R(A) = A(D(A)) ⊂ Y – podprzestrze´ n b¸ed¸ aca obrazem A . Definicja. A jest ograniczony, gdy

Analiza Funkcjonalna II Notatki do wyk ladu

1 Podstawowe twierdzenia

X, Y – przestrzenie unormowane,

D(A) ⊂ X – podprzestrze´ n b¸ed¸ aca dziedzin¸ a liniowego operatora A o warto´sciach w Y .

R(A) = A(D(A)) ⊂ Y – podprzestrze´ n b¸ed¸ aca obrazem A . Definicja. A jest ograniczony, gdy

∃ C > 0 |Ax| ≤ C |x|, x ∈ D(A).

Twierdzenie 1.1 A jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy jest ci¸ ag ly.

Definicja. k A k= sup x∈D(A),|x|≤1 |Ax|.

Definicja. B(X, Y ) – zbi´ or operator´ ow ograniczonych, takich ˙ze D(A) = X.

Twierdzenie 1.2 Je˙zeli Y jest przestrzeni¸ a Banacha, to B(X, Y ) jest przestrzeni¸ a Banacha.

Wniosek 1.3 X ^∗ = B(X, R), lub X ^∗ = B(X, C), jest przestrzeni¸a Banacha.

Fakt 1.4 k A ◦ B k≤k A k · k B k.

Twierdzenie 1.5 (Banacha -Steinhausa) Je˙zeli X – przestrze´ n Ba- nacha, Y – przestrze´ n unormowana, oraz A _n ∈ B(X, Y ), to ci¸ ag k A _n k jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka˙zdego x ∈ X ci¸ ag |A _n x| jest ograniczony.

Twierdzenie 1.6 Je˙zeli (A _n ) jest ci¸ agiem operator´ ow liniowych ogranic- zonych odwzorowuj¸ acych przestrze´ n Banacha X w przestrze´ n unor- mowan¸ a Y , oraz ci¸ ag (A _n x) jest zbie˙zny dla ka˙zdego x ∈ X , to operator A zdefiniowany r´ owno´ sci¸ a

Ax := lim

n→∞ A n x

jest operatorem liniowym ograniczonym.

Twierdzenie 1.7 (Tw. Banacha o operatorze odwrotnym) Je˙zeli A jest operatorem liniowym ograniczonym odwzorowuj¸ acym wzajem- nie jednoznacznie przestrze´ n Banacha X na przestrze´ n Banacha Y , to operator odwrotny A ⁻¹ te˙z jest ograniczony.

Liniowy izomorfizm pomi¸edzy dwiema przestrzeniami Banacha jest wi¸ec homeomorfizmem, w szczeg´ olno´sci przekszta lca zbiory otwarte na zbiory otwarte. Mo˙zna uog´ olni´ c to twierdzenie, i udowodni´ c:

Twierdzenie 1.8 (Tw. o przekszta lceniu otwartym) Je˙zeli A jest operatorem liniowym ograniczonym odwzorowuj¸ acym przestrze´ n Banacha X na przestrze´ n Banacha Y , to A jest przekszta lceniem otwartym, tzn. przekszta lca zbiory otwarte na zbiory otwarte.

Twierdzenie 1.9 (Tw. o domkni¸ etym wykresie) Je˙zeli A jest takim operatorem liniowym odwzorowuj¸ acym przestrze´ n Banacha X w przestrze´ n Banacha Y , ˙ze wykres A jest domkni¸ etym podzbiorem iloczynu kartezja´ nskiego X ×Y , to A jest operatorem ograniczonym.

Twierdzenie 1.10 Za l´ o˙zmy, ˙ze X, Y s¸ a przestrzeniami Banacha, A ∈ B(X, Y ) jest r´ o˙znowarto´ sciowy. (Wtedy istnieje operator odwrotny A ⁻¹ : R(A) → X.) Wtedy nast¸ epuj¸ ace warunki s¸ a r´ ownowa˙zne:

(1) A ⁻¹ jest ograniczony,

(2) ∃ γ > 0 ∀ x ∈ X : |Ax| ≥ γ |x|,

(3) Zbi´ or warto´ sci R(A) operatora A jest domkni¸ ety w Y .

Twierdzenie 1.11 Za l´ o˙zmy, ˙ze przestrze´ n liniowa X jest przestrzeni¸ a Banacha z dwiema normami |x| ₁ , |x| ₂ , oraz |x _n | ₁ → 0 ⇒ |x _n | ₂ → 0 . Wtedy |x _n | ₂ → 0 ⇒ |x _n | ₁ → 0 , i na odwr´ ot. Wi¸ ec obie normy s¸ a r´ ownowa˙zne.

Twierdzenie 1.12 Za l´ o˙zmy, ˙ze X – przestrze´ n unormowana, Y – przestrze´ n Banacha, A ₀ : D(A ₀ ) → Y ograniczony, D(A ₀ ) ⊂ X.

Je˙zeli D(A ₀ ) = X to istnieje A ∈ B(X, Y ) taki, ˙ze (i) ∀ x ∈ D(A ₀ ) Ax = A ₀ x,

(ii) k A k=k A ₀ k.

Czyli operator A ₀ daje si¸ e rozszerzy´ c na ca l¸ a przestrze´ n X z za-

chowaniem normy.

Twierdzenie 1.13 (Tw. Hahna–Banacha) Niech X b¸ edzie przestrzeni¸ a unormowan¸ a. Dla ka˙zdego funkcjona lu liniowego ograniczonego f ₀

o dziedzinie D(f ₀ ) ⊂ X istnieje funkcjona l liniowy ograniczony na ca lej przestrzeni X i taki, ˙ze:

(i) f (x) = f ₀ (x) dla ka˙zdego x ∈ D(f ₀ ), (ii) kf k = kf 0 k .

Fakt 1.14 Je˙zeli przestrze´ n X jest unormowana, 0 6= x 0 ∈ X, to istnieje taki f ∈ X ^∗ , ˙ze

f (x ₀ ) = |x ₀ | , kf k = 1 .

Wniosek 1.15 Je˙zeli X jest unormowana, x ₀ ∈ X taki, ˙ze

∀ f ∈ X ^∗ : f (x ₀ ) = 0, to x ₀ = 0

Wniosek 1.16 X, Y – niezerowe przestrzenie unormowane. Wtedy B(X, Y ) 6= {0}.

