Je»eli punkt A = (x A , y A , z A ) jest pocz¡tkiem wektora, a B = (x B , y B , z B ) jego ko«cem, to −→

Wektory w przestrzeni

Informacje pomocnicze

Denicja 1. Wektorem nazywamy uporz¡dkowan¡ par¦ punktów. Pierwszy z tych punktów nazy- wamy pocz¡tkiem wektora albo punktem zaczepienia wektora, a drugi - ko«cem wektora. Wektor o pocz¡tku w punkcie A i ko«cu w punkcie B oznaczamy −→

AB i przedstawiamy na rysunku w postaci odcinka AB zako«czonego w punkcie B grotem strzaªki. Wektorem zerowym nazywamy wektor, którego pocz¡tek i koniec pokrywaj¡ si¦. Wektor zerowy oznaczamy zerem: ~0.

Je»eli punkt A = (x A , y _A , z _A ) jest pocz¡tkiem wektora, a B = (x B , y _B , z _B ) jego ko«cem, to −→

AB = [x B −x A , y B −y A , z B −z A ], natomiast ró»nice wspóªrz¦dnych punktów A i B : x B −x A , y B −y A , z B −z A

- wspóªrz¦dnymi tego wektora.

Wielko±ci opisuj¡ce wektor:

• kierunek: kierunkiem wektora niezerowego nazywamy kierunek prostej, na której le»y wektor;

• zwrot: zwrotem wektora niezerowego −→

AB nazywamy ten zwrot prostej AB, w którym punkt A poprzedza punkt B.

• dªugo±¢;

• punkt przyªo»enia (gdy go nie ma to mówimy o wektorach swobodnych).

Denicja 2. Dªugo±ci¡ wektora −→

AB nazywamy dªugo±¢ odcinka AB i oznaczamy przez | −→

AB|. Zatem dªugo±¢ wektora ~u = [x, y, z] lub te» −→

AB = [x _B − x _A , y _B − y _A , z _B − z _A ] jest okre±lona wzorem:

|~ u| = p

x ² + y ² + z ² lub

| −→

AB| = p

(x _B − x _A ) ² + (y _B − y _A ) ² + (z _B − z _A ) ² .

Wektory ~u = [x u , y _u , z _u ] i ~v = [x v , y _v , z _v ] s¡ równolegªe (co zapisujemy ~u k ~v) wtedy i tylko wtedy, gdy maj¡ proporcjonalne wspóªrz¦dne czyli wtedy i tylko wtedy, gdy

x u

x _v = y u

y _v = z u

z _v ⇐⇒ ∃ _λ∈R ~ u = λ~ v.

Warunek wspóªpªaszczyznowo±ci wektorów:

Wektory ~u, ~v, ~w s¡ wspóªpªaszczyznowe wtedy i tylko wtedy, gdy 

x _u y _u z _u x _v y _v z _v x _w y _w z _w      

= 0 ⇔ ∃ _λ

_λ

_∈R w = λ ~ ₁ ~ v + λ ₂ ~ u.

Denicja 3. Wersorem niezerowego wektora ~u = [x u , y _u , z _u ] nazywamy wektor jednostkowy (dªugo±ci jeden), którego kierunek i zwrot jest zgodny z kierunkiem i zwrotem wektora ~u. Wersor oznaczamy przez ˆu i wyznaczamy ze wzoru

ˆ

u =  x _u

|~ u| , y _u

|~ u| , z _u

|~ u|

 . Ponadto maj¡ miejsce wzory:

~

u = [|~ u| cos α, |~ u| cos β, |~ u| cos γ], oraz u = [cos α, cos β, cos γ]. ˆ

gdzie α, β, γ to k¡ty jakie tworzy wektor ~u z kolejnymi osiami (Ox, Oy, Oz) ukªadu wspóªrz¦dnych.

Denicja 4. Niech ~u = [u x , u _y , u _z ], ~ v = [v _x , v _y , v _z ] b¦d¡ dowolnymi wektorami w R ³ . Iloczyn skalarny (oznaczamy symbolem ◦) wektorów ~u i ~v jest liczb¡ rzeczywist¡ i okre±lamy wzorem:

~

u ◦ ~ v = |~ u| · |~ v| · cos ϕ, lub ~ u ◦ ~ v = u _x · v _x + u _y · v _y + u _z · v _z ; gdzie ϕ jest k¡tem mi¦dzy wektorami ~u i ~v.

Zastosowania iloczynu skalarnego:

• do wykazywania prostopadªo±ci wektorów: wektory ~u i ~v s¡ prostopadªe wtedy i tylko wtedy, gdy

~

u ◦ ~ v = 0;

• do obliczania k¡ta pomi¦dzy dwoma wektorami

• do obliczania dªugo±ci wektora

|~ u| = √

~ u ◦ ~ u.

Rzut prostok¡tny ~u wektora ~a na wektor ~b wyra»a si¦ wzorem:

~

u = ~a ◦ ~b

|b| ² · ~b.

