AUTORZY: Zespół w12i
ZBIÓR ZADAŃ MATURALNYCH
Z MATEMATYKI
1
SPIS TREŚCI
LICZBY RZECZYWISTE……….2
FUNKCJE………11
CIĄGI………...27
GEOMETRIA ANALITYCZNA……….36
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA, STATYSTYKA……….44
2
LICZBY RZECZYWISTE
Zadanie 1.
Przez jakie wyrażenie należy przemnożyć sumę , aby otrzymać sumę ?
A) B) C) D)
Zadanie 2.
Liczbę można przedstawić w postaci A) B) C) D)
Zadanie 3.
Liczba jest równa
A) B) C) D)
Zadanie 4.
Liczba jest równa A) 2 B) C) 1 D) 4
Zadanie 5.
Liczba jest
A) ujemna B) niewymierna C) dodatnia D) mniejsza od 1
Zadanie 6.
Suma liczby i tej liczby jest równa 230. Równaniem opisującym tę zależność jest
A) B) C) D)
3 Zadanie 7.
Liczba jest równa
A) B) C) D)
Zadanie 8.
Liczbą wymierną nie jest:
A) B) C) D)
Zadanie 9.
Liczba jest podzielna przez A) 5 B) 4 C) 6 D) 16
Zadanie 10.
Wskaż nierówność, którą spełnia liczba .
A) B) C) D)
Zadanie 11.
Wartość wyrażenia jest równa A) 3 B) 1 C) 9 D)
Zadanie 12.
Po skróceniu wyrażenie ma postać A) 6 B) C) D)
4
Liczba 120 jest o 50% większa od liczby . Wynika stąd, że A) B) C) D)
Zadanie 14.
Liczba jest równa
A) 2 B) C) 1 D)
Zadanie 15.
Liczba jest podzielna przez
A) 12 B) 81 C) 11 D) 9
Zadanie 16.
Wartość wyrażenia jest równa
A) 591 B) 276 C) 21 D) 27
Zadanie 17.
Wyrażenie po rozłożeniu na czynniki przyjmuje postać:
A) B) C) D)
Zadanie 18.
Jeżeli , to liczba jest równa A) B) C) D)
Zadanie 19.
Liczba jest równa
A) B) C) D)
5 Liczba jest równa
A) B) C) D)
Zadanie 21.
Liczba jest równa
A) B) C) D)
Zadanie 22.
Liczba jest równa
A) B) C) D)
Zadanie 23.
Liczba jest równa
A) B) 19 C) 0 D) 5
Zadanie 24.
O liczbie wiadomo, że . Zatem A) B) C) D)
Zadanie 25.
Liczba jest równa
A) 2 B) C) 1 D)
Zadanie 26.
Różnica jest równa
A) 2 B) 1 C) 3 D) 0
6
Liczba jest równa
A) -2 B) C) 4 D) -1
Zadanie 28.
Wyrażenie jest określone dla wszystkich liczb spełniających warunek A) B) C) D)
Zadanie 29.
Liczba jest równa
A) 1 B) 4 C) 2 D) 0
Zadanie 30.
Liczba jest równa A) B) 3 C) D)
Zadanie 31.
Iloczyn jest równy A) 1 B) C) D)
Zadanie 32.
Oblicz wartość wyrażenia .
Zadanie 33.
Oblicz wartość wyrażenia .
7
Wiedząc, że i , wyznacz w zależności od i .
Zadanie 35.
Wiadomo, że . Wyznacz w zależności od .
Zadanie 36.
Nie używając kalkulatora, porównaj liczby: oraz
Zadanie 37.
Liczba jest równa liczbie
A) 2 B) -1 C) 0 D) 1
Zadanie 38.
Liczba jest równa
A) B) C) D)
Zadanie 39.
Liczba jest równa
A) 2 B) -1 C) 1 D) -2
Zadanie 40.
Jeśli oraz , to liczba jest równa
A) B) C) D)
8
Maszt o wysokości 26 m rzuca cień o długości 20 m. Miara kąta, jaki tworzy promień słoneczny z powierzchnią ziemi wynosi około
A) B) C) D)
Zadanie 42.
Liczba jest równa A) -8 B) -6 C) D)
Zadanie 43.
Wiadomo, że . Zatem liczba jest
A) niewymierna B) wymierna C) większa od 2 D) mniejsza od 1
Zadanie 44.
Liczba należy do przedziału A) B) C) D)
Zadanie 45.
Jeżeli to liczba jest równa
A) B) C) D) 2
Zadanie 46.
Liczba . Wynika stąd, że
A) B) C) D)
9
Wiadomo, że . Wtedy równa się
A) B) C) D)
Zadanie 48.
Wartość wyrażenia jest równa
A) -8 B) -2 C) -3 D) -3,5
Zadanie 49.
Liczba jest równa
A) B) C) D)
Zadanie 50.
Liczba jest równa
A) 6 B) C) -6 D)
Zadanie 51.
Która z liczb jest równa 2?
A) B) C) D)
Zadanie 52.
Wskaż prawdziwą równość
A) B) C) D)
Zadanie 53.
Wyrażenie jest określone dla wszystkich liczb spełniających warunek A) B) C) D)
10
Liczba jest równa
A) 1 B) 0 C) 2 D) 3
Zadanie 55.