2 Przestrzenie Hilberta

Definicja. Zespolona przestrze´ n liniowa H jest unitarna, je˙zeli ka˙zdej parze x, y ∈ H mo˙zna przyporz¸ adkowa´ c iloczyn skalarny (x, y) ∈ C, o nast¸epuj¸ acych w lasno´sciach

• (y, x) = (x, y)

• (x + y, z) = (x, z) + (y, z)

• (αx, y) = α(x, y) α ∈ C

• (x, x) ≥ 0

• (x, x) = 0 ⇔ x = 0 Wniosek 2.1 (0, y) = 0.

Wniosek 2.2 y ∈ H, to H 3 x 7→ (x, y) ∈ C jest C–liniowe.

Wniosek 2.3 (x, αy) = α(x, y).

Definicja. Dla x ∈ H, definiujemy jego norm¸e |x| = p(x, x). Oczywi´scie

|x| ² = (x, x).

Twierdzenie 2.4 (Nier´ owno´ s´ c Schwarza) |(x, y)| ≤ |x| · |y|.

Cwiczenia. H z norm¸ ´ a |x| jest przestrzeni¸ a unormowan¸ a.

Definicja. Je˙zeli H jest zupe lna, to nazywamy j¸ a przestrzeni¸ a Hilberta.

Cwiczenie. y ∈ H, to ´

x 7→ (x, y), x 7→ (y, x), x 7→ |x|

s¸ a funkcjami ci¸ ag lymi.

Definicja. Zbi´ or E ⊂ H jest wypuk ly, je˙zeli dla ka˙zdej pary x, y ∈ E oraz dla ka˙zdej liczby 0 ≤ t ≤ 1

(1 − t)x + ty ∈ E

Cwiczenie. Je˙zeli E jest wypuk ly oraz x ∈ H, to ´ E + x = {y + x | y ∈ E}

jest zbiorem wypuk lym.

Definicja.

• x jest ortogonalny do y, je˙zeli (x, y) = 0. Oznaczamy x ⊥ y

• x ^⊥ = {y ∈ H | y ⊥ x}

• M ⊂ H. Wtedy

M ^⊥ = {y ∈ H | ∀ x ∈ M x ⊥ y}.

Fakt 2.5 x ^⊥ , M ^⊥ s¸ a podprzestrzeniami liniowymi. Ponadto M ^⊥ = \

x∈M

x ^⊥ . Cwiczenie. Prawo r´ ´ ownoleg loboku:

|x + y| ² + |x − y| ² = 2|x| ² + 2|y| ² .

Twierdzenie 2.6 Ka˙zdy niepusty, domkni¸ ety i wypuk ly podzbi´ or E przestrzeni Hilberta H zawiera dok ladnie jeden element o najmniejszej normie.

Twierdzenie 2.7 Niech M b¸ edzie domkniet¸ a podprzestrzeni¸ a w przestrzeni Hilberta H. Wtedy

∃ ! P : H→M, Q : H→M ^⊥ odwzorowania liniowe, takie ˙ze

∀ x x = P x + Qx.

Ponadto,

(1) je˙zeli x ∈ M , to P x = x, Qx = 0 (2) je˙zeli x ∈ M ^⊥ , to P x = 0, Qx = x (3) |x − P x| = inf{|x − y| | y ∈ M }

(4) |x| ² = |P x| ² + |Qx| ² , wi¸ ec k P k≤ 1 oraz k Q k≤ 1.

Definicja. Niepusty podzbi´ or A unitarnej podprzestrzeni H nazy- wamy uk ladem ortogonalnym, gdy 0 6∈ A oraz

∀ x, y ∈ A x 6= y ⇒ x ⊥ y.

Je˙zeli ponadto |x| = 1 dla ka˙zdego x ∈ A, to m´ owimy o uk ladzie ortonormalnym.

Przyk lad. W L ² (−π, π) uk lad:

• 1, cos t, sin t, cos 2t, sin 2t, cos 3t, . . . jest ortogonalny,

• 1/ √

2π, cos t/ √

π, sin t/ √

π, cos 2t/ √

π, sin 2t/ √

π, cos 3t/ √

π, . . . jest ortonormalny.

Twierdzenie 2.8 Je˙zeli A jest uk ladem ortogonalnym w o´ srodkowej przestrzeni unitarnej, to A jest co najwy˙zej przeliczalny.

Fakt 2.9 Je˙zeli x ₁ , . . . , x _n jest uk ladem ortogonalnym, to x ₁ , . . . , x _n

s¸ a liniowo niezale˙zne.

Twierdzenie 2.10 (Schmidta o ortogonalizacji) Za l´ o˙zmy, ˙ze (x n ) ^∞ ₁ jest takim ci¸ agiem, ˙ze ka˙zdy sko´ nczony uk lad x ₁ , . . . , x _k jest liniowo niezale˙zny.

Wtedy istnieje dok ladnie jedna macierz tr´ ojk¸ atna niesko´ nczona a ₁₁

a ₂₁ a ₂₂ a ₃₁ a ₃₂ a ₃₃

· · ·

taka, ˙ze a nn > 0, oraz y 1 = a 11 x 1

y 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2

y ₃ = a ₃₁ x ₁ + a ₃₂ x ₂ + a ₃₃ x ₃

· · ·

tworz¸ a uk lad ortonormalny.

Fakt 2.11 Je˙zeli (x n ) ^∞ ₁ jest uk ladem ortogonalnym oraz x = P ∞

1 c n x n , to c _n = (x, x _n )/|x| ² .

Definicja. Niech (x _n ) ^∞ ₁ b¸edzie uk ladem ortogonalnym, oraz x ∈ H.

Wtedy liczby c _n = (x, x _n )/|x _n | ² nazywamy wsp´ o lczynnikami Fouriera elementu x wzgl¸ edem uk ladu (x n ) ^∞ ₁ .

Twierdzenie 2.12 (O w lasno´ sci minimum wsp´ o lczynnik´ ow Fouriera) Niech x ∈ H. Za l´ o˙zmy, ˙ze x ₁ , . . . , x _n tworz¸ a uk lad ortogonalny.

