11marca2009 MikołajKarpiński Rozwiazaniachaotycznerównanrózniczkowychczastkowych

(1)

Wstęp Pierwszy przykład Drugi przykład

Rozwiazania chaotyczne równan rózniczkowych czastkowych

Mikołaj Karpiński

IPPT PAN

11 marca 2009

(2)

Układ Lorenza

dx

dt = −10x + 10y dy

dt = 28x − y − xz dz

dt = −8 3z + xy

(3)

Niech X będzie przestrzenią Banacha.

u⁰(t) = Au(t) u(0) = u₀ u ∈ X , A : D(A) → X .

(4)

Półgrupy operatorów

Definicja

Niech X będzie przestrzenią Banacha. Powiemy, że rodzina operatorów {T (t)}_t0 na X , T (t) : X → X jest półgrupą jeżeli:

T (0) = Id ;

T (s)T (t) = T (s + t);

Jeśli ponadto spełniony jest warunek:

lim_t→0⁺T (t)x = x dla każdego x ∈ X ; to tę półgrupę nazwiemy mocno ciągłą.

(5)

Półgrupy operatorów

Definicja

Operator A z dziedziną

D(A) = {x ∈ X : lim_t→0⁺ ^{T (t)x −x}_t istnieje} określony wzorem:

Ax = lim_t→0⁺T (t)x − x t

x ∈ D(A) nazywamy tworzącą albo generatorem półgrupy T .

(6)

Hipercykliczność i chaos

Definicja

Mocno ciągła półgrupa ograniczonych operatorów liniowych {T (t)}_t0 jest:

hipercykliczna, jeżeli istnieje taki x ∈ X , że zbiór {T (t)x | t 0} jest gęsty w X ;

jeśli ponadto gęsty jest zbiór

{x ∈ X | ∃t 0, takie że T (t)x = x}, to tę półgrupę nazwiemy chaotyczną.

(7)

Hipercykliczność i chaos

Definicja

Mocno ciągła półgrupa ograniczonych operatorów liniowych {T (t)}_t0 jest:

hipercykliczna, jeżeli istnieje taki x ∈ X , że zbiór {T (t)x | t 0} jest gęsty w X ;

jeśli ponadto gęsty jest zbiór

{x ∈ X | ∃t 0, takie że T (t)x = x}, to tę półgrupę nazwiemy chaotyczną.

(8)

Hipercykliczność i chaos

Oznaczmy przez:

X0 = {x ∈ X | limt→∞T (t)x = 0};

X∞= {x ∈ X | ∀ε > 0 ∃w ∈ X ∃t > 0, kw k < ε, kT (t)w − xk < ε};

X_p = {x ∈ X | ∃t > 0 T (t)x = x }. Twierdzenie

Niech {T (t)}t0 będzie mocno ciągłą półgrupą w ośrodkowej przestrzeni Banacha X . Jeżeli X₀ i X∞ są gęste w X, to {T (t)}_t0 jest hipercykliczna.

(9)

Hipercykliczność i chaos

Oznaczmy przez:

X0 = {x ∈ X | limt→∞T (t)x = 0};

X_p = {x ∈ X | ∃t > 0 T (t)x = x }. Twierdzenie

(10)

Hipercykliczność i chaos

Oznaczmy przez:

X0 = {x ∈ X | limt→∞T (t)x = 0};

Xp= {x ∈ X | ∃t > 0 T (t)x = x }.

Twierdzenie

(11)

Hipercykliczność i chaos

Oznaczmy przez:

X0 = {x ∈ X | limt→∞T (t)x = 0};

Xp= {x ∈ X | ∃t > 0 T (t)x = x }.

Twierdzenie

(12)

Hipercykliczność i chaos

Twierdzenie

Niech X będzie ośrodkową przestrzenią Banacha, zaś A będzie generatorem mocno ciągłej półgrupy {T (t)}_t0 na X . Jeżeli:

widmo punktowe A, σ_p(A), ma niepuste wnętrze U spełniające warunek U ∩ i R 6= ∅;

istnieje selekcja przyporządkowująca każdej wartości własnej λ ∈ U odpowiadający jej wektor własny xλ w taki sposób, że dla każdego φ ∈ X^∗ funkcja F_φ(λ) = hφ, x_λi jest analityczna na U;

F_φ≡ 0 na U wtedy i tylko wtedy gdy φ = 0; to półgrupa {T (t)}t0jest chaotyczna.

(13)

Hipercykliczność i chaos

Twierdzenie

F_φ≡ 0 na U wtedy i tylko wtedy gdy φ = 0; to półgrupa {T (t)}t0jest chaotyczna.

(14)

Hipercykliczność i chaos

Twierdzenie

F_φ≡ 0 na U wtedy i tylko wtedy gdy φ = 0;

to półgrupa {T (t)}t0jest chaotyczna.

