MaciejDziemia´nczukInstytutInformatykiUniwersytetGda´nski2021 ł ad5 KombinatorykaWyk Matematykadlainformatyków

(1)

Matematyka dla informatyków

Kombinatoryka Wykład 5

Maciej Dziemia ´ nczuk Instytut Informatyki Uniwersytet Gda ´ nski

2021

(2)

Zasada

wła,cze ´ n-wyła,cze ´ n

zastosowania

(3)

Zasada wła,cze ´n-wyła,cze ´n

Mamy n sko ´nczonych zbiorów A₁,A₂, . . . ,An. Wtedy

|A₁∪ · · · ∪ A_n| =

n

∑

k=1

(−1)^k⁺¹N (k ), (1)

gdzie

N (k ) =

∑

1≤i₁<i₂<···<i_k≤n

|A_i₁∩ A_i₂∩ · · · ∩ A_i_k|. (2)

Dla n = 3, mamy |A₁∪ A₂∪ A₃| = N (1) − N (2) + N (3), gdzie:

N (1) = |A₁| + |A₂| + |A₃|

N (2) = |A1∩ A₂| + |A₁∩ A₃| + |A₂∩ A₃| N (3) = |A₁∩ A₂∩ A₃|

(4)

Nieporza,dki

Hatcheck problem

Do szatni przyszło n osób i zostawiło swoje nakrycia.

Na ile sposobów szatniarz mo.

ze wyda ´c im te rzeczy tak, aby .

zadna osoba nie otrzymała swojego nakrycia?

(5)

Nieporza,dki

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Definicja 1

Nieporza,dkiem zbioru {1, 2, . . . , n} nazywamy takie usta- wienie jego elementów w cia,g, w którym dla ka.

zdego 1 ≤ i ≤ n, element i nie stoi na i -tym miejscu.

Przykładowe nieporza,dki zbioru {1, 2, 3, 4, 5}:

(2, 3, 4, 5, 1), (3, 1, 2, 5, 4).

Oznaczenie

Niech Dn oznacza liczbe, nieporza,dków zbioru {1, . . . , n}.

Mamy:D₁=0, D₂=1, D₃=2, . . .

(6)

Twierdzenie 1 Dla n ≥ 1, mamy

Dn=n!

n k

∑

=0

(−1)^k

k ! . (3)

Mamy (Dn)_n_≥₁= (0, 1, 2, 9, 44, 265, 1854, 14833, . . .).

Obserwacja

Dla n ≥ 1, Dn≈ n!/e, gdzie 1/e ≈ 0.367879.

Wniosek

Prawdopodobie ´nstwo, . ze ka.

zdy otrzyma nieswoje na- krycie wynosi

Dn

n! ≈ 1/e ≈ 0.367879. (4)

(7)

Zliczanie funkcji

(8)

Zliczanie funkcji

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Liczba funkcji ze zbioru n-elementowego w zbiór m- elementowy

dowolne

ró.

znowarto ´sciowe

na

bijekcje

(9)

Zliczanie funkcji

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Liczba funkcji ze zbioru n-elementowego w zbiór m- elementowy

dowolne

m

ⁿ

ró.

znowarto ´sciowe

m

ⁿ

na

. . .

bijekcje

n!

(10)

Suriekcje

Problem

Ile jest suriekcji (funkcji “na”) ze zbioru n- elementowego w zbiór m-elementowy?

(11)

Suriekcje

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Przykład 1 . Jaka jest liczba suriekcji ze zbioru 4 elementowego w zbiór2 elementowy?

Twierdzenie 2

Liczba suriekcji sn,m ze zbioru n-elementowego w zbiór m-elementowy jest równa

sn,m=

m

∑

k=0

(−1)^km k

(m − k )ⁿ. (5)

(12)

Liczba suriekcji

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Macierzsn,m, wiersze 1 ≤ n ≤ 8, kolumny 1 ≤ m ≤ 8,







1 0 0 0 0 0 0 0

1 2 0 0 0 0 0 0

1 6 6 0 0 0 0 0

1 14 36 24 0 0 0 0

1 30 150 240 120 0 0 0

1 62 540 1560 1800 720 0 0

1 126 1806 8400 16800 15120 5040 0 1 254 5796 40824 126000 191520 141120 40320







(13)

Ciekawostki

(14)

Paradoks urodzin

Problem

Jaka najmniejsza liczba ludzi musi by ´c w pokoju, aby prawdopodobie ´nstwo,.

ze co najmniej dwoje z nich uro- dziło sie, w ten sam dzie ´n roku było wie,ksze ni.

z 1/2?

(15)

Trójka,t Pascala

(16)