Funkcja

f (a ₁ , . . . , a _n ) = |x −

n

X

k=1

a _k x _k | ²

osi¸ aga najmniejsz¸ a warto´ s´ c wtedy i tylko wtedy, gdy a 1 , . . . , a n s¸ a wsp´ o lczyn- nikami Fouriera x wzgl¸ edem x 1 , . . . , x n . Przy tym

a

inf ,...,a

|x −

n

X

1

a _k x _k | ² = |x| ² −

n

X

1

|c _k | ² |x _k | ² .

Wniosek 2.13 Je˙zeli uk lad (x _n ) ^∞ ₁ jest ortogonalny, c _k = (x, x _k )/|x _k | ² , to

(1)

|x −

n

X

1

c _k x _k | ² = |x| ² −

n

X

1

|c _k | ² |x _k | ² ,

(2)

x =

∞

X

1

c _k x _k ⇔ |x| ² =

∞

X

1

|c _k | ² |x _k | ² .

Wniosek 2.14 (Nier´ owno´ s´ c Bessela) Je˙zeli (x k ) ^∞ ₁ jest uk ladem or- togonalnym oraz (c k ) ^∞ ₁ s¸ a wsp´ o lczynnikami Fouriera dla elementu x to

∞

X

k=1

|c _k | ² |x _k | ² ≤ |x| ² .

Wniosek 2.15 Je˙zeli (x _k ) ^∞ ₁ jest uk ladem ortonormalnym, to

∞

X

k=1

|c _k | ² ≤ |x| ² .

Twierdzenie 2.16 (Riesza–Fischera) Je˙zeli (x _k ) ^∞ ₁ jest uk ladem or- togonalnym w przestrzeni Hilberta H oraz

∞

X

1

|c _k | ² |x _k | ² < ∞,

to istnieje x ∈ H, taki ˙ze c _k = (x, x _k )/|x _k | ² , x = P ∞

1 c _k x _k oraz

|x| ² =

∞

X

1

|c _k | ² |x _k | ² .

Definicja. Uk lad (x _k ) ^∞ ₁ element´ ow o´srodkowej przestrzeni Hilbera H nazywamy

• zupe lnym, gdy warunek ∀ k (x, x _k ) = 0 poci¸ aga x = 0,

• zamkni¸etym, gdy

∀ x ∈ H ∃ y _n =

n

X

k=1

a _kn x _k taki, ˙ze |y _n − x|→0, czyli y _n →x.

Twierdzenie 2.17 Niech (x _k ) ^∞ ₁ b¸ edzie uk ladem ortogonalnym w o´ srodkowej przestrzeni Hilberta H. Nast¸ epuj¸ ace warunki s¸ a r´ ownowa˙zne:

(1) je˙zeli c _k = (x, x _k )/|x _k | ² to |x − P n

1 c _k x _k |→0 gdy n→∞, czyli x = P ∞

1 c _k x _k ,

(2) uk lad (x k ) jest zupe lny, (3) uk lad (x _k ) jest zamkni¸ ety,

(4) dla ka˙zdego x ∈ H zachodzi identyczno´s´ c Parsevala

∞

X

1

|c _k | ² |x _k | ² = |x| ² ,

(5) dla ka˙zdej pary x, y ∈ H zachodzi uog´ olniona identyczno´s´ c Par- sevala

∞

X

1

c k d k |x _k | ² = (x, y),

gdzie c _k s¸ a wsp´ o lczynnikami Fouriera dla x, za´ s d _k dla y.

Twierdzenie 2.18 Niech (x _k ) ^∞ ₁ b¸ edzie takim ci¸ agiem w o´ srodkowej przestrzeni Hilberta, ˙ze ka˙zdy sko´ nczony uk lad x ₁ , . . . , x _n jest liniowo niezale˙zny. Niech (y _k ) ^∞ ₁ b¸ edzie uk ladem ortonormalnym uzyskanym w procesie Schmidta.

Uk lad (x _k ) jest zamkni¸ ety wtedy i tylko wtedy, gdy (y _k ) jest zamkni¸ ety.

Twierdzenie 2.19 W ka˙zdej o´ srodkowej przestrzeni Hilberta istnieje przeliczalny uk lad ortonormalny zupe lny.

Cwiczenie. H – o´srodkowa przestrze´ ´ n Hilberta, to H ' ` ² .

Cwiczenie. Je˙zeli (x ´ _k ) jest zupe lnym uk ladem ortonormalnym oraz

x =

N

X

1

c _k x _k +

∞

X

N +1

c _k x _k , to sk ladniki sumy s¸ a wzajemnie prostopad le.

Ponadto | P N

1 c _k x _k | ≤ |x| oraz | P ∞

N +1 c _k x _k | ≤ |x|.

3 Kryteria zwarto´ sci

Definicja. Zbi´ or Z jest warunkowo zwarty w przestrzeni metrycznej X je˙zeli

∀ (x _n ) ^∞ ₁ ⊂ Z ∃ x ∈ X ∃ φ : N % N x = lim x ^φ(n) .

• Z jest warunkowo zwarty w X wtedy i tylko wtedy, gdy ¯ Z jest zwarty.

• Zbi´ or warunkowo zwarty w X jest ograniczony.

Twierdzenie 3.1 (Bolzano–Weierstrassa) Je˙zeli X jest sko´ nczenie wymiarow¸ a przestrzeni¸ a unormowan¸ a, to Z jest warunkowo zwarty w X ⇔ Z jest ograniczony.

Lemat 3.2 (Lemat Riesza) Niech X ₀ b¸ edzie domkniet¸ a w la´ sciw¸ a pod- przestrzeni¸ a liniow¸ a unormowanej przestrzeni X

Wtedy

∀  > 0 ∃ y ∈ X |y| = 1 oraz ∀ x ∈ X ₀ |y − x| ≥ 1 − .

Fakt 3.3 W ka˙zdej niesko´ nczenie wymiarowej przestrzeni unormowanej X istniej¸ a zbiory ograniczone, kt´ ore nie s¸ a warunkowo zwarte w X.

Przyk ladem jest dowolna kula.