(15)

Hipercykliczność i chaos

Twierdzenie

F_φ≡ 0 na U wtedy i tylko wtedy gdy φ = 0;

to półgrupa {T (t)}t0jest chaotyczna.

(16)

Hipercykliczność i chaos

Dowód opiera się na obserwacji, że przy tych założeniach mamy wystarczjąco dużo trajektorii postaci T (t)x_λ= e^λtx_λ. Gdy:

<eλ < 0 to trajektorie zmierzają do zera;

<eλ = 0 to trajektorie są okresowe;

<eλ > 0 to możemy zapisać x_λ = T (t)e^−λtx_λ, gdzie e^−λtx_λ zmierza do zera gdy t → ∞.

(17)

Hipercykliczność i chaos

(18)

Hipercykliczność i chaos

(19)

Hipercykliczność i chaos

(20)

Równanie

Rozpatrzmy półgrupę na X = L²([0, ∞), C) generowaną przez równanie:

u_t(x , t) = au_xx(x , t) + bu_x(x , t) + cu(x , t) u(0, t) = 0 dla t 0

u(x , 0) = f (x ) dla x 0 i pewnego f ∈ X

Aby pokazać jej chaotyczność musimy pokazać, że:

operator A = au_xx+ bu_x + cu jest generatorem mocno ciągłej półgrupy na X ;

istnieje otwarty podzbiór U ∈ σ_p(A) spełniający warunek U ∩ i R;

dla każdego φ ∈ X^∗ funkcja F_φ: U → C spełnia warunki twierdzenia.

(21)

Równanie

u(x , 0) = f (x ) dla x 0 i pewnego f ∈ X Aby pokazać jej chaotyczność musimy pokazać, że:

(22)

Równanie

(23)

Równanie

(24)

Mocna ciągłość półgrupy

Można pokazać, że do tego by rozpatrywana półgrupa była mocno ciągła, wystarczy założenie a, b > 0 .

(25)

Widmo punktowe

Szukamy wartości własnych operatora A, czyli funkcji fλ(x ) ∈ X spełniających warunki:

af_λ⁰⁰+ bf_λ⁰ + cfλ = λfλ; fλ(0) = 0.

Warunki te spełnia funkcja:

f_λ = e⁻^2a^b^xe^x

p(_2a^b)²+^λ−c_a − e^−x

p(_2a^b)²+^λ−c_a .

Można pokazać, że funcja f_λ należy do X = L² jeśli spełnione są warunki:

<e(λ) < −_b^a₂(=m(λ))²+ c

=m(λ) < c

zbiór λ spełniających ten warunek oznaczmy przez V .

(26)

Widmo punktowe

Szukamy wartości własnych operatora A, czyli funkcji fλ(x ) ∈ X spełniających warunki:

af_λ⁰⁰+ bf_λ⁰ + cfλ = λfλ; fλ(0) = 0.

Warunki te spełnia funkcja:

f_λ = e⁻^2a^b^xe^x

p(_2a^b)²+^λ−c_a − e^−x

p(_2a^b)²+^λ−c_a .

Można pokazać, że funcja f_λ należy do X = L² jeśli spełnione są warunki:

<e(λ) < −_b^a₂(=m(λ))²+ c

=m(λ) < c

zbiór λ spełniających ten warunek oznaczmy przez V .

(27)

Widmo punktowe

Ponieważ chcemy by podzbiór widma przecinał oś urojoną, powyższe warunki dają nam warunek na c:

c > 0

(28)

Warunki na F

_φ

Wybieramy podzbiór widma punktowego:

U = V \ⁿλ ∈ C| =(λ) = 0, <(λ) ¬ c −b² 4a

o

Dla tego podzbioru można pokazać, że dla φ ∈ X^∗ funkcje Fφ(λ) = hφ, fλi są analityczne oraz że są stale równe zero wtedy i tylko wtedy, gdy φ = 0.

Wniosek

Przy założeniach a, b, c > 0, rozwiązania równania: u_t(x , t) = au_xx(x , t) + bu_x(x , t) + cu(x , t)

u(0, t) = 0 dla t 0

u(x , 0) = f (x ) dla x 0 i pewnego f ∈ X są chaotyczne.

(29)

Warunki na F

_φ

Wybieramy podzbiór widma punktowego:

U = V \ⁿλ ∈ C| =(λ) = 0, <(λ) ¬ c −b² 4a

o

Dla tego podzbioru można pokazać, że dla φ ∈ X^∗ funkcje Fφ(λ) = hφ, fλi są analityczne oraz że są stale równe zero wtedy i tylko wtedy, gdy φ = 0.

Wniosek

Przy założeniach a, b, c > 0, rozwiązania równania:

u(x , 0) = f (x ) dla x 0 i pewnego f ∈ X są chaotyczne.

