# #{log t CeG xx >coo

REGULA ^{DE L'} HOSPITAL A Autorstwo

twierokeuiaoktohymbgokiemowapssypisug.es^{} pane Gullion me}

Francois Antoine markiaaoi de e'Hospital ^, ktoryzyrwlato.de ^{1661-1704 .}

Bye ^on aeetoreleepieownegopoowgcauikaro.ch ^uukee

no

'

zrcicskowego aatytutowaeeego ^a Analyse ^{des Iufiuimeut}

Petites pour ^e' Intelligence ^des Ligue ^{Courte ". w}

tyeeewiasiceiepoowgcauikeeopisaeeaaostae-ametoohe2leoy.de_walled

gerund ^{feeukgi seem} obeceeiejako

require ^{de e'}Hospitals^{. Autoreeee} twieookeeeia jest jeoleuek Johann ^{Bernoulli ( 1667 - 1768 )}

Regina ^{de e'} Hospitalet aotyay wyauaaoueia ground feeukyi

ruoyigcycle posted ^ilorazu fuukgi rozrutskowoeeeyde ^{type % lab % .}

PIERWSZA REGUEA DEL ^' HOSPITAL A DLA ^{ODCINKA :}

fig rizreicakowaleee ^{no .} Taibi , fifth ^{) = O =}

¥ue*gH^{) , g 't ) to no . Taibi .}

Jeieiistuieie guanine fiygo+tgY¥= ^{:L to}

¥ua+tg ^{=L olla Le Ruf to , - a } .}

BOWED . Funky ^'e fig owokreilouiywx-akiaougcwowtos.io^,

tau many

Fix) ^- I ^{Iga , be GH =} {g Ioa ^.se

Bioogc ^{owwolue xe Ja , BE} otmymeejemynaoolcivkee-Q.IT ^{feeukgie Fi G}

spetriiafgcewe wugtnuetypo ^{we oolciukocaoitozeuia.} Mozeueynozniakowalue^{, the} ciggre^{auteur na}skoiaystacaomkuigtycu^{' a} tuieoolaeeeia^{oolcireku i} Cauchy^'_ego

Istreieje SE ^{Ja , Xt take 'e , Ze}

G'_CS) [ ^{FAI - Fcat} ] ^{= F' (5)} [ ^{GH - Geon} ]

IIs, Ian ^to tis_, ⁱga^, to IET ^- fist^{, '}_{x w}^:}_take ^{' .. .}

Spo ^- Sob_, Ze

goby

x ^- sat _to g ^{→ at} gouge

xEYattg¥=h*t=fey*tg÷=L ^{# " 5- × .}

PIERWSZA ^{REGUEA DE L' HOSPITAL} A DLA Pit PROSTEJ ^:

f, g ^{: T - o , CE} I ^{R x live- s - - f Cx) =O=¥÷gCx}I ^{) g 'Cx ) to olla XE J - o, c E ,}

Nizreicskowaleee

Jezek^' istuieieguaeu.ca ¥;u→tjf ^{= :L to ¥! =L , LE Rutt - , - a}}

DOWOD ^: Psseprowaotsimy ^{do wool olla skoricsonq .} libby ^{L :}

×¥qyfgY ^{=L 02eeo.ae , Ze alee} olowolueigo ^{E > O istreieje liceba BE IR take , Ze}

olla ^X CR 20. cleoolzi reieoowreos ^{. c' :}

f-^'GI ^H)

L ^- E ^{a -} a Lte

Oj^{Cx) x y} I^R

Wea ^'

my xsys ^{R . Na oolciuku Exim ruozeuey}

skomystadatcoieookeeeiacaeedegegodleesuoyouejgcgetx.ge^{take 'e , Ze}

fCyl ^- far ^{) text )}

ggy ^{= FYI} wobecreieoowuos.ci Cx) ^{i nowuoici} C^{* *} )

g ^{' (5)} 2acleoobito.kz

L ^- e a fly ^{) - FA ,}

-

gag^{) -} ga ^,

s Lte

Wpowyzneiguauicy pmecleoobrimy ^{ow - o a x ,} otnymujgc

L ^- es fast

gag^{) f Lte}

Ostatuio. uieoowuos 'd aoideoobi olla owwoleeego ya ^{R , co jest} rocouowazree A wier ^- okelliu iz

