O ilorazach z funkcją Eulera

(1)

Materiały Dydaktyczne 2015

O ilorazach z funkcją Eulera

Andrzej Nowicki 11 września 2015, wersja pj-09

Jeśli d jest naturalnym dzielnikiem liczby naturalnej n, to ^ϕ(n)_ϕ(d) jest liczbą naturalną, którą oznaczać będziemy przez v(d, n). Przedstawiamy kilka własności i zastosowań liczb postaci v(d, n).

1 Oznaczenia i stwierdzenia wstępne

Niech n > 2 będzie liczbą naturalną. Przez Zn oznaczamy pierścień liczb całkowitych modulo n i przez Z^∗noznaczamy grupę multyplikatywną tego pierścienia Zⁿ. Mamy więc Zn= {0, 1, . . . , n − 1} oraz Z^∗n = {a ∈ Zn; nwd(a, n) = 1}. Przyjmujemy, że Z^∗1 = {1}.

Przykłady:

Z^∗6 = {1, 5}, Z^∗30 = {1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}.

Wiemy, że |Z^∗n| = ϕ(n) i znamy dobrze nastąpujące stwierdzenie.

Stwierdzenie 1.1. Jeśli n = p^α₁¹· · · p^α_s^s jest rozkładem kanonicznym liczby naturalnej n > 2, to

ϕ(n) = n1 −_p¹

1

· · ·1 − _p¹

s

.

Teraz udowodnimy:

Stwierdzenie 1.2. Niech d | n, a ∈ Zd, b ∈ Zn. Załóżmy, że b ≡ a (mod d). Wtedy b ∈ Z^∗n =⇒ a ∈ Z^∗d.

Dowód. Z założeń wynika, że n = ud oraz b = a + vd dla pewnych u, v ∈ Z. Niech b ∈ Z^∗n. Wtedy 1 = xb + yn dla pewnych x, y ∈ Z. Mamy więc

1 = x(a + vd) + yud = xa + (xv + yu)d, a zatem nwd(a, d) = 1, czyli a ∈ Z^∗d.

Implikacja w przeciwnym kierunku nie musi być prawdziwa. Niech dla przykładu n = 6, d = 3, a = 2, b = 2; wtedy d | n, a ∈ Z^∗3 oraz b ≡ a (mod 3), ale b = 2 6∈ Z^∗6. Stwierdzenie 1.3. Niech d | n. Niech a ∈ Zd, b ∈ Zn i niech r be.dzie resztą z dzielenia liczby ba przez d. Jeśli b ∈ Z^∗n oraz a ∈ Z^∗d, to r ∈ Z^∗d.

(2)

Dowód. Z założeń wynika, że n = ud oraz ba = r + vd dla pewnych u, v ∈ Z.

Stwierdzenie 1.4. Jeśli d, n są liczbami naturalnymi takimi, że d | n, to ϕ(d) | ϕ(n).

Dowód. Jeżeli d = 1, to jest to oczywiste gdyż ϕ(1) = 1. Dalej zakładamy, że d > 2. Niech d = p^β1¹· · · p^β_s^s będzie rozkładem kanonicznym liczby d. Wtedy rozkład kanoniczny liczby n jest postaci

n = p^α₁¹· · · p^α_s^sq₁^γ¹· · · q_t^γ^t,

gdzie 16 βi 6 αi dla i = 1, . . . , s oraz γ_j > 1 dla j = 1, . . . , t, przy czym t > 0. Tutaj p₁, . . . , p_s, q₁, . . . , q_t są parami różnymi liczbami pierwszymi. Mamy wtedy

ϕ(n) = p₁^α¹· · · p^α_s^sq₁^γ¹· · · q_t^γ^t1 − _p¹

1

· · ·1 −_p¹

s

1 − _q¹

1

· · ·1 − _q¹

t

= ϕ(d) · p^α₁¹^−β¹· · · p^α_s^s^−β^s · q₁^γ¹· · · q^γ_t^t1 −_q¹

1

· · ·1 −_q¹

t

= ϕ(d)ϕ(w)p^α₁¹^−β¹· · · p^α_s^s^−β^s,

gdzie w = q₁^γ¹· · · q_t^γ^t. Zatem, ^ϕ(n)_ϕ(d) = ϕ(w)p₁^α¹^−β¹· · · p^α_s^s^−β^s jest liczbą naturalną. Z tego dowodu otrzymujemy:

Stwierdzenie 1.5. Niech 2 6 d | n i niech d = p^β1¹· · · p^β_s^s oraz n = p^α₁¹· · · p^α_s^sq₁^γ¹· · · q_t^γ^t będą rozkładami kanonicznymi. Wtedy

ϕ(n) = ϕ(d)ϕ(w)p^α₁¹^−β¹· · · p^α_s^s^−β^s, gdzie w = q₁^γ¹· · · q_t^γ^t.