Liczba jest równa
A) B) C) D) 2
11 Zadanie 1.
Na rysunku znajduje się fragment wykresu funkcji kwadratowej , określonej na zbiorze . Wskaż zdanie prawdziwe.
A) Wykres funkcji przecina oś w punkcie . B) Dla argumentu 6 funkcja przyjmuje wartość 2.
C) Funkcja jest rosnąca w przedziale .
D) Funkcja ma dwa miejsca zerowe, należące do przedziału .
Zadanie 2.
Jeżeli to liczba jest równa
A) 0,5 B) 0,495 C) 0,99 D) 0,45
Zadanie 3.
Na rysunku dany jest wykres funkcji .
12
A) B) C) D)
Zadanie 4.
Dana jest funkcja określona wzorem . Ta funkcja przyjmuje wartości niedodatnie dla
A) B) C) D)
Zadanie 5.
Która z podanych prostych nie przecina wykresu funkcji ?
A) B) C) D)
Zadanie 6.
Na rysunku 1 jest przedstawiony wykres funkcji .
Funkcja przedstawiona na rysunku 2 jest określona wzorem
A) B) C) D)
Zadanie 7.
Wykres funkcji kwadratowej przecina oś w punkcie
A) B) C) D)
13
Wskaż wykres funkcji, która w przedziale ma dokładnie jedno miejsce zerowe.
Zadanie 9.
Kąt jest ostry oraz . Wtedy miara kąta jest równa A) B) C) D)
Zadanie 10.
Wiadomo, że kąt jest kątem ostrym i . Wtedy równa się A) B) C) D)
Zadanie 11.
Stopień wielomianu jest równy
A) 2 B) 3 C) 1 D) 4
14
Wykres funkcji określonej wzorem przesuwamy o 4 jednostki w dół wzdłuż osi i o 2 jednostki w prawo wzdłuż osi . Otrzymujemy w ten sposób wykres funkcji
określonej wzorem A)
B) C) D)
Zadanie 13.
Największą wartość w przedziale funkcja kwadratowa przyjmuje dla argumentu
A) -8 B) 0 C) -3,5 D) -2
Zadanie 14.
Wykres funkcji przechodzi przez punkty . Wtedy
A) B) C) D)
Zadanie 15.
Jaki jest wzór funkcji kwadratowej, której wykres przedstawiono na rysunku?
A) B) C) D)
15
Wykres funkcji przechodzi przez punkt gdy liczba jest równa A) 14 B) C) 4 D) -14
Zadanie 17.
Kąt jest ostry oraz . Zatem
A) B) C) D)
Zadanie 18.
Na rysunku 1 jest przedstawiony wykres funkcji .
Funkcja przedstawiona na rysunku 2 jest określona wzorem
A) B) C) D)
Zadanie 19.
Funkcja
A) nie ma miejsc zerowych B) ma 2 miejsca zerowe C) ma 3 miejsca zerowe D) ma 1 miejsce zerowe
Zadanie 20.
Punkt jest punktem przecięcia się wykresów funkcji i . Punkt leży w układzie współrzędnych w ćwiartce
A) drugiej B) pierwszej C) trzeciej D) czwartej
16
Wykres funkcji określonej na zbiorze liczb rzeczywistych:
A) musi mieć punkt wspólny z osią , B) może mieć dwa punkty wspólne z osią , C) musi mieć punkt wspólny z osią ,
D) przechodzi przez początek układu współrzędnych.
Zadanie 22.
Wartość wielomianu dla jest równa
A) 12 B) 9 C) -24 D) -9
Zadanie 23.
Największa wartość funkcji wynosi
A) 2 B) 5 C) 8 D) 1
Zadanie 24.
Dany jest wykres funkcji . Dziedziną funkcji jest przedział
A) B) C) D)
17
Wartość wyrażenia jest równa
A) 1 B) C) D)
Zadanie 26.
Rysunek przedstawia wykres funkcji .
Wskaż wykres funkcji .
Zadanie 27.
Funkcje i przyjmują równą wartość dla
A) B) C) D)
18
Na rysunku poniżej przedstawiony jest wykres funkcji liniowej .
Funkcja to może być określona wzorem
A) B) C) D)
Zadanie 29.
Do wykresu funkcji liniowej należą punkty . Wynika
stąd, że
A) B) C) D)
Zadanie 30.
O funkcji wiemy, że tylko dla dwóch argumentów przyjmuje wartość . Zatem funkcja określona wzorem
A) ma tylko cztery miejsca zerowe
B) może mieć więcej niż pięć miejsc zerowych C) ma tylko dwa miejsca zerowe
D) ma tylko trzy miejsca zerowe
Zadanie 31.
Wierzchołek paraboli opisanej wzorem należy do
A) II ćwiartki układu współrzędnych B) III ćwiartki układu współrzędnych
19 D) IV ćwiartki układu współrzędnych
Zadanie 32.
Wskaż funkcję, której wykres przecina prostą o równaniu w punkcie o ujemnych współrzędnych.
A) B) C) D)
Zadanie 33.
Dziedziną wyrażenia jest zbiór
A) B) C) D)
Zadanie 34.