line fad

y ^{- a - a} gag⁾

=L #

PRZYKTAD ^: Sim ^- xwsx

xsinx

him ^- Elim ws×-wn+×h ⁼ him ×ww=¥yf5jnsx= ^to

x ^- so hn3X

y→o Stink Osx X ^- so

Symbol ^{It mad} aeuakieeunowuoscioaeuxcsea _, Ze stoseejeeeey reefing ^{Ole e'Hospitaler. Naoloye}

on aeeakowinowuos.ci ^auocaeeeie woweeukowe . Tweak ten stogie ng prawolaiwg rowuoicig

dopieoo guy ololiceyleey ^{headache do Kolka . W} aou-ozeeeiaceetwievazeru.ca

Malley bocoieeuwowuueknjeilifiueo.jo:9#istuieje ^{". sateen} jeiligraeeiae

ilouaaeepodeooueycu_ilouoihee ^{nie istreieje , to me date to zaolleef} wieoky ^o gravity

feeukgi^.

PRZYKTADDEMOTYWUJA _, ^{: sin 2X}

it I sinxwsx ^- 2x cost -12 x' wsxsinx

him ⁼

Iyo ^{- dojx} )=¥yoh"fI7 ^{= x - so 2xn.mx t 2x ' sinxcosx}

sin 2x ^- 2×65×-1×2 ^sink 2 _cos ^{2x -} 2005×+4 xcosxsinx + 2x sin ^2x + 2X2ws2x

= him Elim

x ^- so 2x sink -1 x' tin 2x

x ^- so 2 sink + 4 xginxcosx t 2X sink ^t 2X^' cos 2x

I cos 2x ^- dusk

-1448in

4sinzx-8xwszx.lk/ws2X-hx2sin2x

him ^. _{2 sink thx fin} 2x t2x2wsz× 2 sink ^.I hsinzxt 8xws2xt4xws2x ^- UX ^' _{sin 2x}

X ^- so

2 sin

2×-112×0052×-1 4ws2xH2ws2x

= him ⁼

X -70 6 sin 2x ^t 12×652×-4×2 sin ^2x

= ¥70 120052×-1120052×-26×6 ^{'m2x -} _Hsin 2x ^- 8x'ws2x

= fly ^- I ^sauciest _{4 rosy} rbznicskowoic _, lepiei roading ^{'c , tzu .} uzyi ^waoru Taylor ^a

PRZYKTAD

limo× ^{= ? x×=e×b5× log = xeogx}

×hIo+×log×=¥o+b¥÷¥fiIo+!÷=¥o+ ^{- ¥ .- o ⇒} _figo ^-- expflxirnoilogx)

=L

DRUGA REGUEA DE L' _{HOSPITAL A DLA}

ODCINKA

Drago^. regina ^{de e'Hospitalet} aotyay pmypaolkee ^F

fig ^{: Ja , 65-3112} roizriicskowaleee _, g'^{A ) # O}

f olla XEJQ.BE Egg, FAK ^{- =} final ^{GA )}

file ^. istuigefeyf.jo?Eyt= ^{:L to}

f- ^A )

live -

+ ^→ at gag

=L

.

DOW "OD ^: Dowool pmeprowaolaimy ^{olla Le IR. Istuieeeie} goaeeicy ilooaseepocuoaegae

owned , Ze olla aowolereego ^{E > o} istuieje ^{8>0 take , Ze old XE Ja , at 85 Lamaze '}

L ^- E ^c C Lte . Podobuiejakpopmcoceeio komystaeeey ^{a to .} Gurley ^'ego ^old

Qcxcy ^{cats : olla pewuego SEA ,yE aaaeooki}

fgGglj.gl#-=tgYf.gg-.MozeeeeyaateeeeHowptac^'

a uieooiouos.ci L ^- es tgyyj.gl#ycLtEdlaacxcycat8^.

