ANALIZA MATEMATYCZNA 1

(1)

ANALIZA

MATEMATYCZNA 1

(2)

Marian Gewert Zbigniew Skoczylas

ANALIZA

MATEMATYCZNA 1

Kolokwia i egzaminy

Wydanie szesnaste uzupełnione

@@

@@@@

@@

@@^GiS

Oﬁcyna Wydawnicza GiS

Wrocław 2014

(3)

Marian Gewert

Instytut Matematyki i Informatyki Politechnika Wrocławska

marian.gewert@pwr.edu.pl www.im.pwr.edu.pl/egewert

Zbigniew Skoczylas

Instytut Matematyki i Informatyki Politechnika Wrocławska

zbigniew.skoczylas@pwr.edu.pl www.im.pwr.edu.pl/eskoczylas

Projekt okładki

IMPRESJA Studio Graﬁki Reklamowej

Copyright c 1991 – 2014 by Oﬁcyna Wydawnicza GiS

Utwór w całości ani we fragmentach nie może być powielany ani rozpowszechniany za pomocą urządzeń elektronicznych, mechanicznych, kopiujących, nagrywających i innych. Ponadto utwór nie może być umieszczany ani rozpowszechniany w postaci cy- frowej zarówno w Internecie, jak i w sieciach lokalnych, bez pisemnej zgody posiadacza praw autorskich.

Skład wykonano w systemie L^ATEX.

ISBN 978–83–62780–20–4

Wydanie XVI uzupełnione, Wrocław 2014 Oﬁcyna Wydawnicza GiS, s.c., www.gis.wroc.pl Druk i oprawa: Oﬁcyna Wydawnicza ATUT

4

(4)

Spis treści

Wstęp 7

Zestawy zadań z kolokwiów 9

Pierwsze kolokwium . . . 9

Drugie kolokwium . . . 25

Zestawy zadań z egzaminów 39 Egzamin podstawowy . . . 39

Egzamin poprawkowy . . . 60

Egzamin na ocenę celującą . . . 81

Odpowiedzi i wskazówki 92 Pierwsze kolokwium . . . 92

Drugie kolokwium . . . 103

Egzamin podstawowy . . . 117

Egzamin poprawkowy . . . 125

Egzamin na ocenę celującą . . . 134

5

(5)

Wstęp

Niniejsze opracowanie jest trzecią częścią zestawu podręczników do Analizy ma- tematycznej 1. Pozostałymi częściami zestawu są „Definicje, twierdzenia, wzory”

oraz „Przykłady i zadania”.

Książka zawiera zadania, które w ubiegłych latach studenci Politechniki Wrocław- skiej rozwiązywali na kolokwiach i egzaminach z Analizy matematycznej 1. Zadania obejmują rachunek różniczkowy i całkowy funkcji jednej zmiennej wraz z zastosowa- niami w ﬁzyce i technice. Do wszystkich zestawów kolokwialnych oraz do zestawów egzaminacyjnych o numerach nieparzystych podane są odpowiedzi. Zbiór zawiera także komplet zadań z egzaminów na ocenę celującą z lat 1994 - 2014 wraz z odpowiedziami lub wskazówkami.

Opracowanie pozwala studentom zapoznać się z rodzajami oraz stopniem trudno- ści zadań kolokwialnych i egzaminacyjnych. Jest to jednocześnie dodatkowy materiał do samodzielnej nauki. Zadania z tego zbioru mogą być wykorzystywane przez wykła- dowców i prowadzących ćwiczenia przy układaniu zestawów na kolokwia i egzaminy.

Do obecnego wydania zbioru dołączono zadania z kolejnych egzaminów na ocenę celującą oraz poprawiono zauważone błędy i usterki.

Dziękujemy Koleżankom i Kolegom z Instytutu Matematyki i Informatyki Poli- techniki Wrocławskiej za zestawy zadań z kolokwiów i egzaminów, a także za uwagi o poprzednich wydaniach.

Marian Gewert Zbigniew Skoczylas

7

(6)

60 Zestawy zadań z egzaminów

5.Napisać wzór Maclaurina z resztą R3 dla funkcji f (x) = arc tg x.

