Matematyka dla informatyków
Kombinatoryka Wykład 3
Maciej Dziemia ´ nczuk Instytut Informatyki Uniwersytet Gda ´ nski
2021
Powtórka
• Liczba permutacji n-zbioru jest równa n! = n × (n − 1) × · · · × 2 × 1.
• Liczba k -permutacji n-zbioru jest równa nk=n × (n − 1) × · · · × (n − k + 1).
• Liczba k -elementowych podzbiorów n-zbioru wynosi
n k
= n!
k !(n − k )!=nk k !.
Zliczanie cykli
Cykle
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Cykl długo ´sci n to permutacja postaci
a1 a2 a3 . . . an−1 an
a2 a3 a4 . . . an a1
= (a1,a2,a3, . . . ,an).
Dla przykładu,
(1, 4, 3, 2) = (4, 3, 2, 1) = (3, 2, 1, 4) = (2, 1, 4, 3).
Fakt 1
Liczba cykli długo ´sci n jest równa (n − 1)!
Przykład 1 . Na ile sposobów mo.
ze usia, ´s´c n osób przy okra,głym stole?
Problem
Permutacje zbioru z powtórzeniami
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Przykład 2 . Na ile sposobów mo.
zna ustawi ´cn ró. znych obiektów jeden obok drugiego?
Przykład 3 . Na ile sposobów mo.
zna ustawi ´c litery słowa MISSISSIPPI ?
Permutacje zbioru z powtórzeniami
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Fakt 2
Liczba permutacji cia,gu, w którym wyste,puje k ró. znych elementów a1, . . . ,ak oraz element ai wyste,puje dokładnie ni razy, dla 1 ≤ i ≤ k jest równa
(n1+n2+ · · · +nk)!
n1!n2! · · ·nk! . (1)
Zatem wszystkich permutacji słowa MISSISSIPPI jest 11!
4!4!2!=34650.
Zadania
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Przykład 4 . Ile jest wszystkich cia,gów, w których wyste,puja, 3 litery A, 4 litery B, 5 liter C i 6 liter D?
Przykład 5 . Na ile sposobów mo.
zna ustawi ´c lite- ry słowa MISSISSIPPI, tak aby po ka.
zdej literze P wyste,powała litera I?
Podzbiory z powtórzeniami
{ A, A, B, C, C, C, E }
Podzbiory z powtórzeniami
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Przykład 6 . Ile jest 4-elementowych podzbiorów zbio- ru 8-elementowego {A, B, C, . . . , H }?
Przykład 7 . Ile jest 4-elementowych podzbiorów zbio- ru {A, B, . . ., H }, w których elementy moga, sie, powta- rza ´c?
Podzbiory z powtórzeniami
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Twierdzenie 1
Liczba k -elementowych podzbiorów z powtórzeniami (multizbiorów)n-zbioru jest równa
n + k − 1 k
, (2)
gdzie k ≥ 1 oraz n ≥ 1.
Na przykład, dla n = 3 oraz k = 2 mamy:
{1, 1}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 2}, {2, 3}, {3, 3}.
Układy nierówno ´sci
1 ≤ x 1 < x 2 < · · · < x k ≤ n
1 ≤ x 1 ≤ x 2 ≤ · · · ≤ x k ≤ n
Układy nierówno ´sci
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Lemat 1
Liczba rozwia,za ´n układu nierówno ´sci
1 ≤ x1<x2< · · · <xk≤ n, gdzie xi ∈ N (3) jest równa nk.
Na przykład, dla k = 3 oraz n = 5:
1 ≤ x
1< x
2< x
3≤ 5
Przykładowe rozwia,zanie:
1 ≤ 1 < 3 < 4 ≤ 5
Układy nierówno ´sci
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Lemat 2
Liczba rozwia,za ´n układu nierówno ´sci
1 ≤ x1≤ x2≤ · · · ≤ xk≤ n, gdzie xi ∈ N (4) jest równa n+k −1k .
Na przykład, dla k = 3 oraz n = 5:
1 ≤ x
1≤ x
2≤ x
3≤ 5
Przykładowe rozwia,zanie:
1 ≤ 2 ≤ 2 ≤ 4 ≤ 5
Układy nierówno ´sci
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Przykład 8 . Na ile sposobów mo.
zemy wybra ´c 3 liczby spo ´sród {1, 2, . . . , 7} w taki sposób, .
ze nie ma w ´sród nich dwóch kolejnych liczb?
Równania
diofantyczne liniowe
x 1 + x 2 + · · · + x k = n
Fakt 3
Liczba rozwia,za ´n równania
x1+x2+ · · · +xk=n, gdzie xi ∈ {1, 2, . . .} (5) jest równa n−1k −1.
Na przykład, dla k = 3 oraz n = 5:
x
1+ x
2+ x
3= 5
Przykładowe rozwia,zanie:
1 + 3 + 1 = 5
Wszystkich rozwia,za ´n jest 5−13−1 = 42 = 6.
Fakt 4
Liczba rozwia,za ´n równania
x1+x2+ · · · +xk=n, gdzie xi ∈ {0, 1, . . .} (6) jest równa n+k −1k −1.
Na przykład, dla k = 3 oraz n = 3:
x
1+ x
2+ x
3= 3
Przykładowe rozwia,zanie:
1 + 2 + 0 = 3
Wszystkich rozwia,za ´n jest 3+3−13−1 = 52 = 10.
Równania diofantyczne
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Przykład 9 . Mamy dostatecznie du.
zo jabłek, poma- ra ´nczy i bananów. Ka.
zdy owoc tego samego rodzaju jest nierozró.
znialny. Na ile sposobów mo.
zemy wybra ´c 5 owoców do takiej sałatki owocowej, tak aby:
(a) ka.
zdy owoc wyste,pował co najmniej raz, (b) dowolnie?