Pmeksetatcouuytguieoowuos.ci ^:

co mruoeymy ^jest

L ^- e a fly ^{) - far )}

ga ^,

← ^{to Preez}

g⇒y ^{a Lte} / ^{. TATTI} Oj^{stategoCx) to makerto} g'^{:A ) istotreiejest} matey^{, skaro}

allestree

. Musi to

6yd ^{,, - "}

gocyzwaoceeuek_g monotone ^' ceca i

4-e) ^{Ii -} 9¥11 ^a tho ^cute )Gtg9) ^gasoauaaagruaeejqw^{. no. t} Ja^no_, ^at 85 few^. aueieisuauego)

ostateceeie

, liceeeeki reeiaeowuik Sg olooleatuie .

a- " " to:* ^{at " "}

L ^- E t finna, tg ^{f Lt e} wobecdowoeuos.ci e

Meaney teag

BE

DRUGA REG UTA DE I HOSPITAL A DLA POTPROSTEJ

f.g ^{: I - act → IR} rozuicrkowaleee

, fly^{) to ,} fine ,

fat ^{= -} =¥%gH

ziti ¥÷jf ^{= :L to} Eye ^, IET ^{=L .}

POZOSTAWIA ^MY BEZ DOWODU .

FUNKCJE ^{WYPUKEE :}

Funky^{} f : Ta, BE -3113} noisywatery wypuktgjeiliollo.owwoleeychx.ge ^{30465 i aowoluei licebg}

BE _{[0,1 ]} Lamaze ^' riieoowuosic ^' :

f (^{x .} Tty ^{Ct- I)}) ^{I far ) . Ot} _fly^{) Ct - O)} ( ^{tan sieczuo.} _lezg ^read _wykreseue) ^. Jezek

speturiona jest ^{riieoowuos 'd w} okrugs strong funky^'g manywowing ^wklgsrg.

. Woogie iwiaeu ^' olowodzouo ^. byfa, ouogprawdopoolobuiej melody inolukcji rrieoowuosic ^' feces ^{eerie , ktone}

iii: ^mom .is?...a=^{:&:::c::::::*:: .}

I 1 . , , f (F. ^Oixi ) ^f Zirifcxi ⁾

a ^{x Txt U}

-My _Y b

STWIERDZENIE : Funky^-a f _jest wypukte ^{ma Ta, BE} wteolyitylkowteoly^,gooey ^olla dowoluych Xzcxacxz ^{, Xie Ja , BE} spetuiouo^. jest ^{riieoowuos 'd}

a, ^t "IEtK¥E

✓

I_, In ^1×3

Podobuie

, f _jest wypukiewteolyitylkowteoy.gg

us ^{" "}

ones f _{jest wgpukia} wteolyitylkowteoly ^,guy ^{In tu}

"

G) HIfGd-f_Xz - Xz

-

Xy Xz +3

① OWO'D Dowoolzimy _jeong^' tylkonieoowuos.ci^, poaostaegcee ^dowoobre

'

Sig ^bonobo poolobuie^. Jes ^'t Xzcxacx ^{, to} Xa= 0×2+4-0 ^{) X}, olla D=

t.gg?E-zwteoyt-O=I;I#2apisujeeuyuieoowuoic^{' a} _defircicji wgpukios.ci f-( Oxst A-01×3 ) ^{E Offer) -1 Ct- OH}

f Half ¥j ^{Halt test}

Of fault FED ^- _, ^- f^{tea )}

Xz ^- Xztxz ^{- Xp}

-

Xz ^- Xz

Of "j ^{HAN - that ) -1 Had - fan} ) / ^{. Ho- in )}

Of ( ^{fkn ) -} _fed ) ^{(Xz - xD t ( f CxD - fed} ) ^{( Xix} ) /^{: (Xd - X. ) (Xz - Xz)}

Of t¥ . + fAz)-f

Xz ^- Xs Xz ^- Xz

f Az) ^- fkn )

f f Gg) ^- ffxz ) y ^nieoowuoic

' Ca)

-

-

Xz ^- Xz Xg ^- Xz

2. powyznegostcoieookeuiewgeu.to ^istreieuie jeoluostronnycle pooleooleeycu ^old feeukyi wypuktejuaodciukeeotwartyeu.IM/-uie:Noawazmy ^funky's

his titcxtu^{) - th )}]

Funkyoauo.uoyigcxz-xxa-xthzxz-xthzstoseejeueynieoowuos.ci^{.a ta} jest(3) ^{monotonic me : biorgc ha > kg i}

utafffxth^,)htgfffxth^{- fCx)) s ,) - f-CxD}

Funky^{'o. to.} _jest ^fez ogoauiuoud^{, co} Awiedolzinuy ^{biongc hosochzchz i} uuepetuioy.ge ^{reieoowuos 'd Cz) o} uieoowceoic ^' Cal

ffxthol-fcxl-ftcxthq.lt#sfCxths)-fK)ho^h3

J _{nose G) ollie}

xz= xtho

, xa= ^{x ×}5- xthz

I I I

X tho Xthz Xthz

Lateen istuigig ^obie grauice ^, figg ⁱ _fief ^due h-stkthu.tt# ^,

choi riiekouiecseeie sg ^{niwue .}

Istuieuie tyck ground geoaoaukeje ^{take ciggrosc}

' funky^" _wypukiej ^{we construe}

odciceko EQ _, 6] .