Twierdzenie 3.4 (Hausdorffa) Podzbi´ or Z przestrzeni metrycznej zupe lnej X jest warunkowo zwarty w X wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka˙zdego  > 0 istnieje sko´ nczona -sie´ c dla zbioru Z. (Elementy sieci s¸ a podzbiorem X.)

Twierdzenie 3.5 (Ascoliego) Zbi´ or funkcji Z ⊂ C(Ω) (Ω jest zbiorem zwartym) jest warunkowo zwarty w C(Ω) wtedy i tylko wtedy, gdy funkcje ze zbioru Z s¸ a wsp´ olnie ograniczone i jednakowo ci¸ ag le, tzn.

• ∃ M ∀ f ∈ Z sup _x∈Ω |f (x)| ≤ M

• ∀  > 0 ∃ δ > 0 takie, ˙ze ∀ f ∈ Z oraz ∀ x ₁ , x ₂ ∈ Ω d(x ₁ , x ₂ ) < δ ⇒ |f (x ₁ ) − f (x ₂ )| < 

Twierdzenie 3.6 (Kryterium zwarto´ sci w przestrzeniach Hilberta) Niech (e _k ) ^∞ ₁ b¸ edzie uk ladem ortonormalnym zupe lnym w przestrzeni

Hilberta H.

Zbi´ or Z ⊂ H jest warunkowo zwarty w H ⇔ Z jest ograniczony i szereg Fouriera P ∞

1 (x, e _k )e _k jest na zbiorze Z jednostajnie zbie˙zny do x, tzn.

∀  > 0 ∃ N ∀ n ≥ N ∀x ∈ Z

|x −

n

X

1

(x, e k )e k | = |

∞

X

n+1

(x, e k )e k | ≤ .

4 Operatory sprz¸ e ˙zone i samosprz¸ e ˙zone

Niech H b¸edzie zespolon¸ a przestrzeni¸ a Hilberta, oraz niech A ∈ B(H, H) = B(H).

Definicja. Dla y ∈ H istnieje dok ladnie jeden A ^∗ y ∈ H taki, ˙ze

∀ x ∈ H (Ax, y) = (x, A ^∗ y).

Definicja. A ^∗ – operator sprz¸ e˙zony z A.

Fakt 4.1 A ^∗ ∈ B(H), oraz k A ^∗ k=k A k . Cwiczenie. ´

• (A ₁ + A ₂ ) ^∗ = A ^∗ ₁ + A ^∗ ₂

• (αA) ^∗ = ¯ α A ^∗

• (A ◦ B) ^∗ = B ^∗ ◦ A ^∗

Definicja. A ∈ B(H) jest samosprz¸ e˙zony, gdy A ^∗ = A, czyli

∀ x, y ∈ H (Ax, y) = (x, Ay).

W takim przypadku, dla dowolnego x ∈ H, (Ax, x) ∈ R.

Twierdzenie 4.2 Je˙zeli A jest samosprz¸ e˙zonym operatorem w przestrzeni Hilberta, to

k A k= sup

|x|=1

|(Ax, x)|.

Cwiczenie. Je˙zeli A ∈ B(H) jest samosprz¸e˙zony, to ´ k A ² k=k A k ² .

5 Operatory pe lnoci¸ ag le

Definicja. Niech X, Y b¸ed¸ a przestrzeniami unormowanymi. A :

X−→Y jest operatorem zwartym lub pe lnoci¸ ag lym, je˙zeli dla ka˙zdego

zbioru ograniczonego Z ⊂ X zbi´ or A(Z) jest warunkowo zwarty w Y .

tzn. dla ka˙zdego ci¸ agu ograniczonego (x _n ) ^∞ ₁ w X z ci¸ agu (Ax _n ) ^∞ ₁

mo˙zna wybra´ c podci¸ ag zbie˙zny w Y .

Fakt 5.1 Operatory pe lnoci¸ ag le s¸ a ograniczone.

Przyk lad. Je˙zeli dim X = ∞ to operator identyczno´sciowy I : X−→X jest ograniczony, ale nie jest pe lnoci¸ ag ly.

Definicja. Operator A : X−→Y jest sko´ nczenie wymiarowy gdy dim R(A) < ∞.

Cwiczenie. Operator ograniczony, sko´ ´ nczenie wymiarowy jest pe lnociag ly.

Cwiczenie. Je˙zeli A ´ ₁ , A ₂ s¸ a pe lnoci¸ ag le, to A ₁ + A ₂ oraz αA ₁ te˙z s¸ a pe lnoci¸ ag le.

Twierdzenie 5.2 Je˙zeli X jest unormowana, Y jest przestrzeni¸ a Ba- nacha, A _n : X−→Y s¸ a operatorami pelnoci¸ ag lymi oraz A _n →A, to A te˙z jest pe lnoci¸ ag ly.

Wniosek 5.3 Je˙zeli A _n →A, A _n s¸ a ograniczone oraz sko´ nczenie wy- miarowe, to A jest pe lnoci¸ ag ly.

Twierdzenie 5.4 Za l´ o˙zmy, ˙ze X jest unormowana, H jest o´ srodkow¸ a przestrzeni¸ a Hilberta niesko´ nczonego wymiaru. Wtedy ka˙zdy operator pe lnoci¸ ag ly A : X−→H jest granic¸ a ci¸ agu operator´ ow sko´ nczenie wy- miarowych (A _n ) postaci

A _n x =

n

X

k=1

(Ax, e _k )e _k , gdzie (e k ) ^∞ ₁ jest zupe ln¸ a baz¸ a ortonormaln¸ a.

Twierdzenie 5.5 Je˙zeli A ∈ B(H) (H - przestrze´ n Hilberta) jest pe lnoci¸ ag ly to A ^∗ jest te˙z pe lnoci¸ ag ly.

6 Spektrum

Niech X - przestrze´ n Banacha, A ∈ B(X).

Definicja. λ ∈ C jest warto´sci¸a regularn¸a operatora A, je˙zeli

∀y ∈ X ∃! x ∈ X Ax − λx = y ,

czyli operator A λ = A − λI : X−→X jest wzajemnie jednoznaczny.

Dzi¸eki Twierdzeniu Banacha, A ⁻¹ _λ jest wtedy ograniczony.

Definicja. ρ(A) = {λ | λ − warto´s´ c regularna A} nazywamy zbiorem rezolwenty operatora A.