6.Dobrać parametry a i b tak, aby funkcja f określona wzorem

f (x) =









3e^−x dla x < 0,

3b dla x = 0,

(1 + ax)

1 sin x

dla x > 0 była ciągła w punkcie x0= 0.

7.Obliczyć pole obszaru D ograniczonego osią Ox i wykresami funkcji: f (x) = 3√³ x, g(x) = −3x + 6.

8.Obliczyć granicę lim

n→∞

n

r4ⁿ+ 3ⁿ+ 2ⁿ

5ⁿ .

Egzamin poprawkowy

Zestaw 1. odp. str. 125

1.Obliczyć całkę nieoznaczoną z funkcji f (x) = 2 x²+ 6x + 18. 2.Obliczyć całkę

Z

x²sinh x dx.

3.Obliczyć pole obszaru D ograniczonego przez krzywe: y = 1

x, y = 4

x, y = 1, y = 4.

Sporządzić rysunek tego obszaru.

x→∞

ln (1 + 4^x) ln (1 + 3^x). 5.Obliczyć granicę lim

n→∞

p2 + n + n²−p

(n + 1)²+ 2 .

6.Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji f (x) = 3x

√4x²+ 1 na prze- dziale [−1, 2].

7.Korzystając z deﬁnicji obliczyć pochodną funkcji f (x) = 1

x² w punkcie x0= 2.

8.Wyznaczyć przedział, na którym funkcja f (x) = x + 1

x jest rosnąca i wypukła w górę.

Zestaw 2.

1.Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach obliczyć granicę lim

n→∞

2n²+ sin²n n²+ n + 1 .

(7)

Egzamin poprawkowy 61

2.Funkcja f jest określona wzorem f (x) =

( e^x dla x ¬ 0, Ax + B dla x > 0.

Dla jakich wartości parametrów A i B funkcja ta jest a) ciągła, b) różniczkowalna w punkcie x0= 0 ?

3.Przy pomocy reguły de L’Hospitala obliczyć granicę lim

x→0⁺

ctg x − 1 x

.

4.Wyznaczyć przedziały wypukłości i punkty przegięcia wykresu funkcji f (x) = x

1 + x².

5.Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji f (x) = x − 2 arc tg x na prze- dziale [0, +∞).

6.Całkując przez części obliczyć całkę nieoznaczoną Z

x²e^−xdx.

7.Obliczyć całkę nieoznaczoną

Z dx

x³− x. 8.Obliczyć długość łuku krzywej Γ : y = x²

4 −ln x

2 , gdzie 1 ¬ x ¬ 2.

1.Obliczyć całkę nieoznaczoną z funkcji f (x) = 1 4x²+ 8x + 40. 2.Obliczyć całkę

Z

x²cos x dx.

3.Obliczyć pole obszaru D ograniczonego przez krzywe: y = x², y = x²+ 3, y = 4.

Sporządzić rysunek tego obszaru.

4.Napisać wzór Taylora z resztą R3 dla funkcji f (x) = arc tg x przyjmując x0= 1.

x→∞x 4

1 x − 2

1 x

! .

n→∞

p2n²+ 1 −p

2n²+ 4n + 1 .

7.Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji f (x) = x + 1

x²+ 2x + 2 na prze- dziale [−7, 0].

8.Korzystając z deﬁnicji obliczyć pochodną funkcji f (x) = −√

x w punkcie x0= 9.

(8)

62 Zestawy zadań z egzaminów Zestaw 4.

n→∞

n

r

1 + 2ⁿ+ 1 2ⁿ. 2.Funkcja f jest określona wzorem

f (x) =

( cos x dla x ¬ 0, Ax + B dla x > 0.

3.Korzystając z reguły de L’Hospitala obliczyć granicę lim

x→0

e^x− e^−x− 2x x − sin x . 4.Wyznaczyć przedziały wypukłości i punkty przegięcia wykresu funkcji

f (x) = x²e^1−x.

5.Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji f (x) = cos x +√

3 sin x na przedziale [0, π/2] .

arc tg x dx.