Denicja 5. Iloczynem wektorowym wektorów ~u = [u x , u _y , u _z ], ~ v = [v _x , v _y , v _z ] nazywamy wektor ~w, który oznaczamy symbolem

~

w = ~ u × ~ v =      

~i ~j ~k u _x u _y u _z v _x v _y v _z       ,

i który w przypadku, gdy ~u k ~v jest wektorem zerowym. Natomiast, je»eli ~u i ~v nie s¡ równolegªe, to wektor ~w speªnia warunki:

• ma kierunek prostopadªy do ~u i prostopadªy do ~v,

• zwrot wektora ~w jest taki, »e wektory ~u,~v, ~w tworz¡ ukªad zgodnie skr¦tny z ukªadem wektorów

~i,~j, ~k.

Zastosowanie iloczynu wektorowego:

• pole trójk¡ta rozpi¦tego na wektorach ~u i ~v: P = ¹ ₂ |~ u × ~ v|;

• pole równolegªoboku rozpi¦tego na wektorach ~u i ~v: P = |~ u × ~ v|;

• do wykazywania równolegªo±ci wektorów; wektory ~u i ~v s¡ równolegªe wtedy i tylko wtedy, gdy

~

u × ~ v = ~0.

Denicja 6. Iloczyn mieszanym uporz¡dkowanej trójki wektorów ~u = [u x , u _y , u _z ], ~ v = [v _x , v _y , v _z ], ~ w = [w _x , w _y , w _z ] okre±lamy wzorem:

(~ u, ~ v, ~ w) = (~ u × ~ v) ◦ ~ w.

Mo»na wykaza¢, »e

(~ u, ~ v, ~ w) =      

u x u y u z

v _x v _y v _z w _x w _y w _z       .

Zastosowanie iloczynu mieszanego:

• obj¦to±¢ czworo±cianu rozpi¦tego na wektorach ~u, ~v, ~w: V = ¹ ₆ |(~ u, ~ v, ~ w)|;

• obj¦to±¢ prostopadªo±cianu rozpi¦tego na wektorach ~u, ~v, ~w: V = |(~ u, ~ v, ~ w)|

• wykazywanie wspóªpªaszczyznowo±ci wektorów.

Denicja 7. Je±li zachodzi równo±¢:

~ x = c ₁ x ~ ₁ + c ₂ x ~ ₂ + . . . + c _n x ~ _n

to mówimy, ze wektor ~x jest kombinacj¡ liniow¡ wektorów x ~ ₁ , ~ x ₂ , . . . , ~ x _n o odpowiednich wspóªczyn- nikach c 1 , c 2 , . . . , c n .

Denicja 8. Je±li tylko zerowa kombinacja liniowa wektorów ~x 1 , ~ x ₂ , . . . , ~ x _n daje nam wektor zerowy tzn.

c ₁ x ~ ₁ + c ₂ x ~ ₂ + . . . + c _n x ~ _n = ~0 ⇐⇒ c ₁ = c ₂ = . . . = c _n = 0 to ukªad wektorów ~x 1 , ~ x ₂ , . . . , ~ x _n nazywamy liniowo niezale»nym.

W przeciwnym wypadku tzn. gdy istniej co najmniej jedna staªa c k 6= 0 taka »e zachodzi c ₁ x ~ ₁ + c ₂ x ~ ₂ + . . . + c _n x ~ _n = ~0,

to ukªad ten nazywamy liniowo zale»nym.

Zadania

1. W trapezie OABC, zachodzi −→

OA = 3 − − →

CB. Wyra¹:

a) wektor −→

OA przez wektory − − → OB i −→

OC, b) wektor − − →

OB przez wektory −→

OA i −→

OC.

2. Dane s¡ wektory ~u = [1, 0, −1], ~v = [2, −1, 3], ~w = [1, 1, 3] oraz punkty A = (1, −1, 2), B = (0, 2, 4), C = (−1, −2, 3). Oblicz:

a) ~u + ~v, b) 5~u − 4~w, c) 3~u − 2~v + 3~w d) −→

AC e) −→

CA f) |~u| g) | −→

BA| h) |~u − ~v|

i) ~u ◦ ~w j) ~w ◦ ~u j) −→

CA ◦ −→

BA 3. Dany jest wektor −→

AB = [1, 4, 6]. Wyznacz wspóªrz¦dne punktu A wiedz¡c, »e B = (1, 5, −2).

4. Znajd¹ wektor o tym samym kierunku i zwrocie co wektor ~u = [2, −4, 8] ale o dªugo±ci równej 2|~ u|.

5. Oblicz iloczyn skalarny wektorów:

a) ~u = 2~i − 3~j + ~k, ~v = −2~i + ~j − 4~k b) ~u =~i + ~k, ~v = 3~i + 2~j − 2~k 6. Obliczy¢ iloczyn skalarny ~u ◦ ~v wiedz¡c, »e

a) |~u| = 2, |~v| = 3, ∠(~v, ~u) = ^π ₃ , b) |~u| = 1, |~v| = 4, ∠(~v, ~u) = ^2π ₃ , c) |~u| = 2, |~v| = 5, ∠(~v, ~u) = ^π ₂ , d) |~u| = 1, |~v| = 3, ∠(~v, ~u) = π.