Red ZNICZKOWE KRYTERIUM Wypuktosci

Funky^'a rozreicskowalua ^we Tailor jest wypukta wteoly ⁱ tylkowteoly^, goby

jg^{' poolroom jest} rrieuualefgca^{. Dla} olwukrotreie no

' Zreicakowaleeej feeukgi

02ham to

, Ze

owugQ ^poolroom jest nicely

'

elated .

DOW 8D ^:

k _{xs s}^'Kh ! ^'s

- -

& ^T f (g) ⁼ fHs)-f

tw . Lagrange ^{'d Xs - xa}

f' ₍₅₎ (_Xa ^- xD ⁼ fcxa) ^- fan ₎

ftp.HH-fcxi # uievowuo.sc a , Xa ^{- Xs}

f (5) f f'^Cn)

Robe dowoluos.ci _{Xuxa , g} wypuktosi ^{( miedowuoic ' Cri} ) ^jest

niwuowazuee reouotouiceeoiu ^'

Jocko ^{dug '}

Kryteoiuue awigaaue ^a ouregppoceeoocug jest ^{jeez wise} oceycoiste^.

FUNKCJE ^PIERWOTNE

Nicole fbgokiefeeukyigciggfgokreiloupuaodciukeeTQ.BE ^.

Funky^.g pieowotrug ^{olla f} ueeaywamy funky} ^{F : Ta, BE - SIR , takes ze} tf XE Ta

, 65 F'_Cx) ⁼ f ^Cx)

Istreieeeie feeukyi pieowotuej adkiaowuuy ^{no .} pisuieg

'

stosowuetoieoolzeuieuowwodeeimypoomoioieu.cn^{catkin sensed Riemann @} -

Lauwaznry ^{Ze funky'd pieowotuo.} _wyauoueouo^{. jest a} aokiaolnosiig ^do state ^: jes ^'ll

F' G) =fCx^{) to take} ( ^FGC)^{) t ' = fCx). Jes 'll '} _noawazaeuy funky_} ^{acres '} long ^red

miespojreyeu ^{abioue ,} jak ^{up x to ¥ , 2 drinking 1121403 to funky}} pieowotuepruoteeeeywybraiuzywoy.geskiaowweispojuos.ci^{rozuycee staeycee no, koizolej}

f-G) ⁼ If ^{FK ) = log}

# #

Tego molaoyiudetalepomijo.my ^w traolycyjnej ^{motegi, w} ktoreifuukg.ee _pierwotug

(way ^abior fuukji pieowotuycu ) _oauauauey If ^oh

Napineuey ^coigc f 0¥ ⁼ _log

#

dongs^'le)

Wrong Cg)f ^{' =f'} gtfg ^{' i (}fog^{) ' =ftgGDg'Cx}) pnowaolag ^{do dwocu metal} posukiwaeeie fuukcji pieocootnycu

CATKOWANIE PRZEZ GETS'd ^:

ffcxlgcx^{) ok = f G)}_gcx^{) -} Jfk )g'^{Cx) Ix}

Na

puyktaolfxlogxdx-fxloglxt-fzxdx-tzxloglxt-fxh.io

f-^{'Cx) = x} _g ^{G) =} logx

f-G) =zx ^' g'^{G) =} If

CATKOWANIE PRZEZ POD STA WIENIE ^:

If _'(gGDg'^{A) ok =} _flyer ) ^to

Na prsgktaof

J _tgxdx ⁼ J ^{sionsxdx =} J ^{- wwsjxdx =} eoglwsxl^{- to}

J _tgx ^{ok =} J ^{%n¥ oh =} J ^- %Yo ^{= -} log ^{I wsxl to}

toff

Foggy

Eg

- ¥

go.gg#=-wI*C-sinxI=tgWeow-ugtraoygjnejuotagi uapisaeibysny ^:

I tgxdx-fsinf.FI ^-- f FjII. ^{woe , I = I -07 = - eoglyltc = - eoglwsxltc}