Definicja. σ(A) = C \ ρ(A) nazywamy spektrum lub widmem opera- tora A.

Definicja. λ jest warto´ sci¸ a w lasn¸ a A je˙zeli istnieje x 6= 0 taki ˙ze Ax − λx = 0. Wektor x nazywamy wektorem w lasnym odpowiadaj¸ acym λ.

Domkni¸ety zbi´ or X _λ (A) = {x | Ax − λx = 0} nazywamy pod- przestrzeni¸ a w lasn¸ a odpowiadaj¸ ac¸ a λ.

Fakt 6.1 Warto´ sci w lasne nale˙z¸ a do spektrum.

Lemat 6.2 Je˙zeli k A k< 1 to

∀ y ∈ X ∃! x ∈ X x − Ax = y ,

czyli operator I − A : X → X jest wzajemnie jednoznaczny.

Punkt x jest sum¸ a szeregu Neumanna x = y +

∞

X

n=1

A ⁿ y .

Lemat 6.3 Je˙zeli k A k< 1 to I − A : X−→X jest wzajemnie jedno- znaczny, (I − A) ⁻¹ jest ograniczony oraz

k (I − A) ⁻¹ k≤ 1

1− k A k .

Lemat 6.4 U, U n ∈ B(X), U _n →U . Za l´ o˙zmy, ˙ze U jest wzajemnie jednoznaczny:

∀ y ∃! x U x = y . Wtedy

(1) ∃ N ∀ n ≥ N ∀ y ∃! x U _n x = y,

czyli te operatory U _n s¸ a wzajemnie jednoznaczne,

(2) je˙zeli y n →y ₀ to ci¸ ag (x n ) rozwi¸ aza´ n U n x n = y n (n ≥ N ) jest zbie˙zny do rozwi¸ azania x ₀ : U x ₀ = y ₀ .

Twierdzenie 6.5 Za l´ o˙zmy, ˙ze X jest przestrzeni¸ a Banacha, A ∈ B(X). Wtedy σ(A) jest zbiorem domkni¸ etym zawartym w kole

{λ | |λ| ≤k A k}

na p laszczy´ znie zespolonej (lub w przedziale [− k A k, k A k] je˙zeli X jest przestrzeni¸ a rzeczywist¸ a.)

Twierdzenie 6.6 Niech X b¸ edzie przestrzeni¸ a Banacha, A ∈ B(X) pe lnoci¸ ag ly.

(1) Je˙zeli λ ∈ σ(A), λ 6= 0 to λ jest warto´ sci¸ a w lasn¸ a operatora A.

(2) Je˙zeli λ 6= 0 jest warto´ sci¸ a w lasn¸ a to dim X _λ (A) < ∞.

(3) Zbi´ or warto´ sci w lasnych A jest co najwy˙zej przeliczalny. Jedynie λ = 0 mo˙ze by´ c punktem skupienia warto´ sci w lasnych.

(4) Je˙zeli λ 6= 0 jest warto´ sci¸ a w lasn¸ a A to istnieje y, dla kt´ orego r´ ownanie

Ax − λx = y nie ma rozwi¸ aza´ n w X.

Lemat 6.7 Niech H b¸ edzie przestrzeni¸ a Hilberta. Za l´ o˙zmy, ˙ze λ 6=

0 jest warto´ sci¸ a w lasn¸ a pe lnoci¸ ag lego operatora A ∈ B(H). Niech (e ₁ , . . . , e _m ) b¸ edzie baz¸ a ortonormaln¸ a przestrzeni w lasnej X _λ (A). Je˙zeli

¯ λ jest warto´ sci¸ a w lasn¸ a A ^∗ oraz (f ₁ , . . . , f _n ) jest a baz¸ a ortonormaln¸ a przestrzeni X ¯ λ (A ^∗ ), m ≤ n oraz

Rx = Ax −

m

X

k=1

(x, e _k )f _k to λ jest warto´ sci¸ a regularn¸ a operatora R.

Twierdzenie 6.8 Niech H b¸ edzie przestrzeni¸ a Hilberta. λ 6= 0 jest

warto´ sci¸ a w lasn¸ a operatora pe lnoci¸ ag lego A wtedy i tylko wtedy, gdy ¯ λ

jest warto´ sci¸ a w lasn¸ a A ^∗ . Wymiary podprzestrzeni w lasnych s¸ a r´ owne.

Twierdzenie 6.9 Niech H b¸ edzie przestrzeni¸ a Hilberta. Je˙zeli λ 6= 0 jest warto´ sci¸ a w lasn¸ a operatora pe lnoci¸ ag lego A, to r´ ownanie

Ax − λx = y

ma rozwi¸ azanie wtedy i tylko wtedy, gdy y jest ortogonalny do pod- przestrzeni X ¯ λ (A ^∗ ).

Wniosek 6.10 Spektrum, (a wi¸ ec r´ ownie˙z zbi´ or warto´ sci w lasnych)

operatora sko´ nczenie wymiarowego jest co najwy˙zej sko´ nczony.

7 Widmo operatora samosprz¸ e ˙zonego

Lemat 7.1 Niech H b¸ edzie przestrzeni¸ a Hilberta, A ∈ B(H) opera- torem samosprz¸ e˙zonym. Liczba λ jest warto´ sci¸ a regularn¸ a A wtedy i tylko wtedy, gdy

∃ γ > 0 ∀ x |Ax − λx| ≥ γ|x|.

Twierdzenie 7.2 Widmo operatora samosprz¸ e˙zonego A ∈ B(H) za- wiera si¸ e w przedziale [c, C] na osi rzeczywistej, gdzie

c = inf

|x|=1 (Ax, x), C = sup

|x|=1

(Ax, x).

Liczby c, C nale˙z¸ a do widma.

Twierdzenie 7.3 Widmo operatora samosprz¸ e˙zonego A ∈ B(H) jest zbiorem niepustym, i nale˙zy do niego taka liczba λ, ˙ze |λ| =k A k.

Twierdzenie 7.4 Podprzestrzenie w lasne odpowiadaj¸ ace r´ o˙znym war- to´ sciom w lasnym operatora samosprz¸ e˙zonego A ∈ B(H) s¸ a ortogo- nalne.

