MATEMATYKA lista zada´n nr 4-6 1. Wyznaczy´c uk lady fundamentalne i poda´c rozwi¸azania og´olne r´owna´n r´o˙zniczkowych a) y

MATEMATYKA lista zada´n nr 4-6

1. Wyznaczy´c uk lady fundamentalne i poda´c rozwi¸azania og´olne r´owna´n r´o˙zniczkowych a) y⁰⁰− 2y = 0, b) 3y⁰⁰− 2y⁰ = 0, c) y⁰⁰+ 6y⁰+ 18y = 0, d) y⁰⁰− 2y⁰+ 10y = 0, 2. Znale´z´c rozwi¸azania podanych zagadnie´n pocz¸atkowych

a) y⁰⁰+ 2y⁰− 3y = 0, y(0) = 4, y⁰(0) = 0, b) y⁰⁰+ 6y⁰+ 8y = 0, y(0) = 3, y⁰(0) = 10, c) y⁰⁰+ 6y⁰+ 9y = 0, y(0) = −1, y⁰(0) = 1, d) 4y⁰⁰+ 4y⁰+ y = 0, y(1) = 0, y⁰(1) = 1, 3. Rozwi¸aza´c podane r´ownania

a) y⁰⁰+ y⁰− 2y = e^−t, b) 4y⁰⁰+ 9y⁰ = −2 sin 3t, c) y⁰⁰+ y = 5t⁵, g) y⁰⁰+ 2y⁰+ 2y = sin²t, h) y⁰⁰− y⁰ = _1+e^ett, i) y⁰⁰+ y = _sin¹2t. 4. Znale´z´c rozwi¸azania podanych zagadnie´n pocz¸atkowych

a) y⁰⁰+ 2y⁰− 8y = 2e^−3t− 3e^2t, y(0) = 1, y⁰(0) = 0, b) y⁰⁰+ y⁰ − 2y = 4 cos t − 2 sin 2t, y(0) = −1, y⁰(0) = 1, c) y⁰⁰+ 5y⁰+ 4y = 4t + 1 + e^t, y(0) = 0, y⁰(0) = 1.

5. Wyznaczy´c warto´sci i wektory w lasne podanych macierzy a)

"

2 1

−1 4

#

, b)

"

2 1

−1 2

#

, c)

"

4 −2

5 2

# ,

d)

"

−2 −8

1 2

#

, e)

"

1 0 0 1

#

, f)

"

7 1

−4 3

# .

6. Rozwi¸aza´c uk lad r´owna´n r´o˙zniczkowych ~y⁰ = A · ~y, je˙zeli macierz A ma posta´c a) A =

"

5 4 1 2

#

, b) A =

"

4 1

−2 1

#

, c) A =

"

2 −1 5 −2

# ,

d) A =

"

3 −1 2 5

#

, e) A =

"

−2 1

−1 −4

#

, f) A =

"

3 −1

1 1

# .

7. Rozwi¸aza´c podane zagadnienia pocz¸atkowe a) ~y⁰ =

"

−2 3

−2 5

#

· ~y, ~y(0) =

"

−2 1

# ,

b) ~y⁰ =

"

2 4

−4 2

#

· ~y, ~y(0) =

"

2

−2

# ,

c) ~y⁰ =

"

7 1

−4 3

#

· ~y, ~y(0) =

"

0

−1

# .