Suma wszystkich współczynników wielomianu (po uporządkowaniu)
wynosi
A) 1 B) C) D) 0
Zadanie 35.
Do wykresu funkcji należy punkt . Wówczas A) B) C) D)
Zadanie 36.
Zbiorem wartości funkcji jest przedział A) B) C) D)
20
Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji liniowej .
Funkcja jest określona wzorem
A) B) C) D)
Zadanie 38.
Kąt jest ostry i . Wtedy liczba należy do przedziału A) B) C) D)
Zadanie 39.
Korzystając z danego wykresu funkcji , wskaż nierówność prawdziwą
A) B) C) D)
21
Na rysunku jest przedstawiony wykres funkcji .
Zbiorem wartości tej funkcji jest
A) B) C) D)
Zadanie 41.
Funkcja wykładnicza określona wzorem jest malejąca dla A) B) C) D)
Zadanie 42.
Wierzchołek paraboli leży na prostej o równaniu A) B) C) D)
Zadanie 43.
Funkcja jest rosnąca, gdy
A) B) C) D)
Zadanie 44.
Wykres funkcji i prosta
A) pokrywają się
B) mają jeden punkt wspólny
22 D) są rozłączne
Zadanie 45.
Zbiór wartości funkcji kwadratowej jest rozłączny z przedziałem . Na którym rysunku przedstawiono wykres funkcji ?
Zadanie 46.
Funkcja jest funkcją kwadratową, dla której . Osią symetrii paraboli będącej wykresem tej funkcji jest prosta
A) B) C) D)
Zadanie 47.
Wartość wyrażenia jest równa
A) 2 B) 3 C) 0 D) 1
Zadanie 48.
Wskaż funkcję kwadratową, której zbiorem wartości jest przedział .
A) B) C) D)
Zadanie 49.
Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji liniowej .
23 Funkcja jest określona wzorem
A) B) C) D)
Zadanie 50.
Liczba 1 jest wartością wyrażenia
A) B) C) D)
Zadanie 51.
Dziedziną funkcji określonej wzorem jest zbiór A) B) C) D)
Zadanie 52.
Punkt należy do wykresu funkcji:
A) B) C) D)
Zadanie 53.
Wykres funkcji powstaje z przesunięcia wykresu funkcji A) o 2 jednostki w górę
B) o 2 jednostki w dół C) o 2 jednostki w lewo D) o 2 jednostki w prawo
24
Dany jest wykres funkcji . Dziedziną funkcji jest przedział
A) B) C) D)
Zadanie 55.
Kąt jest ostry i . Wówczas
A) B) C) D)
Zadanie 56.
Wykres funkcji kwadratowej nie ma punktów wspólnych z prostą o równaniu
A) B) C) D)
Zadanie 57.
Wiadomo, że tangens kąta ostrego jest równy . Wobec tego:
A) B) C) D)
Zadanie 58.
Funkcja określona jest wzorem
25 A)
B) C) D)
Zadanie 59.
Wskaż , dla którego funkcja liniowa jest malejąca.
A) B) C) D)
Zadanie 60.
Funkcja przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej liczbę jej dzielników będących liczbami naturalnymi. Wobec tego jest równe:
A) 10 B) 11 C) 12 D) 13
Zadanie 61.
Do wykresu funkcji należy punkt o współrzędnych
A) B) C) D)
Zadanie 62.
Punkt jest punktem przecięcia się wykresów funkcji i . Punkt leży w układzie współrzędnych w ćwiartce
A) czwartej B) trzeciej C) pierwszej D) drugiej
Zadanie 63.
Zbiorem wartości funkcji jest
A) B) C) D)
Zadanie 64.
Wielomian dla dowolnej liczby rzeczywistej przyjmuje A) tylko wartości ujemne
B) wartości niedodatnie C) wartości nieujemne D) tylko wartości dodatnie
26
Zbiór wartości funkcji kwadratowej jest rozłączny z przedziałem . Na którym rysunku przedstawiono wykres funkcji ?
27 Zadanie 1.
Suma ciągu arytmetycznego jest określona wzorem . Drugi wyraz tego ciągu jest równy
A) 15 B) 12 C) 3 D) 18
Zadanie 2.
Jeśli trzeci wyraz ciągu geometrycznego jest równy 4, a czwarty wyraz tego ciągu jest równy , to drugi wyraz jest równy
A) -8 B) 2 C) -2 D) 8
Zadanie 3.
Wiadomo, że liczba jest liczbą naturalną dodatnią i liczby są trzema
początkowymi wyrazami ciągu geometrycznego , gdzie . Wyraz ogólny tego ciągu to
A) B) C) D)
Zadanie 4.
Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy , a drugi wyraz jest równy . Iloraz tego ciągu jest równy
A) B) C) D)
Zadanie 5.
Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy , a drugi wyraz . Różnica tego ciągu to liczba
A) B) C) 7 D) 1
28 Zadanie 6.
Na tablicy wypisano kolejne wyrazy pewnego ciągu arytmetycznego Ile liczb napisano na tablicy?
A) 19 B) 17 C) 20 D) 18
Zadanie 7.
Suma początkowych wyrazów ciągu określona jest wzorem . Piąty wyraz ciągu jest równy
A) 55 B) 7 C) 19 D) 23
Zadanie 8.
