w rzeczywistości zwrot przeciwny do założone- go, to znaki ładunków rzeczywiście występujących są też przeciwne). Wartości hipotetycznych ładunków: dodatniego +Q i ujemnego –Q, wyrażają wzory:

U C

Q= ⋅ , −Q=−C⋅U . Odwrotność pojemności nazywa się elastancją

Q U S = C1 =

. (2.8b) Jednostką pojemności jest farad (F), równy kulombowi na wolt (C V^-1) lub simensowi razy sekunda (S s). Jednostką elastancji jest wolt na kulomb (V C^-1) lub om na sekundę (Ω s^-1).

+Q –Q C

U

Cechę posiadania pojemności mają nie tylko kondensatory, ale również odosobnione ciała przewo- dzące, względem ciał o zerowym potencjale (leżących zwykle w nieskończoności), a także – ciała nieodosobnione (elektrody), podlegające wpływom innych ciał przewodzących, które mogą mieć potencjały o stałych wartościach (np. równe zeru albo związane w określony sposób z potencjałami elektrod).

Pojemnością C odosobnionego przewodnika jest stosunek zgromadzonego na nim ładunku Q do potencjału V tego przewodnika (czyli napięcia między nim a punktem o potencjale równym zeru):

V

C =Q . (2.8c) Jeśli potencjał odosobnionego przewodnika jest dodatni, to zgromadzony na nim ładunek jest do- datni; jeśli potencjał jest ujemny – to ładunek jest też ujemny.

Ogólnie, wartość pojemności może zależeć od wartości napięcia (potencjału), na ogół jednak jest praktycznie stała C = const. W ogólnym przypadku zależności Q(U) są więc nieliniowe (linia przerywana na rys.). Pojemności, których to dotyczy, nazywa się nieliniowymi. Przy stałych warto- ściach C, zależności Q(U) są liniowe (linia ciągła na rys.) i pojemności nazywa się liniowymi.

Pojemność kondensatora płaskiego. Jednostka przenikalności elektrycznej

Kondensator płaski ma strukturę prostopadłościennej „komórki” dielektrycznej. Jeśli jego okładzi- ny, o powierzchniach S, są od siebie oddalone o d, zaś przestrzeń między nimi wypełnia dielektryk o przenikalności elektrycznej ε (rys.), to na podstawie twierdzenia Gaussa otrzymuje się

Q=Ψ =D⋅S =ε⋅E⋅S^. Zatem

S E Q

= ⋅

ε ^{, S}

d dx Q

E U

d

⋅

= ⋅

⋅

=

∫

0

, stąd zaś

d S U

C = Q =ε⋅

. (2.9) Ze wzoru (2.9) można wyznaczyć, podaną wcześniej, jednostkę przenikalności elektrycznej ε (i stałej elektrycznej ε 0) – farad na metr (F m^-1).

Pojemność kondensatora cylindrycznego (kabla jednożyłowego z powłoką)

Okładziny kondensatora (odcinka kabla) są powierzchniami walców współosiowych, mających promienie r1 i r2 oraz jednakowe długości l, zaś przestrzeń między nimi wypełnia dielektryk o prze- nikalności elektrycznej ε (rys.). Na podstawie twierdzenia Gaussa i symetrii pola (wektor E skiero- wany promieniowo) otrzymuje się

Q=Ψ =D⋅S =ε⋅E⋅²πrl .

Zatem

r l

E Q 1

2 ⋅

= ⋅

πε ^{, l}

r Q r dr E U

r

r ⋅

⋅

=

⋅

=

∫

2 ln

1 2

2

1

, stąd zaś

1

ln 2

2 r r l U

C = Q = πε⋅

. (2.10) Q

U

r2

l ε

r1

+Q –Q E x

U S

d

ε