det A = a 11 ; 2. je˙zeli A ma stopie´ n n ≥ 2, to

(1)

1 Wyznaczniki i metody ich oblicznia. Problem odwracania macierzy

Definicja 1 (Wyznacznik macierzy). Wyznacznikiem macierzy kwadratowej nazywamy funkcj¸ e, kt´ ora ka˙zdej macierzy A = [a _ij ] ∈ M _n (K) przypisuje skalar det A ∈ K, a okre´slona jest wzorem indukcyjnym:

1. je˙zeli A ma stopie´ n 1, to

det A = a 11 ; 2. je˙zeli A ma stopie´ n n ≥ 2, to

det A = a 11 · D 11 + a 12 · D 12 + . . . + a 1n · D 1n ,

gdzie D _ij = (−1) ^i+j det A _ij , przy czym A _ij oznacza macierz stopnia n − 1 otrzyman¸ a z macierzy A poprzez skre´ slenie i-tego wiersza i j-tej kolumny.

Uwaga 1. Wyznacznik macierzy A oznaczamy: det[a ij ], |A|, a w formie rozwini¸ etej

det







a 11 a 12 . . . a 1n

a ₂₁ a ₂₂ . . . a _2n . . . . . . . . . . . . a _n1 a _n2 . . . a _nn







Przyk lad 1. 1. | − 126| = −126;

2. 2 3 1 5

= (−1) ¹⁺¹ · 2 · |5| + (−1) ¹⁺² · 3|1| = 7;

3. 1 0 −1

1 1 1

0 1 0

= (−1) ¹⁺¹ · 1 ·

1 1 1 0

+ (−1) ¹⁺³ · (−1) ·

1 1 0 1

= −2

Komentarz 1. W celu obliczania wyznacznik´ ow stopnia drugiego i trzeciego bezpo´ srednio mo˙zna zastosowa´ c wzory:

1. a b c d

= ad − bc;

2. a b c d e f g h i

= aei + dhc + gbf − ceg − f ha − ibd.

Twierdzenie 1 (Rozwini¸ ecie Laplace’a wyznacznika). Niech A = [a ij ] ∈ M n (K), n ≥ 2 oraz niech liczby naturalne i oraz j b¸ ed¸ a ustalone, 1 ≤ i, j ≤ n. Do obliczenia wyznacznika macierzy A mo˙zna zastosowa´ c wzory:

1. det A = a i1 · D i1 + a i2 · D i2 + . . . + a in · D in ;

2. det A = a 1j · D 1j + a 2j · D 2j + . . . + a nj · D nj .

(2)

Uwaga 2. W praktyce mo˙zemy zatem wybra´ c samodzielnie wzgl¸ edem, kt´ orego wiersza (kolumny) b¸ edziemy oblicza´ c wyznacznik. W celu maksymalnego up- roszczenia rachunk´ ow, oczywi´ scie b¸ edziemy zawsze wybiera´ c ten wiersz (kolumn¸ e),w kt´ orej jest najwi¸ ecej zer.

Przyk lad 2.

1 0 1 −1

1 1 0 1

2 0 0 −1

1 1 −1 1

= 2 · (−1) ³⁺¹ ·

0 1 −1

1 0 1

1 −1 1

+ +(−1) ³⁺⁴ ·

(−1) ·

1 0 1

1 1 0

1 1 −1

= 2 − 1 = 1

Twierdzenie 2 (W lasno´ sci wyznacznika). Niech A, B ∈ M n (K).

1. Je˙zeli macierz B mo˙zna otrzyma´ c z macierzy A poprzez zamian¸ e miejs- cami dw´ och wierszy (kolumn) macierzy A, to

det B = − det A.

2. Je˙zeli macierz B mo˙zna otrzyma´ c z macierzy A poprzez dodanie pomno˙zonego przez skalar wiersza (kolumny) macierzy A do innego wiersza (kolumny) macierzy A, to

det B = det A.

3. Je˙zeli macierz B mo˙zna otrzyma´ c z macierzy A poprzez pomno˙zenie jej wiersza (kolumny) przez sta l¸ a λ ∈ K, to

det B = λ · det A.

Twierdzenie 3. Je˙zeli dla macierzy A spe lniony jest jeden z warunk´ ow 1. ca ly wiersz (albo kolumna) jest zerowy;

2. dwa wiersze (albo dwie kolumny) s¸ a r´ owne;

3. dwa wiersze (kolumny) s¸ a proporcjonalne, to det A = 0.

Twierdzenie 4 (Inne w lasno´ sci wyznacznika). Je˙zeli A, B ∈ M n (K), to 1. det(A · B) = det A · det B (tw. Cauchy’ego);

2. det A ^T = det A.

Definicja 2 (Macierz odwracalna). Macierz A ∈ M _n (K) nazywamy odwracaln¸a, je˙zeli istnieje macierz B ∈ M n (K) taka, ˙ze

A · B = B · A = I _n .

Macierz B nazywamy macierz¸ a odwrotn¸ a do macierzy A i oznaczamy A ⁻¹ .

Macierz, kt´ ora nie posiada macierzy odwrotnej nazywamy nieodwracaln¸ a.

(3)

Twierdzenie 5 (Jednoznaczno´ s´ c istnienia macierzy odwrotnej). Macierz odwracalna posiada dok ladnie jedn¸ a macierz odwrotn¸ a.

Dow´ od. Niech A ∈ M n (K). Za l´o˙zmy, ˙ze A ⁰ , A ⁰⁰ ∈ M n (K) s¸a macierzami odwrotnymi do A. Wtedy

A · A ⁰ = I _n = A · A ⁰⁰ / · A ⁰ A ⁰ · (A · A ⁰ ) = A ⁰ · (A · A ⁰⁰ ) (A ⁰ · A) · A ⁰ = (A ⁰ · A) · A ⁰⁰

A ⁰ = A ⁰⁰ Przyk lad 3. 1. Niech A =

−1 2

−1 1

, B =

1 −2 1 −1

, A ⁻¹ = B.