Wniosek 7.5 Ka˙zdy niezerowy operator samosprz¸ e˙zony pe lnoci¸ ag ly A ∈ B(H) ma przynajmniej jedn¸ a niezerow¸ a warto´ s´ c w lasn¸ a (tak¸ a,

˙ze |λ| =k A k).

Wszystkie r´ o˙zne od zera warto´sci w lasne operatora A mo˙zna ustawi´ c w r´ o˙znowarto´sciowy ci¸ ag (ν _n ) (sko´ nczony, lub niesko´ nczony zbie˙zny do zera), taki ˙ze |ν ₁ | ≥ . . . ≥ |ν _n | ≥ . . .. W kolejnych sko´ nczenie wymiarowych podprzestrzeniach w lasnych wybierzmy bazy ortonor- malne. W ten spos´ ob okre´slimy ci¸ ag wektor´ ow w lasnych (e k ) b¸ed¸ acy uk ladem ortonormalnym – nazywany pe lnym uk ladem ortonormalnym wektor´ ow w lasnych operatora A. Ka˙zdemu elementowi e _k odpowiada warto´s´ c w lasna λ _k . (Ci¸ ag (λ _k ) mo˙ze nie by´ c r´ o˙znowarto´sciowy!)

Twierdzenie 7.6 Niech (e k ) b¸ edzie pe lnym uk ladem ortonormalnym element´ ow w lasnych operatora samosprz¸ e˙zonego pe lnoci¸ ag lego A ∈ B(H).

Wtedy

∀ x ∃! x ₀ Ax ₀ = 0 oraz x = x ₀ + X

k

(x, e _k )e _k .

Twierdzenie 7.7 (Twierdzenie Hilberta) Je˙zeli H jest o´ srodkow¸ a przestrzeni¸ a Hilberta, a (e _k ) – pe lnym ukladem ortonormalnym ele- ment´ ow w lasnych operatora samosprz¸ e˙zonego pe lnoci¸ ag lego A ∈ B(H), to w H istnieje uk lad ortonormalny zupe lny z lo˙zony z uk ladu (e _k ) i pewnego uk ladu (e _k,0 ) element´ ow w lasnych odpowiadaj¸ acych warto´ sci w lasnej λ = 0 (je˙zeli 0 jest warto´ sci¸ a w lasn¸ a).

Twierdzenie 7.8 Je˙zeli H jest przestrzeni¸ a Hilberta, (e _k ) – pe lnym uk ladem ortonormalnym element´ ow w lasnych operatora samosprz¸ e˙zonego pe lnoci¸ ag lego A, a (λ _k ) – ci¸ agiem warto´ sci w lasnych, to dla ka˙zdego x ∈ H

Ax = X

k

λ _k (x, e _k )e _k

Wniosek 7.9 Samosprz¸ e˙zony pe lnoci¸ ag ly operator ma sko´ nczon¸ a ilo´ s´ c warto´ sci w lasnych wtedy i tylko wtedy, gdy jest sko´ nczenie wymiarowy.

Twierdzenie 7.10 Niech H – przestrze´ n Hilberta, (e _k ) – pe lny uk lad ortonormalny wektor´ ow w lasnych samosprz¸ e˙zonego pe lnoci¸ ag lego ope- ratora A. Nast¸ epuj¸ ace warunki s¸ a r´ ownowa˙zne:

(1) Uk lad (e k ) jest zupe lny.

(2) Operator A jest odwracalny (czyli r´ o˙znowarto´ sciowy).

(3) Zbi´ or warto´ sci operatora A jest g¸ esty w H.

Fakt 7.11 Je˙zeli λ 6= 0 i λ 6= λ _k dla ka˙zdego k, to r´ ownanie Ax−λx = y ma dla ka˙zdego y dok ladnie jedno rozwi¸ azanie

x = 1 λ

X

k

λ _k

λ _k − λ (y, e _k )e _k − y

! .

Fakt 7.12 Je˙zeli λ = λ _r = . . . = λ _s , to Ax − λx = y ma rozwi¸ azanie wtedy i tylko wtedy, gdy (y, e _k ) = 0 dla r ≤ k ≤ s. Rozwi¸ azanie ma posta´ c

x = 1 λ

∗

X

k

λ _k

λ k − λ (y, e _k )e _k − y

! +

s

X

k=r

α _k e _k gdzie w sumie P ∗

k pomijamy wszystkie indeksy k takie, ˙ze r ≤ k ≤ s,

oraz α _k s¸ a dowolnymi liczbami.

Lemat 7.13 Dla ka˙zdego x ∈ H zachodzi wz´ or:

(Ax, x) = X

λ _k |(x, e _k )| ² .

Definicja. Samosprz¸e˙zony operator A ∈ B(H) jest dodatni, je˙zeli A 6= 0 oraz

(Ax, x) ≥ 0 dla ka˙zdego x ∈ H.

Wniosek 7.14 Pe lnoci¸ ag ly samosprz¸ e˙zony operator A ∈ B(H) jest dodatni wtedy i tylko wtedy, gdy A 6= 0 i wszystkie r´ o˙zne od zera warto´ sci w lasne A s¸ a dodatnie.

Wniosek 7.15 Je˙zeli A ∈ B(H) jest samosprz¸ e˙zony, pe lnoci¸ ag ly, do- datni to

k A k= sup

|x|=1

(Ax, x) = (Ae, e) = λ,

gdzie λ jest najwi¸ eksz¸ a warto´ sci¸ a w lasn¸ a operatora A, za´ s e – dowol-

nym odpowiadaj¸ acym jej wektorem w lasnym takim, ˙ze |e| = 1.

8 Twierdzenia o punktach sta lych

Fakt 8.1 Za l´ o˙zmy, ˙ze K jest zbiorem wypuk lym, x ₁ , . . . , x _j ∈ K, wszystkie α _i ≥ 0, oraz α ₁ + . . . + α _j = 1.

Wtedy α ₁ x ₁ + . . . + α _j x _j ∈ K.

Twierdzenie 8.2 (Twierdzenie Brouwera) Je˙zeli K ⊂ R ⁿ jest zwarty, wypuk ly, niepusty; odwzorowanie f : K → K jest ciag le, to f posiada punkt sta ly (w zbiorze K).