Ciąg dany jest wzorem, . Ciąg jest ciągiem
A) rosnącym B) geometrycznym C) malejącym D) arytmetycznym
Zadanie 9.
W ciągu arytmetycznym oraz . Wtedy suma jest równa
A) 1200 B) 585 C) 600 D) 575
Zadanie 10.
Iloczyn pierwszych 5 wyrazów ciągu geometrycznego danego wzorem , gdzie jest równy
A) B) C) D)
29
Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym . Wynika stąd, że
A) B) C) D)
Zadanie 12.
Dany jest ciąg arytmetyczny . Trzydziesty wyraz tego ciągu jest równy A) -136 B) 104 C) 100 D) -132
Zadanie 13.
Ile wyrazów ma ciąg geometryczny , w którym , natomiast ostatni wyraz jest równy 4000?
A) 6 B) 3 C) 5 D) 4
Zadanie 14.
Liczby tworzą rosnący ciąg geometryczny. Liczba może być równa A) B) C) D)
Zadanie 15.
Suma ciągu arytmetycznego jest określona wzorem . Drugi wyraz tego ciągu jest równy
A) 12 B) 20 C) 16 D) 8
Zadanie 16.
Ciąg określony jest wzorem , gdzie . Liczba niedodatnich wyrazów tego ciągu jest równa
A) 2 B) 3 C) 7 D) 4
30
Dany jest ciąg geometryczny o wyrazie ogólnym , gdzie . Liczba wyrazów tego ciągu mniejszych od 128 jest równa
A) 5 B) 4 C) 7 D) 6
Zadanie 18.
Dany jest ciąg , w którym . Jeśli jest liczbą naturalną
nieparzystą, to:
A) B) C) D)
Zadanie 19.
Ciąg jest ciągiem geometrycznym o ilorazie , w którym . Suma jest równa
A) 68 B) 34 C) 136 D) 289
Zadanie 20.
Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym , gdzie . Liczba wyrazów tego ciągu mniejszych od 64 jest równa
A) 19 B) 18 C) 21 D) 20
Zadanie 21.
Ciąg jest arytmetyczny. Wobec tego
A) B) C) D)
31
Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym , gdzie . Wówczas
A) B) C) D)
Zadanie 23.
Pierwszy wyraz malejącego ciągu geometrycznego jest równy , a iloraz tego ciągu należy do zbioru . Wobec tego iloraz ciągu jest równy
A) -2 B) C) D) 2
Zadanie 24.
W ciągu geometrycznym rosnącym wyraz jest równy 6, a wyraz jest równy 48. Wskaż wzór na -ty wyraz ciągu
A) B) C) D)
Zadanie 25.
Wyraz ogólny ciągu jest równy . Zatem równa się
A) 2 lub -2 B) 1 C) -4 lub 4 D) 0
Zadanie 26.
Liczby są trzema początkowymi wyrazami ciągu geometrycznego. Wówczas trzeci wyraz tego ciągu jest równy:
A) 192 B) 216 C) 24 D) 60
Zadanie 27.
Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 9, a różnica wynosi 7. Wyrazem tego ciągu jest liczba
A) 44 B) 54 C) 19 D) 12
32
W ciągu arytmetycznym mamy . Oblicz . A) 12 B) 16 C) 8 D) 4
Zadanie 29.
Dany jest ciąg geometryczny o wyrazie ogólnym . Trzeci wyraz tego ciągu jest równy
A) 135 B) 45 C) -135 D) -45
Zadanie 30.
Krawędzie prostopadłościanu wychodzące z jednego wierzchołka tworzą ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie 5 i różnicy 2. Wyznacz pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu.
Zadanie 31.
Wykaż, że liczby są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego.
Zadanie 32.
Liczby są w podanej kolejności pierwszym, drugim i czwartym wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz .
Zadanie 33.
Udowodnij że w ciągu geometrycznym o parzystej liczbie wyrazów stosunek sumy wyrazów stojących na miejscach parzystych do sumy wyrazów stojących na miejscach nieparzystych jest równy ilorazowi tego ciągu.
33
Długości boków trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego o ilorazie . Wykaż, że miary kątów trójkąta zbudowanego z odcinków o długościach równych długościom wysokości trójkąta są równe miarom kątów trójkąta .
Zadanie 35.
Dla jakich wartości i liczby oraz są trzema kolejnymi wyrazami zarówno ciągu arytmetycznego, jak i geometrycznego?
Zadanie 36.
Trzeci wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 10, a siódmy 42. Wyznacz pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.
Zadanie 37.
Znajdź , dla którego liczby w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny.
Zadanie 38.
Wykaż, że jeżeli ciąg jest arytmetyczny, to ciąg określony wzorem jest geometryczny.
Zadanie 39.
Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy 6, a iloraz dziesiątego wyrazu i wyrazu szóstego równy jest 16. Wiedząc że ciąg nie jest monotoniczny znajdź
A. jego iloraz, B. jego piąty wyraz,
C. wzór na wyraz ogólny ciągu.
Zadanie 40.
Wykaż, że jeżeli liczby i tworzą ciąg arytmetyczny, który nie jest stały, to liczby i również tworzą ciąg arytmetyczny.