7.Obliczyć całkę nieoznaczoną z funkcji wymiernej f (x) = x + 2 x³+ x.

8.Obliczyć objętość bryły V ograniczonej powierzchnią powstałą przez obrót krzywej y = cos x, gdzie −π/2 ¬ x ¬ π/2, wokół osi Ox.

1.Obliczyć całkę nieoznaczoną z funkcji f (x) = 1 x²+ 10x + 34. 2.Obliczyć całkę

Z

x³ ln x dx.

3.Narysować i obliczyć pole obszaru D ograniczonego przez krzywe:

x = y², x = y²

4 , y = 1, y = 2.

4.Napisać wzór Taylora dla funkcji f (x) = tg x przyjmując x0= π/3 oraz n = 3.

x→∞

x ln

1 + sin1 x

.

n→∞

p16n²+ 5n − 4 − 4n .

7.Korzystając z deﬁnicji obliczyć pochodną funkcji f (x) = 1

√x w punkcie x0= 4.

(9)

Egzamin poprawkowy 63 8.Wyznaczyć przedział, na którym funkcja f (x) = x√

x + 1 jest malejąca i wypukła w dół.

Zestaw 6.

n→∞

pn

n + sin²n.

2.Funkcja f jest określona wzorem f (x) =

( sin x dla x ¬ 0, Ax + B dla x > 0.

3.Przy pomocy reguły de L’Hospitala obliczyć granicę lim

x→−1

√5

1 + 2x − x

√3

2 + x + x. 4.Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji f (x) = xp

4 − x² w jej dzie- dzinie.

5.Napisać wzór Maclaurina z resztą R3 dla funkcji f (x) =√³

1 + x, a następnie uza- sadnić nierówność

√3

1 + x > 1 +x 3 −x²

9 dla każdego x > 0.

x arc tg x dx.

7.Obliczyć całkę nieoznaczoną z funkcji wymiernej f (x) = 1 x³+ x². 8.Obliczyć pole obszaru D ograniczonego przez krzywe: x = y², x + y = 2.

1.Obliczyć całkę nieoznaczoną z funkcji f (x) = 9 9x²+ 6x + 5. 2.Obliczyć całkę

Z

x arc tg x dx.

3.Narysować i obliczyć pole obszaru D ograniczonego przez krzywe:

y = 4 − x², y = 3x, y = 3.

4.Napisać wzór Taylora dla funkcji f (x) = cosh x przyjmując x0= ln 2 oraz n = 3.

x→0

arc tg 2x arc tg 3x. 6.Obliczyć granicę lim

n→∞

2n −p

1 + n + 4n² .

(10)

7.Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji f (x) = ³ q

(x²+ x)² na prze- dziale [−2, 3].

8.Korzystając z deﬁnicji obliczyć pochodną funkcji f (x) =√³

x w punkcie x0= 1.

Zestaw 8.

n→∞

pn

n²+ 1.

2.Funkcja f określona jest wzorem f (x) =

( x² dla x ¬ 1, Ax + B dla x > 1.

3.Przy pomocy twierdzenia de L’Hospitala obliczyć granicę lim

x→0⁺(sin x)^x. 4.Wyznaczyć przedziały wypukłości i punkty przegięcia wykresu funkcji

f (x) = 1 x²+ 3.

5.Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji f (x) = x²+ 1

x² w jej dziedzi- nie.

arc sin x dx.

7.Obliczyć całkę nieoznaczoną z funkcji wymiernej f (x) = 1 x³− x².

8.Obliczyć objętość bryły V ograniczonej powierzchnią powstałą przez obrót krzywej y =√

cos³x, gdzie |x| ¬ π/2, wokół osi Ox.

x→0⁺(ctg x)^{tg x}.

2.Wykorzystując różniczkę funkcji obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia 1

√4

15.996 . 3.Obliczyć całkę

Z x dx (e^x)³. 4.Obliczyć granicę lim

n→∞

4n −p

16n²+ 9n − 1 .

5.Wyznaczyć przedziały, na których funkcja f (x) = x²ln x jest rosnąca i wypukła w dół.