7. Znale¹¢ dªugo±¢ wektora ~u = 2~v − 3~w, wiedz¡c »e wektory ~v i ~w s¡ prostopadªe a ich dªugo±ci

~

v = 4 i ~w = 2.

8. Sprawdzi¢, czy punkty A = (1, 2, 1), B = (2, 3, 4), C = (0, 3, 3) i D = (5, 5, 5) s¡ wspóªpªasz- czyznowe.

9. Czy wektory ~u = [−1, 3, 5], ~v = [1, −1, 1], ~w = [4, −2, 0] s¡ komplanarne(wspóªpªaszczyznowe).

10. Dane s¡ punkty A = (3, −1, 1), B = (4, 3, 1). Znajd¹ wersor wektora −→

AB.

11. Znajd¹ dªugo±¢ i cosinusy kierunkowe wektorów ~u = [1, 1, 1] oraz ~v = [−1, 4, 5]

12. Oblicz miary k¡tów pomi¦dzy wektorami:

a) ~u = [−4, 8, −3] oraz ~v = [2, 1, 1] b) ~u = [2, −3, 0] oraz ~v = [−6, 0, 4]

13. Oblicz ~u × ~v :

a) ~u = [−2, 1, 2], ~v = [1, 0, 2] b) ~u = [1, −1, −2], ~v = [−2, 2, 4]

c) ~u = −~i + 3~j + 2~k, ~v = −~i + 2~j − 5~k d) ~u = −2~i − 3~j, ~v =~i + 2~j − 5~k 14. Wiedz¡c, »e ∠(~u,~v) = ^π ₃ oraz |~u| = |~v| = 1 oblicz:

a) |(~u × ~v) + 2~u × ~v|, b) |(2~u + 3~v) × (~v − ~u)| ² .

15. Obliczy¢ iloczyn mieszany (~u,~v, ~w) wektorów:

16. Zbada¢, liniow¡ niezale»no±¢ nast¦puj¡cych wektorów:

a) ~u 1 = [1, 1], ~ u ₂ = [1, −1] b) ~u 1 = [−1, 3], ~ u ₂ = [2, −6]

c) ~u 1 = [0, 1, 2], ~ u ₂ = [0, 1, 3] d) ~u 1 = [2, 1, 0], ~ u ₂ = [1, 0, −1], ~ u ₂ = [1, 1, 1]

e) ~u 1 = [1, 2, 1], ~ u ₂ = [0, 1, 1], ~ u ₃ = [1, 1, 1] f) ~u 1 = [0, 1, 1], ~ u ₂ = [1, 2, 3], ~ u ₃ = [1, 1, 1]

17. Wyznaczy¢ pola trójk¡ta ABC :

a) o wierzchoªkach A = (3, 1, 4), B = (1, 3, 5), C = (5, 3, 6) b) o wierzchoªkach A = (0, 0, 2), B = (2, 1, 1), C = (−1, 1, 0) c) rozpi¦tego na wektorach −→

AB = [1, −1, 1] i −→

AC = [2, 1, −3].

18. Wyznaczy¢ pola równolegªoboku zbudowanego na wektorach ~u = [1, −3, 1] i ~v = [2, −1, 3].

19. Znajd¹ rzut prostok¡tny ~u wektora ~a = 2~i − ~j + ~k na prosta wyznaczon¡ przez wektor ~b =

~i + 2~j − ~k oraz k¡t pomi¦dzy tymi wektorami.

20. Sprawdzi¢ czy trójk¡t o wierzchoªkach A = (3, 2, 1), B = (−1, 6, 5), C = (5, 3, 2) jest prosto- k¡tny.

21. Znajd¹ dªugo±¢ wysoko±ci trójk¡ta o wierzchoªkach A = (4, −4, 6), B = (1, 3, 0), C = (0, 5, −2) prostopadªej do boku ª¡cz¡cego dwa ostatnie wierzchoªki.

22. Dla czworo±cianu o wierzchoªkach A = (1, 2, 1), B = (3, 2, 2), C = (2, 5, 2), D = (2, 3, 5) wyznaczy¢ obj¦to±¢ i dªugo±¢ jego wysoko±ci opuszczonej z wierzchoªka A.

23. Obliczy¢ pole i obj¦to±¢ równolegªo±cianu rozpi¦tego na wektorach ~u = [2, 3, 4], ~v = [0, 4, −1],

~

w = [5, 1, 3].

24. Dla jakich warto±ci parametru p ∈ R wektory ~u = [0, 2, 1] i ~v = [1, p, 2p] s¡ prostopadªe?

25. Wykaza¢, »e je»eli ~u + ~v oraz ~u − ~v s¡ prostopadªe to wektory ~u i ~v s¡ równej dªugo±ci.

26. Dla jakiego parametru p ∈ R punkty A = (1, 1, 0), B = (0, 1, 1), C = (p, 1, 1) i D = (0, 1, 2) le»¡ na jednej pªaszczy¹nie?

27. Oblicz iloczyn skalarny wektorów ~u = −2~a + 4~b i ~v = 3~a + ~b je»eli ∠(~a,~b) = ^π ₃ oraz |~a| = 3 i

|~b| = 2.