(30)

Równanie

Weźmy równanie:

u_t(x , t) = au_xx(x , t) + xu_x(x , t) + cu(x , t)

u(x , 0) = u0(x ) dla x ∈ R i pewnego u0 ∈ X gdzie a > 0, a X = L²(R).

Korzystając z własności transformaty Fouriera problem chaotyczności rozwiązań tego zagadnienia jest równoważny problemowi chaotyczności rozwiązań:

Równanie 2

ub_t(ξ, t) = (−aξ²+ c − 1)_bu(ξ, t) − ξ_bu_ξ(ξ, t) bu(ξ, 0) = u_b0(ξ)

(31)

Równanie

Weźmy równanie:

u_t(x , t) = au_xx(x , t) + xu_x(x , t) + cu(x , t)

u(x , 0) = u0(x ) dla x ∈ R i pewnego u0 ∈ X gdzie a > 0, a X = L²(R).

Korzystając z własności transformaty Fouriera problem chaotyczności rozwiązań tego zagadnienia jest równoważny problemowi chaotyczności rozwiązań:

Równanie 2

ub_t(ξ, t) = (−aξ²+ c − 1)_bu(ξ, t) − ξ_bu_ξ(ξ, t) bu(ξ, 0) = u_b0(ξ)

(32)

Rozwiązanie

Korzystając z metody charakterystyk:

d

dtξ = ξ, ξ(0) = ξ₀ d

dt^bu = ((c − 1) − aξ²)_bu, u(0, ·) =_b _bu₀(·) rozwiązujemy to równanie, dostając:

bu(ξ, t) =u_b0(ξe^−t)e^(c−1)t−^aξ2² ^[1−e^−2t^]

Półgrupę generowaną przez to równanie oznaczmy przez {St}_t0

(33)

Topologiczna tranzytywność

Twierdzenie

Niech {T (t)}t0 będzie mocno ciągłą półgrupą liniową na ośrodkowej przestrzeni Banach X . Wtedy następujące warunki są równoważne:

{T (t)}_t0 jest hipercykliczna;

dla wszystkich y ∈ X , z ∈ X i dla każdego ε > 0 istnieje v ∈ X oraz takie t > 0, że ky − v k < ε i kz − T (t)v k < ε.

(34)

Topologiczna tranzytywność

Uwagi:

skorzystamy z twierdzenia i pokażemy topologiczną tranzytywność;

pokażemy ją dla funkcji z L²(0, +∞);

dla funkcji f ∈ L²(0, +∞) , których nośnik

suppf ⊂ [a, b] ⊂ (0, +∞) możemy przeprowadzić ewolucję ”w tył”, tzn.

S−tf ∈ L²(0, +∞)

(35)

Topologiczna tranzytywność

Weźmy funkcjeêf1,êf2 ∈ L²(0, +∞), takie że suppfê_i ⊂ [a_i, b_i].

dobieramy T , g > 0, tak by [ai, bi] ⊂ [ge^−T, g ];

definiujemy ^ef =^ef1+ S−2Tef2

Wystarczy pokazać, że: kef −^ef₁k = kS_−2Tfe₂k < ε kS_2Tef −^ef2k = kS_2Tef1k < ε Da się to uzyskać dla

dostatecznie dużego T przy założeniu c > ¹₂.

(36)

Topologiczna tranzytywność

Weźmy funkcjeêf1,êf2 ∈ L²(0, +∞), takie że suppfê_i ⊂ [a_i, b_i].

dobieramy T , g > 0, tak by [ai, bi] ⊂ [ge^−T, g ];

definiujemy ^ef =^ef1+ S−2Tef2

Wystarczy pokazać, że:

kef −^ef₁k = kS_−2Tfe₂k < ε kS_2Tef −^ef2k = kS_2Tef1k < ε Da się to uzyskać dla

dostatecznie dużego T przy założeniu c > ¹₂.

(37)

Topologiczną tranzytywność

By pokazać topologiczną {St}_t0 trzeba zauważyć, że:

każdą funkcję z L²(0, +∞) można przybliżyć funkcją o zwarym nośniku oddzilonym od zera;

podobne rozumowanie możemy przeprowadzić dla funkcji z L²(−∞, 0), a rozwiązania te możemy ”skleić”.

(38)

Gęstość orbit okresowych

Analogicznie dowodzi się gęstości orbit okresowych:

rozpatrujem najpierw przypadek f ∈ L²(0, +∞);

funkcję f przybliżamy funkcją ^ef dla której supp^ef ⊂ [a, b];

definiujemy funkcję _eu₀:

1

eu0(ξ) = ef (ξ) dla ξ ∈ (ge^−T, g );

2

eu0(ξ) = 0 dla ξ ∈ (ge^−2T, ge^−T);

3

eu0jest punktem okresowym {St}t0o okresie 2T pokazujemy, że dla dostatecznie dużego T spełniony jest warunek k_eu₀−ef k ¬ ε