(11)

Egzamin poprawkowy 65 6.Narysować wykres funkcji f : R −→ R, która spełnia wszystkie podane warunki:

lim

x→0⁻f (x) = 2;

x→0lim⁺f (x) = −∞;

prosta y = π jest asymptotą funkcji f w −∞;

granica lim

x→∞f (x) nie istnieje (właściwa ani niewłaściwa).

Na rysunku zaznaczyć fragmenty wykresu, które spełniają podane warunki.

7.Sformułować twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej. Korzystając z tego twierdzenia wyprowadzić wzór

(arc tg x)^′= 1 1 + x².

8.Obliczyć pole obszaru D ograniczonego wykresem funkcji y = 5 − 4x

x²− 4x + 20, pro- stymi x = 0, x = 1 oraz osią Ox.

Zestaw 10.

1.Podać dziedzinę, zbadać różniczkowalność i obliczyć pochodną funkcji f (x) = log₂(x sin x)².

2.Obliczyć granicę ciągu an=

n

n + 1

ⁿ⁺²₂ .

3.Uzasadnić nierówność arc tg x²+ 1

¬ x + π

4 dla każdego x 0.

4.Wyznaczyć funkcję F pierwotną funkcji f (x) = xe−^x2

taką, że F (2) = 0.

5.Korzystając ze wzoru Maclaurina dla funkcji f (x) = ¹⁰√

1 + x obliczyć ¹⁰√ 2 z do- kładnością 0.001 .

6.Podać deﬁnicję granicy funkcji w nieskończoności. Obliczyć lim

x→∞ x⁴− 2^x .

7.Dobrać parametry a, b i c tak, aby funkcja f była różniczkowalna na R, jżeli:

f (x) =









ax + x²

2 dla x < −1, bx² dla −1 ¬ x ¬ 0, c sin x dla x > 0

8.Obliczyć objętość bryły V powstałej z obrotu wokół osi Ox obszaru określonego nierównościami: x²+ y²¬ 1, 0 ¬ y ¬ 1/2.

1.Uzasadnić, że granica lim

x→∞[4^x(cos x + 1)] nie istnieje.

(12)

66 Zestawy zadań z egzaminów 2.Obliczyć pole obszaru D ograniczonego wykresami funkcji: y = tg x, gdzie 0 ¬ x <

π/2, y = ctg x, gdzie 0 < x ¬ π/2 oraz osią Ox.

3.Sformułować twierdzenie o trzech ciągach. Korzystając z tego twierdzenia obliczyć granicę

n→∞lim

√n

2⁻ⁿ+ 2 · 3⁻ⁿ+ 3 · 4⁻ⁿ.

4.Znaleźć wymiary konserwy w kształcie walca o objętości V = 250π cm³, do wyko- nania której trzeba użyć najmniej blachy. Sporządzić rysunek.

5.Obliczyć całkę

Z dx

x³+ 4x.

6.Oszacować dokładność wzoru przybliżonego cos 2x ≈ 1 − 2x² dla 0 ¬ x ¬ 1/10.

7.Sformułować twierdzenie Bolzano o miejscach zerowych funkcji. Korzystając z tego twierdzenia wskazać przedział o długości 1/2, w którym równanie 3^x+ x³ = 0 ma rozwiązanie.

8.Znaleźć przedziały wypukłości i punkty przegięcia wykresu funkcji f (x) = x² x²+ 1. Zestaw 12.

1.Dane są funkcje f (x) = |x − 1| i g(x) = |x + 2|. Zbadać ciągłość i różniczkowalność funkcji złożonej h(x) = (f ◦ g)(x).

2.Korzystając z twierdzenia Lagrange’a uzasadnić nierówność ln x²+ e

¬ 1 +2x

e dla każdego x 0.

3.Korzystając ze wzoru Maclaurina obliczyć cos1

3 z dokładnością 0.001 .

4.Podać deﬁnicję granicy właściwej ciągu. Korzystając z tej deﬁnicji uzasadnić rów- ność

n→∞lim n²+ n 1 − 2n² = −1

2.