34 Zadanie 41.
Ciąg jest ciągiem geometrycznym. Wykaz, że ciąg określony wzorem jest również ciągiem geometrycznym.
Zadanie 42.
Liczby , w podanej kolejności, tworzą ciąg geometryczny. Wyznacz .
Zadanie 43.
Dany jest ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie i różnicy . Wyznacz liczbę , dla której suma częściowa jest równa 780.
Zadanie 44.
Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy -5, a suma dwudziestu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 1230. Wyznacz różnicę tego ciągu.
Zadanie 45.
Ciąg jest ciągiem geometrycznym.
a. Oblicz iloraz tego ciągu.
b. Zapisz -ty wyraz tego ciągu w postaci
c. Oblicz sumę ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu.
Zadanie 46.
Wyznacz iloraz niezerowego ciągu geometrycznego, w którym suma 10 początkowych wyrazów jest 5 razy większa od sumy pierwszych 5 wyrazów.
Zadanie 47.
Współczynniki funkcji kwadratowej w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. Jednym miejscem zerowym jest 2. Punkt o współrzędnych należy do wykresy tej funkcji. Znajdź drugie miejsce zerowe oraz wartości współczynników.
35
Wyznacz wszystkie wartości , dla których pierwiastki wielomianu
są trzema kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego.
Zadanie 49.
Ciąg jest określony wzorem . Uzasadnij (na podstawie definicji) że ciąg jest arytmetyczny.
Zadanie 50.
Suma początkowych wyrazów ciągu geometrycznego wyraża się wzorem dla . Oblicz pierwszy wyraz ciągu i jego iloraz.
36 Zadanie 1.
Punkt jest środkiem okręgu przedstawionego na rysunku. Równanie tego okręgu ma postać:
A) B) C) D)
Zadanie 2.
Nierówność przedstawia na płaszczyźnie
A) koło B) punkt C) okrąg D) zbiór pusty
Zadanie 3.
Wskaż równanie symetralnej odcinka , gdy .
A) B) c) D)
37
Współczynnik kierunkowy prostej równoległej do prostej o równaniu jest równy
A) B) 2 C) D)
Zadanie 5.
Środkiem okręgu o równaniu jest punkt
A) B) C) D)
Zadanie 6.
Prosta ma równanie . Wskaż równanie prostej prostopadłej do .
A) B) C) D)
Zadanie 7.
Punkt jest wierzchołkiem rombu . Prosta o równaniu zawiera przekątną . Przekątna zawiera się w prostej o równaniu
A) B) C) D)
Zadanie 8.
Punkty i są środkami dwóch sąsiednich boków kwadratu . Pole
tego kwadratu jest równe
A) 100 B) 10 C) 40 D) 25
38
Przeciwległe wierzchołki kwadratu mają współrzędne . Promień okręgu wpisanego w ten kwadrat jest równy
A) B) C) D)
Zadanie 10.
Wskaż równanie prostej, która zawiera średnicę okręgu o równaniu .
A) B) C) D)
Zadanie 11.
Prosta ma równanie . Wskaż równanie prostej prostopadłej do .
A) B)
C) D)
Zadanie 12.
Punkt jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego, którego podstawa jest zawarta w prostej o równaniu . Wysokość opuszczona na podstawę jest zawarta w prostej o równaniu
A) B) C) D)
Zadanie 13.
Równanie okręgu wpisanego w romb o wierzchołkach
ma postać A)
B)
39 D)
Zadanie 14.
Współczynnik kierunkowy prostej równoległej do prostej o równaniu jest równy
A) 2 B) C) D)
Zadanie 15.
Prosta o równaniu jest nachylona do osi pod kątem . Zatem
A) B) C) D)
Zadanie 16.
Punkt jest wierzchołkiem trapezu . Prosta o równaniu zawiera podstawę . Podstawa zawiera się w prostej o równaniu
A) B) C) D)
Zadanie 17.
Która z podanych prostych jest styczna do okręgu ?
A) B) C) D)
Zadanie 18.
Które z podanych równań jest równaniem prostej.
A) B) C) D)
40
Która z podanych prostych nie ma punktów wspólnych z trzecią ćwiartką układu współrzędnych?
A) B)
C) D)
Zadanie 20.
Punkty i są kolejnymi wierzchołkami kwadratu. Obwód tego kwadratu jest równy
A) B) C) D)
Zadanie 21.
Wskaż równanie okręgu stycznego do osi . A)
B) C) D)
Zadanie 22.
Punkty i są wierzchołkami trójkąta równobocznego . Obwód
tego trójkąta jest równy
A) B) 45 C) 54 D)
41
Wiadomo, że i punkty i leżą na prostej . Pole trójkąta jest równe , a pole trójkąta jest równe . Zatem
A) B) C) D)
Zadanie 24.
Okrąg o równaniu , gdzie , ma z prostą dwa punkty wspólne.
Zatem
A) B) C) D)
Zadanie 25.
Pole figury ograniczonej prostymi i jest równe
A) 9 B) 5 C) 7 D) 14
Zadanie 26.
Punkt jest środkiem odcinka o końcach i . Wówczas
A) B) C) D)
Zadanie 27.
Wskaż , dla którego proste i są prostopadłe.