2. Macierz





0 0 0 1 2 3 4 5 6



 nie posiada macierzy odwrotnej.

Twierdzenie 6. 1. Macierz A jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy det A 6=

0. 2. Je˙zeli macierz A jest odwracalna, to

A ⁻¹ = 1 det A ·







D ₁₁ D ₁₂ . . . D _1n D ₂₁ D ₂₂ . . . D _2n . . . . . . . . . . . . D _n1 D _n2 . . . D _nn







T

,

gdzie D ij = (−1) ^i+j det A ij , przy czym A ij oznacza macierz stopnia n − 1 otrzyman¸ a z macierzy A poprzez skre´ slenie i-tego wiersza i j-tej kolumny.

Przyk lad 4. 1. Niech A =

1 1 2 4

, A ⁻¹ =

2 − ¹ ₂

−1 ¹ ₂

2. Macierz A =

1 2 4 8

jest nieodwracalna.

Stwierdzenie 1. Za l´ o˙zmy, ˙ze macierz C jest odwracalna. Wtedy 1. je´ sli A · C = B · C, to A = B;

2. je´ sli C · A = C · B, to A = B.

Dow´ od. Poka˙zemy, ˙ze zachodzi np. (1) (dow´ od drugiej w lasno´ sci jest analog- iczny).

A · C = B · C/ · C ⁻¹ ; (A · C) · C ⁻¹ = (B · C) · C ⁻¹ ; A · (C · C ⁻¹ ) = B · (C · C ⁻¹ );

A · I n = B · I n ;

A = B.

(4)

2 Rz¸ ad macierzy i metody jego oblicznia

Definicja 3 (Minor macierzy). Minorem stopnia k ∈ N ⁺ macierzy A ∈ M m×n (K) nazywamy wyznacznik utworzony z element´ ow macierzy A stoj¸ acych na przeci¸ eciu dowolnie wybranych k kolumn i k wierszy.

Przyk lad 5. Dla A =





1 2 3 4 0 2 4 6 1 3 5 7



,minory stopnia 2, to np.

1 4 0 6

,

1 3 1 5

,

minor stopnia 3, to np.

1 3 4 0 4 6 1 5 7

.

Definicja 4. Rz¸ edem macierzy A ∈ M m×n (K) nazywamy najwi¸ekszy stopie´ n jej niezerowego minora. Przyjmujemy, ˙ze rz¸ ad macierzy zerowej jest r´ owny 0.

Rz¸ ad macierzy A oznaczamy symbolem rz A.

Przyk lad 6. rz





1 2 3 4 0 2 4 6 1 3 5 7



 = 3, bo

2 3 4 2 4 6 3 5 7

= 10 6= 0.

Stwierdzenie 2 (W lasno´ sci rz¸ edu macierzy). 1. Rz¸ ad macierzy odwracalnej jest r´ owny jej stopniowi.

2. rz A ^T = rz A.

Oserwacja 1. Wszystkie operacje, kt´ ore nie zmieniaj¸ a warto´ sci wyznacznika, albo zmieniaj¸ a tylko jego znak, zastosowane do macierzy nie zmieniaj¸ a jej rz¸ edu.

Nie zmienia r´ ownie˙z rz¸ edu macierzy skre´ slenie wiersza (kolumny) z lo˙zonego z samych zer lub jednego z dw´ och wierszy (kolumn) r´ ownych lub proporcjonalnych.

Komentarz 2. Powy˙zsza obserwacja upraszcza spraw¸ e obliczania rz¸ edu macierzy.

Zamiast oblicza´ c go od razu wprost z definicji, poszukuj¸ ac najwi¸ ekszego niezerowego minora, mo˙zemy po prostu przekszta lca´ c macierz bez zmiany rz¸ edu do takiej postaci, z kt´ orej w latwy spos´ ob mo˙zemy go ju˙z odczyta´ c.

Przyk lad 7. Obliczymy rz¸ edy nast¸ epuj¸ acych macierzy: rz







2 5 1

3 0 −6

−1 4 6

1 2 0







w

₁

↔w

4

=

rz







1 2 0

3 0 −6

−1 4 6

2 5 1







w

₂

−3w

₁

,w

₃

+w

₁

,w

₄

−2w

₁

= rz







1 2 0

0 −6 −6

0 6 6

0 1 1







w

₂

=−6w

₄

,w

₃

=6w

₄

= rz

1 2 0 0 1 1

=

2,

Przyk lad 8. rz







1 3 5 −1

2 −1 −3 4

5 1 −1 7

7 7 9 1







w

₂

−2w

₁

,w

₃

−5w

₁

,w

₄

−7w

₁

= rz







1 3 5 −1

0 −7 −13 6

0 −14 −26 12

0 −14 −26 8







w

3

=2w

2

=

(5)

rz





1 3 5 −1

0 −7 −13 6

0 −14 −26 8





w

₃

−2w

₂

= rz





1 3 5 −1

0 −7 −13 6

0 0 0 −4



 = 3.

det A = a 11 ; 2. je˙zeli A ma stopie´ n n ≥ 2, to

1 Wyznaczniki i metody ich oblicznia. Problem odwracania macierzy

Definicja 1 (Wyznacznik macierzy). Wyznacznikiem macierzy kwadratowej nazywamy funkcj¸ e, kt´ ora ka˙zdej macierzy A = [a ij ] ∈ M n (K) przypisuje skalar det A ∈ K, a okre´slona jest wzorem indukcyjnym:

1. je˙zeli A ma stopie´ n 1, to