5.Wyznaczyć funkcję F pierwotną funkcji f (x) = x sin 2x taką, że F (π/2) = π/2.

6.Zbadać istnienie granicy lim

x→0

ln x²+ 1 x

.

7.Podać dziedzinę oraz obliczyć pochodną funkcji f (x) = log₂ log₂ x²− 4

. 8.Wykorzystując deﬁnicję całki oznaczonej obliczyć granicę

n→∞lim

√n²+√

n²− 1²+√

n²− 2²+ . . . +p

n²− (n − 1)²

n² .

(13)

Egzamin poprawkowy 67

1.Podać wzór na objętość bryły obrotowej. Korzystając z tego wzoru obliczyć obję- tość stożka ściętego o wysokości H i promieniach podstaw R, r, gdzie R > r. Sporzą- dzić rysunek.

x→0⁺(sin x)^x.

3.Napisać wzór Taylora z resztą R3 dla funkcji f (x) = tg x i punktu x0= π/6.

4.Obliczyć całkę Z

arc sin x dx.

5.Przez punkt P = (1, 3) poprowadzić prostą tak, aby wraz z dodatnimi półosiami układu współrzędnych utworzyła trójkąt o najmniejszym polu. Sporządzić rysunek.

6.Obliczyć całkę

Z x²dx x²+ 2x + 5.

7.Podać deﬁnicję pochodnej funkcji f w punkcie x0. Korzystając z tej deﬁnicji obli- czyć pochodną funkcji f (x) = 1

√x w punkcie x0> 0.

n→∞

2n 2n + 1

n+3

.

Zestaw 14.

1.Dane są funkcje f (x) =



 1

x dla x 6= 0, 0 dla x = 0,

g(x) =



 1

x − 1 dla x 6= 1,

1 dla x = 1.

Zbadać ciągłość i różniczkowalność funkcji złożonej h(x) = (g ◦ f)(x).

2.Wyznaczyć funkcję F pierwotną funkcji f (x) = arc tg x taką, że F (1) = π/2.

3.Podać dziedzinę, wyznaczyć ekstrema, asymptoty oraz naszkicować wykres funkcji f (x) = ln x²2

x .

4.Korzystając z twierdzenia Lagrange’a uzasadnić nierówność x ¬ arc sin x ¬ x

√1 − x² dla każdego 0 ¬ x < 1.

5.Dobrać parametry a i b tak, aby funkcja f określona wzorem f (x) =

( |x − a| dla x < a, bx dla x a była różniczkowalna na R.

6.Zbadać monotoniczność, ograniczoność i zbieżność ciągu an = (−1)ⁿn − (−1)ⁿ⁺¹n²− 1

n .

(14)

7.Obliczyć całkę oznaczoną Z6

4

x³dx x²− 2x − 3. 8.Obliczyć pochodną funkcji f (x) =

q 1 −p

1 − |x|.

1.Obliczyć granicę ciągu xn =

4n + 2 4n + 3

5−8n

.

2.Wykorzystując wzór Maclaurina obliczyć √³

e z dokładnością 10⁻³.

x→∞x 4

1 x − 3

1 x

! .

4.Obliczyć całkę

Z cos 2x e^x dx.

5.Korzystając z twierdzenia o trzech funkcjach obliczyć granicę

x→−∞lim e^x(2 + 3 sin x).

6.Obliczyć pole obszaru D ograniczonego krzywymi: x = y², x = y²+ 3, x = 4.

Sporządzić rysunek.

7.Obliczyć całkę

Z (4x + 1) dx x²+ 10x + 34.

8.Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji f (x) = x

√4x²+ 1 na prze- dziale [−1, 2].

Zestaw 16.

1.Korzystając z twierdzenia Lagrange’a uzasadnić nierówność ln 1 + sin²x

¬ x sin 2x dla każdego 0 ¬ x ¬ π 4.

2.Wykazać, że równanie x⁵+ 5x + 1 = 0 ma dokładnie jeden pierwiastek należący do przedziału (−1, 0).

3.Dobrać parametry a i b tak, aby funkcja f określona wzorem

f (x) =











a 2 + e

1 x

!

dla x < 0,

lim

t→0⁻ 2 + e

1 t

!

dla x = 0, sin bx

x dla x > 0

była ciągła na R.