Stwierdzenie 1.6. Niech 2 6 d | n i niech d = p^β1¹· · · p^β_s^s oraz n = p^α₁¹· · · p^α_s^sq₁^γ¹· · · q_t^γ^t będą rozkładami kanonicznymi. Wtedy

ϕ(n)

ϕ(d) =1 − _q¹

1

· · ·1 −_q¹

t

· n d. Dowód. Sprawdzamy:

ϕ(n)

ϕ(d) · ^d_n = ^p

α1

1 ···p^αs_s q^γ1₁ ···q_t^γt

1−_p1¹

···(¹⁻_ps¹)¹⁻_q1¹^···¹⁻_qt¹

p^β1₁ ···p^βss

1−¹

p1

···(¹⁻_ps¹) · _p_α1^p^β1¹ ^···p^βs^s

1 ···p^αs_s q^γ1₁ ···q^γt_t

= 1 −_q¹

1

· · ·1 −_q¹

t

i stąd mamy tezę.

(3)

Uwaga 1.7. Jeśli n jest jest liczbą bezkwadratową, to Stwierdzenie 1.4 jest oczywiste.

Jeśli bowiem d | n i n jest bezkwadratowe, to liczby d, n/d są względnie pierwsze i wtedy ϕ(n) = ϕ(d)ϕ(n/d).

Przez r(n) oznaczać będziemy iloczyn wszystkich liczb pierwszych dzielących liczbę naturalną n. Przykłady: r(1) = 1, r(4) = 2, r(6) = 6, r(120) = 30. Zanotujmy następne stwierdzenie wynikające natychmiast ze Stwierdzenia 1.6.

Stwierdzenie 1.8. Niech d | n. Wtedy ϕ(n) ϕ(d) 6 n

d.

Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy r(d) = r(n).

Jeśli d - n, to powyższa nierówność nie musi być prawdziwa. Dla przykładu, dla n = 5, d = 2 mamy _ϕ(2)^{f (5)} = ⁴₁ = 4 > ⁵₂.

Zanotujmy powyższe stwierdzenie w następującej równoważnej formie.

Stwierdzenie 1.9. Jeśli d | n, to dϕ(n) 6 ϕ(d)n. Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy r(d) = r(n).

Stąd mamy:

Stwierdzenie 1.10. Jeśli a, b są dowolnymi liczbami naturalnymi, to ϕ(ab) 6 aϕ(b).

Równość zachodzi ⇐⇒ r(b) = r(ab).

Dowód. Niech n = ab, d = b. Wtedy d | n, więc (na mocy Stwierdzenia 1.9) bϕ(ab) 6 ϕ(b)ab, czyli f (ab) 6 aϕ(b). Zdanie o równości również wynika ze Stwierdze- nia 1.9.

2 Liczby v(d,n)

Niech d, n będą dodatnimi liczbami całkowitymi. Przez v(d, n) oznaczać będziemy liczbę ϕ(n)/ϕ(d). Zapamiętajmy:

v(d, n) = ϕ(n) ϕ(d) .

Liczby postaci v(d, n) będą dla nas szczególnie ważne w przypadku. gdy d będzie dziel- nikiem liczby n. W poprzednim rozdziale udowodniliśmy już (patrz Stwierdzenia 1.4 oraz 1.8) następujące stwierdzenie.

Stwierdzenie 2.1. Jeśli d dzieli n, to:

(1) v(d, n) jest dodatnią liczbą całkowitą;

(2) v(d, n) 6 ⁿ_d; równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy r(d) = r(n).

(4)

Niech d będzie naturalnym dzielnikiem liczby naturalnej n. Oznaczmy przez A(d, n) oraz B(n) następujące dwa zdania.

A(d, n) Dla każdego a ∈ Z^∗d istnieje dokładnie v(d, n) takich b ∈ Z^∗n, że b ≡ a (mod d).

B(n) Dla każdego dzielnika naturalnego d liczby n zachodzi A(d, n).

Udowodnimy, że dla każdej liczby naturalnej n zdanie B(n) jest prawdziwe. Spójrz- my najpierw na przykłady.

Przykład 2.2. Zdanie A(3, 6) jest prawdziwe.

Dowód. Niech d = 3, n = 6. Wtedy ϕ(n) = ϕ(6) = 2, ϕ(d) = ϕ(3) = 2, Z^∗n = Z^∗6 = {1, 5}, Z^∗d = Z^∗3 = {1, 2} i mamy v(d, n) = ϕ(n)/ϕ(d) = 1. Dla a = 1 ∈ Z^∗3

istnieje dokładnie jeden element b ∈ Z^∗6 taki, że b ≡ 1 (mod 3). Tym elementem jest b = 1. Dla a = 2 ∈ Z^∗3 istnieje dokładnie jeden element b ∈ Z^∗6 taki, że b ≡ 2 (mod 3).