Przyk lad. Niech B b¸edzie domkni¸et¸ a kul¸ a jednostkow¸ a w przestrzeni

` ² . Zdefiniujmy f : B → B wzorem:

f (x) = ( p

1 − |x| ² , x ₁ , x ₂ , . . .).

f jest ci¸ ag le, ale nie ma punkt´ ow sta lych.

Definicja. Niech F b¸edzie domknietym podzbiorem przestrzeni Ba- nacha X. Ci¸ ag le odwzorowanie f : F → X jest zwarte, je˙zeli dla ka˙zdego ograniczonego podzbioru A ⊂ F , zbi´ or f (A) jest warunkowo zwarty w X.

Twierdzenie 8.3 Niech K b¸ edzie domknietym, ograniczonym pod- zbiorem przestrzeni Banacha X. Je˙zeli przekszta lcenie f : K → X jest zwarte, to istnieje ci¸ ag odwzorowa´ n ci¸ ag lych f n : K → X takich,

˙ze

(1) f _n (K) s¸ a zawarte w podprzestrzeniach liniowych sko´ nczonego wy- miaru,

(2) f _n → f jednostajnie na zbiorze K.

Twierdzenie 8.4 (Twierdzenie Schaudera o punkcie sta lym) Niech K b¸ edzie domknietym, wypuk lym, ograniczonym, niepustym podzbiorem przestrzeni Banacha X. Za l´ o˙zmy, ˙ze f : K → K jest przekszta lceniem zwartym.

Wtedy f posiada punkt sta ly (w zbiorze K).

9 Algebry Banacha

Definicja. Przestrze´ n zespolon¸ a Banacha A z l¸ acznym i rozdzielnym mno˙zeniem, tj.

x(yz) = (xy)z x(y + z) = xy + xz (y + z)x = yx + zx

(αx)y = x(αy) = α(xy) (α ∈ C) takim, ˙ze

|xy| ≤ |x| · |y|

nazywamy algebr¸ a Banacha.

Przyk lady.

• A = C(Ω) (Ω – zwarty) z norma ”supremum” i zwyk lym mno˙zeniem jest przemienn¸ a algebr¸ a Banacha z jedno´ sci¸ a.

• A = C ₀ (R ⁿ ) = {f ∈ C(R ⁿ ) | lim _|x|→∞ f (x) = 0} z norm¸ a ”supre- mum” jest algebr¸ a Banacha bez jedno´sci.

• Je˙zeli X jest przestrzeni¸a Banacha, to A = B(X, X) ze zwyk l¸a norm¸ a dla operator´ ow jest nieprzemienn¸ a algebr¸ a Banacha z jedno´sci¸ a I.

• A = L ¹ (R) z mno˙zeniem danym przez splot f ∗ g(x) =

Z ∞

−∞

f (x − t)g(t) dt jest przemienn¸ a algebr¸ a Banacha bez jedno´sci.

Definicja. Homomorfizmem zespolonym nazywamy tak¸ a funkcj¸e φ : A → C, ˙ze

φ(αx + βy) = αφ(x) + βφ(y) φ(xy) = φ(x)φ(y)

Twierdzenie 9.1 |φ| ≤ 1.

Fakt 9.2 Je˙zeli e jest jedno´ sci¸ a w A, φ jest niezerowym homomor- fizmem zespolonym, to φ(e) = 1 oraz φ(x) 6= 0 dla ka˙zdego odwracal- nego elementu x ∈ A.

Fakt 9.3 Je˙zeli x ∈ A oraz |x| < 1, to (1) e − x jest odwracalny,

(2) |(e − x) ⁻¹ − e − x| ≤ |x| ² /(1 − |x|),

(3) |φ(x)| < 1 dla ka˙zdego homomorfizmu zespolonego φ.

Lemat 9.4 Niech f b¸ edzie ca lkowit¸ a funkcj¸ a holomorficzn¸ a, tak¸ a ˙ze f (0) = 1, f ⁰ (0) = 0, oraz

0 < |f (λ)| ≤ e ^|λ| (λ ∈ C) W´ owczas f (λ) ≡ 1.

Twierdzenie 9.5 (Gleason–Kahane– ˙ Zelazko) Niech φ : A → C b¸ edzie funkcjona lem liniowym, takim ˙ze φ(e) = 1, oraz φ(x) 6= 0 dla ka˙zdego elementu odwracalnego x.

W´ owczas φ(xy) = φ(x)φ(y), czyli φ jest zespolonym homomor- fizmem.

Twierdzenie 9.6 Dla ka˙zdego niezerowego homomorfizmu zespolonego φ na L ¹ (R) istnieje dok ladnie jedna liczba t ∈ R taka, ˙ze

φ(f ) = ˆ f (t) = Z ∞

−∞

f (x)e ^−ixt dx.

Twierdzenie 9.7 (Gelfanda–Mazura) Je˙zeli A jest zespolon¸ a al-

gebr¸ a Banacha z jedno´ sci¸ a, w kt´ orej ka˙zdy r´ o˙zny od zera element jest

odwracalny, to A jest izometrycznie izomorficzna z C.

10 Dystrybucje

Definicja.

• Niech α ₁ , . . . , α _n b¸ed¸ a nieujemnymi liczbami ca lkowitymi. Wtedy α = (α ₁ , . . . , α _n ) nazywamy wielowska´ znikiem o normie |α| = α 1 + . . . + α n .

• Je˙zeli φ : R ⁿ →R jest ci¸ag la, to zbi´or

supp φ = {x ∈ R ⁿ | φ(x) 6= 0}

nazywamy no´ snikiem funkcji φ.

• D = {φ ∈ C ^∞ (R ⁿ ) | supp φ jest zwarty} nazywamy przestrzeni¸ a funkcji pr´ obnych.

• Je˙zeli K ⊂ R ⁿ jest zwarty, to

D _K = {φ ∈ D | supp φ ⊂ K}.

• Niech (φ _j ) ^∞ ₁ ⊂ D. M´ owimy, ˙ze φ _j →0, je˙zeli istnieje zbi´ or zwarty K ⊂ R ⁿ , taki ˙ze

∀ j supp φ _j ⊂ K, oraz dla dowolnego wielowska´ znika α

D ^α φ _j → 0 jednostajnie na zbiorze K.