(15)

Egzamin poprawkowy 69 4.Wyznaczyć funkcję F pierwotną funkcji f (x) = log₂x taką, że F (2) = 0.

5.Wyznaczyć ekstrema i punkty przegięcia wykresu funkcji f (x) = Zx

1

1 − 2 ln t t³ dt na przedziale (1, ∞).

6.Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach obliczyć granicę

n→∞lim

1

n²+ 1 + 1

n²+ 2 + . . . + 1 n²+ n

.

7.Korzystając ze wzoru Maclaurina obliczyć ln 1.2 z dokładnością 0.01.

8.Parabolę y = x² obracamy wokół osi Oy. Obliczyć objętość bryły V ograniczonej utworzoną w ten sposób powierzchnią oraz płaszczyzną y = 4.

1.Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach obliczyć granicę

n→∞lim pn

2 · 3ⁿ+ 2ⁿcos²n.

2.Obliczyć całkę nieoznaczoną Z

x cosx 2dx.

3.Napisać wzór Taylora z resztą R2 dla funkcji f (x) = e^{cos x}i punktu x0= π/2.

x→∞x² 2

1 x − 2−¹x

! .

5.Znaleźć styczną do wykresu funkcji f (x) =√

e^x+ 1 w punkcie (0, f (0)).

6.Znaleźć pole obszaru D ograniczonego krzywymi: y = x

2, y = 2^−x, y = 2 i x = 0.

Sporządzić rysunek.

7.Znaleźć przedział, na którym funkcja f (x) = e^x

1 + x jest rosnąca i wypukła w dół.

8.Znaleźć wszystkie asymptoty funkcji f (x) = √x − 1 x²− 1. Zestaw 18.

1.Obliczyć całkę

π

Z4

0

x²sin 2x dx.

2.Narysować wykres funkcji f : R −→ R, która spełnia wszystkie podane warunki:

x→−∞lim f (x) nie istnieje;

x→−1lim⁻f (x) = ∞;

lim

x→−1⁺f (x) = 3;

prosta y = 1 − 2x jest asymptotą funkcji f w ∞.

(16)

3.Wykorzystując różniczkę funkcji obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia 1

√3

7.997 . 4.Obliczyć całkę nieoznaczoną

Z e^xdx e^2x− 4.

5.Wyznaczyć przedziały monotoniczności, ekstrema oraz granice na krańcach dzie- dziny funkcji

f (x) = xe

1 x. Następnie wyznaczyć zbiór wartości tej funkcji.

6.Obliczyć pole obszaru D ograniczonego krzywymi: y = |x|, y + x²= 2.

7.Korzystając z twierdzenia o trzech funkcjach obliczyć granicę

x→−∞lim [e^x(3 − 2 cos x)] . 8.Obliczyć granicę lim

n→∞

4 · 2ⁿ+ 3ⁿ 5 · 2ⁿ− 3ⁿ.

n→∞

pn²+ 2n + 1 −p

n²+ 3n + 5 .

2.Obliczyć całkę nieoznaczoną

Z dx

(x²+ 1) x.

3.Napisać wzór Taylora z resztą R2 dla funkcji f (x) = (ln x)^x i punktu x0= e.

x→^π

2

(1 − cos x)

1 x−^π

2 .

5.Znaleźć styczną do wykresu funkcji f (x) = cos²x w punkcie (π/4, f (π/4)) . 6.Znaleźć pole obszaru D ograniczonego krzywymi: y =√

x, y = 2 − x², x = 0.

7.Znaleźć przedziały monotoniczności oraz najmniejszą wartość funkcji f (x) = x²

2 − 4 ln(x − 3).

8.Znaleźć asymptoty ukośne funkcji f (x) = x arc ctg x³. Zestaw 20.

1.Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji f (x) = |x|(x − 1).

2.Obliczyć całkę

Z x²+ 13 dx x²+ 4x + 13.

3.Napisać wzór Maclaurina z resztą R4 dla funkcji f (x) = x²e^x.