Matematyka dla informatyków
Kombinatoryka Wykład 4
dr Maciej Dziemia ´ nczuk Instytut Informatyki Uniwersytet Gda ´ nski
2021
Powtórka
Problem MISSISSIPPI .
Dlan, k ≥ 1, liczba k -elementowych multizbiorów utwo- rzonych zn-zbioru jest równa n+k −1k .
Układy nierówno ´sci 1 ≤ x1<x2< · · · <xk≤ n
Układy nierówno ´sci 1 ≤ x1≤ x2≤ · · · ≤ xk≤ n
Plan na dzi ´s
Równania diofantyczne liniowe x1+x2+ · · · +xk=n
Wste,p do problemu rozmieszczania kul w pudełkach
Zasada szufladkowa
Zasada wła,cze ´n-wyła,cze ´n
Równania
diofantyczne liniowe
x 1 + x 2 + · · · + x k = n
Fakt 1
Liczba rozwia,za ´n równania
x1+x2+ · · · +xk=n, gdzie xi ∈ {1, 2, . . .} (1) jest równa n−1k −1.
Na przykład, dla k = 3 oraz n = 5:
x
1+ x
2+ x
3= 5
Przykładowe rozwia,zanie:
1 + 3 + 1 = 5
Wszystkich rozwia,za ´n jest 5−13−1 = 42 = 6.
Fakt 2
Liczba rozwia,za ´n równania
x1+x2+ · · · +xk=n, gdzie xi ∈ {0, 1, . . .} (2) jest równa n+k −1k −1.
Na przykład, dla k = 3 oraz n = 3:
x
1+ x
2+ x
3= 3
Przykładowe rozwia,zanie:
1 + 2 + 0 = 3
Wszystkich rozwia,za ´n jest 3+3−13−1 = 52 = 10.
Równania diofantyczne
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Przykład 1 . Mamy dostatecznie du.
zo jabłek, pomara ´nczy i bananów. Ka.
zdy owoc tego samego rodzaju jest nierozró.
znialny. Na ile sposobów mo.
zemy wybra ´c 5 owoców do takiej sałatki owocowej, aby:
(a) ka.
zdy owoc wyste,pował co najmniej raz, (b) dowolnie?
Rozmieszczenie kul
w pudełkach
Rozmieszczenie kul w pudełkach
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Obserwacja 1
Liczba takich rozmieszcze ´nn nierozró.
znialnych kul wk rozró.
znialnych pudełkach, . ze:
(a) .
zadne pudełko nie jest puste jest równa liczbie rozwia,za ´n równania
x1+x2+ · · · +xk=n, gdzie xi ∈ {1, . . .}. (3) (b) pudełka moga, by ´c puste jest równa liczbie rozwia,za ´n równania
x1+x2+ · · · +xk=n, gdzie xi ∈ {0, 1, . . .}. (4)
Rozmieszczenie kul w pudełkach
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Wniosek 1
Rozmieszczenien nierozr. kul w k rozr. pudełkach:
pudełka nie moga, by´c puste n−1k −1
pudełka moga, by´c puste n+k −1k −1
Rozmieszczenie kul w pudełkach
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Przykład 2 . Na ile sposobów mo.
zemy umie ´sci ´c 20 kul w 4 pudełkach (rozró.
znialnych) w taki sposób, aby pierwsze pudełko miało co najmniej 5 kul, drugie co naj- mniej 3 kule, a pozostałe pudełka dowolnie?
Zasada szufladkowa
Zasada szufladkowa
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Je ´sli umie ´scimyn + 1 kul w n pudełkach, to które ´s pudełko be,dzie zawierało wie,cej ni.
z jedna, kule,.
Je ´sli umie ´scimy wie,cej ni.
z kn kul w n pudełkach, to któ- re ´s pudełko be,dzie zawierało wie,cej ni.
z k kul.
Przykład 3 . W worku mamy dostatecznie du. zo kul czerwonych i zielonych. Ile najmniej trzeba wylosowa ´c kul aby mie ´c pewno ´s ´c, .
ze w ´sród nich be,da, co najmniej 3 kule w tym samym kolorze?
Przykład 4 . Poka. z, .
ze w ´sród dowolnych 6 liczb natu- ralnych be,da, co najmniej dwie, które maja, taka, sama, reszte, z dzielenia przez 5.
Zasada
w ła,cze ´ n-wy ła,cze ´ n
Przykład 5 . Mamy dwa sko ´nczone zbiory A i B. Jak po- liczy ´c liczbe, elementów zbioru A ∪ B?
Przykład 6 . Mamy trzy sko ´nczone zbiory A, B i C. Jak policzy ´c liczbe, elementów zbioruA ∪ B ∪ C?
Zasada wła,cze ´ n-wyła,cze ´ n
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Twierdzenie 1
Mamy n sko ´nczonych zbiorów A1,A2, . . . ,An. Wtedy
|A1∪ · · · ∪ An| =
n
∑
k=1
(−1)k+1N (k ), (5)
gdzie
N (k ) =
∑
1≤i1<i2<···<ik≤n
|Ai1∩ Ai2∩ · · · ∩ Aik|. (6)
Dla n = 3, mamy |A1∪ A2∪ A3| = N (1) − N (2) + N (3), gdzie:
N (1) = |A1| + |A2| + |A3|
N (2) = |A1∩ A2| + |A1∩ A3| + |A2∩ A3| N (3) = |A1∩ A2∩ A3|
Przykład 7 . Ile jest liczb 6 cyfrowych, w których co naj- mniej dwie cyfry sie, powtarzaja,?
Przykład 8 . Ile jest takich ustawie ´n elementów zbioru {0, 1, . . . , 9}, które zawieraja, podcia,g 135 lub 579?
Przykład 9 . Ile jest rozwia,za ´n równania
x1+x2+x3=18, (7) gdzie xi ∈ {1, . . . , 7} ?