A) B) C) D)
42
Prosta ma równanie . Wskaż równanie prostej równoległej do prostej , przechodzącej przez punkt .
A) B) C) D)
Zadanie 29.
Punkt jest środkiem boku równoległoboku . Wiadomo też, że oraz
. Wyznacz wierzchołki tego równoległoboku.
Zadanie 30.
Dla jakiej wartości wykres funkcji ma co najmniej jeden punkt wspólny z okręgiem o promieniu , którego środkiem jest początek układu współrzędnych?
Zadanie 31.
Dane są punkty i . Wyznacz równanie krzywej, utworzonej przez wszystkie punkty płaszczyzny, których odległość od punktu jest 2 razy większa od odległości od punktu . Jaką figurę opisuje ta krzywa?
Zadanie 32.
Dane są punkty i .
Znajdź takie punkty i aby trójkąty i były równoboczne.
Znajdź równanie okręgu wpisanego w romb .
Oblicz pole figury, którą otrzymamy po usunięciu z rombu wnętrza wpisanego w niego koła.
Zadanie 33 .
Napisz równanie okręgu, do którego należą punkty wspólne paraboli i prostej , a którego środek należy do prostej o równaniu .
43
Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach .
Zadanie 35.
Dany jest jeden koniec odcinka i jego środek . Wyznacz współrzędne drugiego końca tego odcinka.
Zadanie 36.
Wykaż, że trójkąt o wierzchołkach , , jest prostokątny.
Zadanie 37.
Wyznacz równanie okręgu wpisanego w kwadrat , gdzie i .
Zadanie 38.
Na płaszczyźnie dane są punkty i (patrz rysunek). Zbadaj, czy punkty i leżą po tej samej stronie prostej . Podaj odpowiedź i jej uzasadnienie.
44
ZASTOSOWANIA - KOMBINATORYKA Zadanie 1.
Pan Jakub ma 4 marynarki, 7 par różnych spodni i 10 różnych koszul. Na ile różnych sposobów może się ubrać, jeśli zawsze zakłada marynarkę, spodnie i koszulę.
A) 280 B) 21 C) 28 D) 70
Zadanie 2.
Ile jest wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, w których obie cyfry są parzyste?
A) 25 B) 16 C) 20 D) 24
Zadanie 3.
Na ile sposobów można ustawić na półce 5 tomów encyklopedii tak, aby tomy 3 i 4 stały obok siebie (w dowolnej kolejności)?
A) 60 B) 24 C) 48 D) 120
Zadanie 4.
Wybieramy jedną liczbę ze zbioru i jedną liczbę ze zbioru . Na ile sposobów można wybrać te liczby tak, aby ich suma była liczbą nieparzystą?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6
Zadanie 5.
Liczba sposobów, na jakie Ala i Bartek mogą usiąść na dwóch spośród pięciu miejsc w kinie, jest równa
A) 15 B) 20 C) 12 D) 25
45
W karcie dań jest 5 zup i 4 drugie dania. Na ile sposobów można zamówić obiad składający się z jednej zupy i jednego drugiego dania?
A) 25 B) 16 C) 9 D) 20
Zadanie 7.
Pięć spośród sześciu różnokolorowych kul wkładamy do pięciu ponumerowanych szuflad tak, że w każdej szufladzie znajduje się jedna kula. Na ile różnych sposobów można to zrobić?
A) 720 B) 126 C) 120 D) 24
Zadanie 8.
Zamawiając pizzę mamy do wyboru 12 dodatków, 2 rodzaje ciasta i 3 rodzaje sosów. Na ile sposobów możemy zamówić pizzę jeżeli zdecydowaliśmy się wybrać jeden dodatek główny i jeden dodatek pomocniczy (różny od głównego), oraz jeden sos?
A) 864 B) 29 C) 28 D) 792
Zadanie 9.
Na przyjęciu spotkała się pewna liczba znajomych. Wszyscy znajomi przywitali się podaniem ręki. Nastąpiło 10 powitań. Ilu przyjaciół się spotkało?
Zadanie 10.
W turnieju karate rozegrano 36 walk. Każdy walczył z każdym dokładnie raz. Ilu zawodników brało udział w turnieju?
Zadanie 11.
Z cyfr 1,2,3,4,5,6,7,8 tworzymy liczby sześciocyfrowe. Ile można utworzyć takich liczb w których cyfra 1 występuje co najmniej trzy razy, a pozostałe cyfry są różne między sobą?
46
Pan Jakub ma 8 marynarek, 5 par różnych spodni i 9 różnych koszul. Na ile różnych sposobów może się ubrać, jeśli zawsze zakłada marynarkę, spodnie i koszulę.
A) 240 B) 22 C) 360 D) 90
Zadanie 13.
Wybieramy jedną liczbę ze zbioru i jedną liczbę ze zbioru . Na ile sposobów można wybrać te liczby tak, aby ich suma była liczbą parzystą?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6
Zadanie 14.
Na ile sposobów można włożyć dwie czapki do pięciu różnych szuflad?
A) 10 B) 25 C) 64 D) 32
Zadanie 15.
Wybieramy liczbę ze zbioru oraz liczbę ze zbioru . Ile jest takich par , że iloczyn jest liczbą parzystą?
