PiMS
dr inż Krzysztof Bryś Wykład 8
Procesy stochastyczne Niech(Ω, Z, P) będzie przestrzenią probabilistyczną.
Niech T ⊆ X będzie przedziałem, sumą przedziałów lub zbiorem dyskretnym.
Funkcję X : T × Ω → R nazywamyprocesem stochastycznym jesli dla kazdego ustalonego t ∈ T : X(t, ω) = Xy(ω) = Xt jest zmienną losową, gdzie ω ∈ Ω (zmienną t ∈ T nazywamy czasem).
Przy ustalonym t ∈ T : Xt(ω) jest zmienną losową. Przy ustalnym ω ∈ Ω: (XT)t∈T jest funkcją losową zwaną realizacją procesu stochastycznego.
UWAGA: Proces stochastyczny jest rodziną zmiennych losowych.
Parametry procesu stochastycznego Wartość oczekiwana: m(t) = E(Xt)
Moment rzędu 2: (m2(t) = E(Xt2)
Wariancja : σ2(t) = D2(Xt) = m2(t) − (m(t))2 Odchylenie standardowe: σ(t) = D(Xt).
Autokorelacja procesu Xt: R(t1, t2) = E(Xt1 · Xt2
Autokowariancja procesu Xt: K(t1, t2) = R(t1, t2) − m(t1) · m(t2) Współczynnik autokorelacji procesy Xt:
ρ(t1, t2) = K(t1, t2) σ(t1) · σ(t2)
Klsyfikacja procesów stochastycznych
Proces stochastyczny Xtnazywmy procesem o przyrostach niezaleznych jesli dla dowolnego n ∈ N , dowolnych momentów czasu t0 < t1 < . . . < tn zmienne Xt0, Xt1 − Xt0, . . . , Xtn− Xtn−1 są niezależne.
Proces stochastyczny Xt nazywamy jednorodnym jeśli X0 = 0 i dla każdych momentów czasy t1 < t2 zmienna losowa Xt2 − Xt1 zależy jedynie od t2− t1.
Proces Markowa = proces ”bez pamięci” = przyszłość zalezy jedynie od teraźniejszości, nie zależy od przeszłości
Łańcuch Markowa = proces Markowa, w którym czas i zbiór stanów są zbiorami dyskretnymi.
Prawdopodobieństwo przejścia ze stanu i do stanu j pomiędzy momentami czasu t1 i t2, gdzie t1 < t2 : pij(t1, t2) = P (Xt2 = j|Xt1 = i)
Łańcuch Markowa nazywamy jednorodnym jesli pij(t1, t2) zależy jedynie od różnicy w czasie t2 − t1, a nie zależy od momentów czasu t1, t2
PiMS
Procesy stochastyczne.
Proces Poissona jest to jednorodny proces Markowa o przyrostach niezależnych o rozkładzie prawdo- podobienstwa postaci:
P (X0 = 0) = 1 P (Xt= k) = (P (Xt+τ − Xτ = k) = e−λt(λt)k
k! , dla k = 0, 1, 2, . . . gdzie λ jest intensywnością procesu, m(t) = λt, σ2(t) = λt.
Odstępy czasu między kolejnymi zmianami stanu w procesie Poissona są niezależnymi zmiennymi loso- wymi o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ:
P (Y < t) = y =
1 − e−λt gdy t > 0
0 gdy t ¬ 0