• Ci¸ag φ _j ∈ D jest zbie˙zny do φ ∈ D, je˙zeli φ j − φ → 0 .

• Dystrybucj¸ a nazywamy takie liniowe odwzorowanie T : D→C, ˙ze φ _j → 0 ⇒ T φ _j → 0.

Oznaczamy T φ =< T, φ >.

• D ⁰ – zbi´ or dystrybucji. (D ⁰ jest przestrzeni¸ a liniow¸ a.) Przyk lady.

• f ∈ L ¹ _loc (R ⁿ ) = {f | ∀ zbioru zwartego K, f ∈ L ¹ (K)}

< f, φ >=

Z

R

f (x)φ(x)dx.

• δ – miara Diraca (delta Diraca)

< δ, φ >= φ(0).

• Y – funkcja Heaviside’a

< Y, φ >=

Z ∞ 0

φ(x)dx (n = 1).

Lemat 10.1 Niech T ∈ D ⁰ . Wtedy dla ka˙zdego zbioru zwartego K istnieje p = p(K) takie, ˙ze je˙zeli D ^α φ _j (x)→0 (φ _j ∈ D _K ) jednostajnie na K dla ka˙zdego wielowska´ znika |α| ≤ p , to

< T, φ j > → 0.

W przestrzeni D _K ⊂ D mo˙zna wprowadzi´c pseudonormy oraz poj¸ecie zbie˙zno´sci ciagu:

|f | _m = X

|α|≤m

sup

K

|D ^α f (x)| (m = 0, 1, 2, . . .),

f j → f ⇔ ∀ _m |f _j − f | _m → 0.

Fakt 10.2 Liniowe odwzorowanie T : D→C jest dystrybucj¸a ⇔ dla ka˙zdego zbioru zwartego K, T : D K →C jest ci¸ag le.

Definicja. Pochodn¸ a cz¸ astkow¸ a dystrybucji T ∈ D ⁰ definiujemy wzorem:

< ∂T

∂x _i , φ >= − < T, ∂φ

∂x _i > . Fakt 10.3

∂T

∂x _i ∈ D ⁰ .

Wniosek 10.4 < D ^α T, φ >= (−1) ^|α| < T, D ^α φ >.

Definicja. W D ⁰ mo˙zna wprowadzi´ c s lab¸ a topologi¸ e i s lab¸ a zbie˙zno´ s´ c:

T _j →T , je˙zeli

∀ φ ∈ D < T _j , φ > → < T, φ > .

Fakt 10.5 Je˙zeli f j →f w L ¹ _loc , tzn. dla ka˙zdego zbioru zwartego K Z

K

|f _j (x) − f (x)|dx → 0, to f _j →f w D ⁰ .

Przyk lad. sin jx → 0 w D ⁰ , bo Z ∞

−∞

φ(x) sin jx dx → 0.

Definicja. Iloczynem dystrybucji T ∈ D ⁰ oraz funkcji ω ∈ C ^∞ (R ⁿ ) nazywamy ωT ∈ D ⁰ okre´slon¸ a wzorem

(ωT )φ = T (ωφ).

Twierdzenie 10.6 (H¨ ormander– Lojasiewicz) Niech ω b¸ edzie funkcj¸ a

analityczn¸ a. Dla dowolnej dystrybucji T ∈ D ⁰ istnieje S ∈ D ⁰ taka, ˙ze

ωS = T .

Dla funkcji jednej zmiennej f ∈ L ¹ _loc (R), symbol df /dx b¸edzie oznacza l jej pochodn¸ a w sensie teorii dystrybucji, za´s f ⁰ (x) zwyk l¸ a pochodn¸ a w punkcie x, o ile istnieje.

Lemat 10.7 Niech f ∈ L ¹ _loc (R). R´owno´s´c df /dx = 0 w sensie teorii dystrybucji jest spe lniona wtedy i tylko wtedy, gdy f = c prawie wsz¸ edzie dla pewnej sta lej c.

Ponadto f = 0 jako dystrybucja wtedy i tylko wtedy, gdy f = 0 prawie wsz¸ edzie.

Definicja. Funkcja jednej zmiennej f jest bezwzgl¸ ednie ci¸ ag la, je˙zeli

∀ a < b ∀  > 0 ∃ δ > 0

takie, ˙ze je˙zeli [a ₁ , b ₁ ], . . . , [a _k , b _k ] s¸ a roz l¸ acznymi przedzia lami w [a, b]

i takimi, ˙ze

k

X

1

(b _i − a _i ) ≤ δ to

k

X

1

|f (b _i ) − f (a _i )| ≤ .

Twierdzenie 10.8 Je˙zeli f ∈ L ¹ _loc (R), to funkcja g(x) = R x

x

f (t)dt jest bezwzgl¸ ednie ci¸ ag la, r´ o˙zniczkowalna prawie wsz¸ edzie, i jej pochodna g ⁰ (x) jest r´ owna f(x) prawie wsz¸ edzie.

Twierdzenie 10.9 Funkcja bezwzgl¸ ednie ci¸ ag la f posiada prawie wsz¸ edzie pochodn¸ a f ⁰ kt´ ora nale˙zy do L ¹ _loc (R).

Dla dowolnych x ₀ , x ∈ R,

f (x) = f (x ₀ ) + Z x

x

f ⁰ (t)dt.

Je˙zeli dwie funkcje s¸ a bezwzgl¸ ednie ci¸ ag le, to spe lniaj¸ a Twierdzenie o Ca lkowaniu przez Cz¸ e´ sci.

Twierdzenie 10.10 (Nikodym) Niech f ∈ L ¹ _loc (R).

(1) Je˙zeli f jest bezwzgl¸ ednie ci¸ ag la, to df /dx = f ⁰ w sensie teorii dystrybucji.

(2) Je˙zeli df /dx ∈ L ¹ _loc (R) w sensie teorii dystrybucji, to po ewen-

tualnej zmianie warto´ sci f na zbiorze miary zero, f jest funkcj¸ a

bezwzgl¸ ednie ci¸ ag l¸ a, oraz df /dx = f ⁰ prawie wsz¸ edzie.