A) 2 B) 8 C) 6 D) 20
Zadanie 16.
Liczba sposobów, na jakie Ula i Ania mogą usiąść na dwóch spośród siedmiu miejsc w teatrze, jest równa
A) 14 B) C) D) 42
47
Ile jest liczb naturalnych dwucyfrowych mniejszych od , które mają dwie różne cyfry?
A) 45 B) 48 C) 63 D) 58
Zadanie 18.
W kolejce do kasy kinowej ustawiło się sześciu mężczyzn i trzy kobiety. Liczba wszystkich możliwych ustawień osób w tej kolejce wynosi
A) 6!+3! B) 9! C) D)
Zadanie 19.
Ile można utworzyć liczb czterocyfrowych podzielnych przez 20, o cyfrach należących do
zbioru ?
A) 168 B) 196 C) 144 D) 126
Zadanie 20.
Na regale można ustawić książek na 120 sposoby. Zatem
A) B) C) D)
Zadanie 21.
Liczb pięciocyfrowych, które można zapisać tylko za pomocą cyfr 0 i 1, jest A) 5 B) 10 C) 16 D) 32
48 Zadanie 1.
Wybieramy liczbę ze zbioru oraz liczbę ze zbioru . Ile jest takich par , że iloczyn jest liczbą nieparzystą?
A) 2 B) 3 C) 20 D) 5
Zadanie 2.
Wybieramy liczbę ze zbioru oraz liczbę ze zbioru . Ile jest takich par , że iloczyn jest liczbą nieparzystą?
A) 2 B) 3 C) 20 D) 5
Zadanie 3.
Ze zbioru liczb wybieramy losowo jedną liczbę. Niech oznacza prawdopodobieństwo wybrania liczby będącej wielokrotnością liczby 3. Wówczas
A) B) C) D)
Zadanie 4.
W pewnej szkole 20% uczniów klas trzecich pisało maturę próbną z matematyki, przy czym 90%
spośród piszących otrzymało z próbnej matury więcej niż 35 punktów. Spośród wszystkich uczniów klas trzecich wybrano losowo jednego ucznia. Prawdopodobieństwo, że wybrano ucznia, który pisał maturę próbną z matematyki i otrzymał więcej niż 35 punktów jest równe
A) 0,18 B) 0,9 C) 0,45 D) 0,72
49
Prawdopodobieństwo zdarzenia jest równe , a prawdopodobieństwo sumy zdarzeń i jest równe . Wobec tego prawdopodobieństwo zdarzenia jest równe
A) B) C) D)
Zadanie 6.
Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo otrzymania sumy oczek równej trzy wynosi
A) B) C) D)
Zadanie 7.
Rzucamy dwiema sześciennymi kostkami do gry. Prawdopodobieństwo tego, że suma wyrzuconych oczek wyniesie co najmniej 5, jest równe
A) B) C) D)
Zadanie 8.
Prawdopodobieństwo zdarzenia jest 7 razy większe niż prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do . Wobec tego prawdopodobieństwo zdarzenia jest równe
A) B) C) D)
Zadanie 9.
Ze zbioru liczb naturalnych zawartych w przedziale wybieramy losowo jedną.
Niech oznacza prawdopodobieństwo wylosowania liczby będącej wielokrotnością liczby 7.
Wówczas
A) B) C) D)
50
Zdarzenia losowe i są rozłączne oraz . Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia może być równe
A) 0,63 B) 0,53 C) 0,43 D) 1
PRAWDOPODOBIEŃSTWO - ZADANIA TEKSTOWE
Zadanie1.
W pewnej grupie uczniów każdy zna język angielski lub niemiecki. Wiadomo, że
prawdopodobieństwo wylosowania z tej grupy ucznia znającego język angielski jest równe , natomiast prawdopodobieństwo wylosowania ucznia znającego język niemiecki jest równe . Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrany uczeń zna obydwa języki?
Zadanie 2.
Rzucamy dwukrotnie sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma liczb oczek otrzymanych na obu kostkach jest większa od 6 i iloczyn tych liczb jest nieparzysty.
Zadanie 3.
W dwóch urnach znajdują się kule białe i czarne, przy czym w pierwszej jest 6 kul białych i 4 czarne, a w drugiej urnie 5 białych i 5 czarnych. Rzucamy raz symetryczną kostką do gry. Jeżeli wyrzucimy co najmniej 4 oczka to losujemy 2 kule z pierwszej urny, a jeżeli wyrzucimy co najwyżej 3 oczka to losujemy 2 kule z drugiej urny. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul białych.
51
Do kina wybrało się 7 osób, wśród nich Basia i Janek. Wszyscy usiedli w jednym rzędzie, w którym jest dokładnie 7 wolnych miejsc. Oblicz, na ile sposobów wymienione osoby mogą zająć miejsca tak, by Basia i Janek siedzieli obok siebie. Oblicz też prawdopodobieństwo tego, że przy losowym zajmowaniu miejsc Basia i Janek nie siedzą obok siebie.
Zadanie 5.
W urnie jest pewna liczba kul białych i jedna kula czarna. Losujemy jedną kulę z tej urny,
zatrzymujemy ją, a następnie z pozostałych kul losujemy jedną kulę. Ile powinno być kul białych w urnie, aby prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul białych było równe ?
Zadanie 6.
Rzucono dwiema sześciennymi kostkami do gry i określono zdarzenia A - na każdej kostce wypadła nieparzysta liczba oczek,
B - suma wyrzuconych oczek jest nie mniejsza niż 8.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia .
STATYSTYKA - ZASTOSOWANIE
Zadanie 1.
Średnia ważona danych z tabeli
Wartość danej 3 4 5 7
Waga 2 1 4 3
jest równa:
A) 4,5 B) 4,75 C) 5,3 D) 5,1
52 Medianą danych 2,3,3,3,5,7,8,9 jest liczba
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7
Zadanie 3.
Średnia arytmetyczna pięciu liczb: 5,x,3,4,1 jest równa 3. Wtedy A) B) C) D)
Zadanie 4.
Wyniki sprawdzianu z matematyki są przedstawione na diagramie
Średnia ocen ze sprawdzianu jest równa:
A) 3,48 B) 4 C) 3,5 D) 3
Zadanie 5.
Tabela przedstawia pewne dane i ich liczebność
Wartość danej -4 2 4 7 20
Liczebność 7 2 3 6 2
Oblicz średnią arytmetyczną tych danych.
Podaj medianę.
53 Zadanie 6.
W pewnym liceum, wśród uczniów 30 osobowej klasy (każdy uczeń pochodzi z innej rodziny), zebrano dane na temat posiadanego rodzeństwa. Wyniki badań przedstawiono na diagramie.
Wychowawczyni wybrała 3 osoby z tej klasy. Oblicz prawdopodobieństwo, że jedna z nich ma dwoje rodzeństwa, a dwie pozostałe nie mają rodzeństwa. Wynik zaokrąglij do części setnych.
Zadanie 7.
Średnia wieku 15 mieszkańców pewnego bloku wynosi 33 lata. Gdy do wolnego mieszkania wprowadził się nowy mieszkaniec, średnia zwiększyła się o 1 rok. Ile lat ma nowy mieszkaniec?
Zadanie 8.
Uczniowie napisali pracę kontrolną. 30% uczniów otrzymało piątkę, 40% otrzymało czwórkę, 8 uczniów otrzymało trójkę, a pozostali ocenę dopuszczającą. Średnia ocen wynosiła 3,9. Ilu uczniów otrzymało piątkę?
54 Średnią arytmetyczną licz 5,5,7,3,9,9,4,4 jest liczba A) 5,5 B) 8 C) 5,75 D) 4
Zadanie 10.
Dla zestawu liczb: 1, 3, 2, 4, 3
A) mediana jest równa 3 i średnia arytmetyczna jest równa 2,6.
B) mediana jest równa 2 i średnia arytmetyczna jest równa 2,6.
C) mediana jest równa 3 i średnia arytmetyczna jest równa 3.
D) mediana jest równa 2 i średnia arytmetyczna jest równa 3.
Zadanie 11.
Średnia arytmetyczna wszystkich liczb pierwszych należących do przedziału jest równa A) 16,6 B) 18,6 C) 17 D) 15
Zadanie 12.
Średnia arytmetyczna liczb: 3, 1, 1, 0, x, 0 jest równa 2. Oblicz x.
Zadanie 13.
Oblicz średnią arytmetyczną danych przedstawionych na poniższym diagramie częstości
55
Uczniowie napisali pracę kontrolną. 30% uczniów otrzymało piątkę, 40% otrzymało czwórkę, 8 uczniów otrzymało trójkę, a pozostali ocenę dopuszczającą. Średnia ocen wynosiła 3,9. Ilu uczniów otrzymało piątkę?
Zadanie 15.
Średnia wieku 15 mieszkańców pewnego bloku wynosi 33 lata. Gdy do wolnego mieszkania wprowadził się nowy mieszkaniec, średnia zwiększyła się o 1 rok. Ile lat ma nowy mieszkaniec?
Zadanie 16.
Przez pewien okres czasu prowadzono regularne pomiary temperatury w miejscowości Jelenia Góra. Wyniki pomiarów zapisano w tabeli
Temperatura w -1 2 3
Liczba wskazań 5 m 2
Obliczono, że średnia temperatura wynosi . Zatem liczba jest równa A) 10 B) 3 C) 4 D) 13
Zadanie 17.
Mediana danych zawartych w tabeli liczebności jest równa 3.
Wartość 1 2 3 4 5 6
Liczebność 3 4 1 2 6
56 A) 2 B) 3 C) 0 D) 1
Zadanie 18.
Wyniki konkursu matematycznego podano w punktach: 94, 92, 90, 90, 86, 86, 86, 72. Medianą tego zestawu wyników jest
A) 92 B) 94 C) 86 D) 88
Zadanie 19.
Prawdopodobieństwo zdarzenia jest równe , a prawdopodobieństwo sumy zdarzeń i jest równe . Wobec tego prawdopodobieństwo zdarzenia jest równe
A) B) C) D)
Zadanie 20.
Wybieramy jedną liczbę ze zbioru i jedną liczbę ze zbioru . Na ile sposobów można wybrać te liczby tak, aby ich suma była liczbą nieparzystą?
A) 6 B) 3 C) 5 D) 4