Tym elementem jest b = 5.

Przykład 2.3. Zdanie A(3, 12) jest prawdziwe.

Dowód. Niech d = 3, n = 12. Wtedy ϕ(n) = ϕ(12) = 4, ϕ(d) = ϕ(3) = 2, Z^∗n = Z^∗12 = {1, 5, 7, 11}, Z^∗d = Z^∗3 = {1, 2} i mamy v(d, n) = ϕ(n)/ϕ(d) = 2. Dla a = 1 ∈ Z^∗3 istnieją dokładnie dwa elementy b ∈ Z^∗12 takie, że b ≡ 1 (mod 3). Tymi elementami są b = 1 oraz b = 7. Dla a = 2 ∈ Z^∗3 istnieją dokładnie dwa elementy b ∈ Z^∗12 takie, że b ≡ 2 (mod 3). Tymi elementami są b = 5 oraz b = 11.

Stwierdzenie 2.4. Dla każdego n ∈ N prawdziwe są zdania A(1, n) oraz A(n, n).

Dowód. Jeśli d = 1, to v(d, n) = ϕ(n), Z^∗1 = {1, 1} i oczywiście każdy element b ∈ Z^∗n spełnia kongruencję b ≡ 1 (mod 1).

Jeśli d = n, to v(n, n) = 1, Z^∗d = Z^∗n i oczywiście każdy element b ∈ Z^∗d spełnia kongruencję b ≡ b (mod n).

Dalej możemy zakładać, że 1 < d < n. W szczególności już wiemy, że zdanie A(d, n) jest prawdziwe w przypadku, gdy p jest liczbą pierwszą (gdyź wtedy d = 1 lub d = n).

Przykład 2.5. Jeśli p jest liczbą pierwszą, to zdanie A(p, p²) jest prawdziwe.

Dowód. Teraz d = p, n = p², Z^∗p = {1, 2, . . . , p − 1} oraz v(d, n) = ϕ(p²)/ϕ(p) = (p² − p)/(p − 1) = p. Niech a ∈ Z^∗p i niech b ∈ Z^∗p² będzie takie, że b ≡ a (mod p).

Wtedy b = kp + a, gdzie 06 k < p. Każde takie k jest dobre. Rozważanych elementów b jest więc dokładnie p, czyli jest ich ϕ(n)/ϕ(d).

(5)

Stwierdzenie 2.6. Jeśli n jest potęgą liczby pierwszej, to zdanie B(n) jest prawdziwe.

Dowód. Niech p będzie liczbą pierwszą i niech n = p^s, gdzie s > 1. Niech d | n.

Wtedy d = p^t dla pewnego 0 6 t 6 s. Przypadki t = 0 oraz t = s można pominąć, gdyż te przypadki były rozpatrzone w Stwierdzeniu 2.4. Zakładamy więc, że 0 < t < s.

Mamy wtedy

v(d, n) = ϕ(n)

ϕ(d) = p^s− p^s−1

p^t− p^t−1 = p^s−1(p − 1)

p^t−1(p − 1) = p^s−t.

Niech a ∈ Z^∗d i niech b ∈ Zn będzie takie, że b ≡ a (mod p^t). Wtedy b = kp^t+ a, gdzie 06 k < p^s−t i oczywiście nwd(b, p^s) = 1, czyli b ∈ Z^∗n. Każde takie k jest dobre.

Rozważanych elementów b jest więc dokładnie p^s−t, czyli jest ich ϕ(n)/ϕ(d).

W dowodzie następnego stwierdzenia wykorzystamy twierdzenie chińskie o resztach.

Stwierdzenie 2.7. Niech n₁, n₂ będą względnie pierwszymi liczbami naturalnymi i niech n = n₁ · n₂. Załóżmy, że zdania B(n₁) oraz B(n₂) są prawdziwe. Wtedy zdanie B(n) jest również prawdziwe.

Dowód. Niech d będzie naturalnym dzielnikiem liczby n. Wtedy d = d₁d₂, gdzie d₁, d₂ ∈ N oraz d1 | n₁, d₂ | n₂ i nwd(d₁, d₂) = 1. Założmy, że a ∈ Z^∗d. Mamy wtedy 1 6 a < d oraz nwd(a, d) = 1. Niech a1 będzie resztą z dzielenia liczby a przez d₁ i niech a2 będzie resztą z dzielenia liczby a przez d2. Wtedy nwd(a1, d₁) = 1 oraz nwd(a₂, d₂) = 1, a więc a₁ ∈ Zd^∗1 oraz a₂ ∈ Z^∗d2.

Ponieważ zdanie B(n₁) jest prawdziwe, więc istnieje dokładnie v(d₁, n₁) = ϕ(n₁)/ϕ(d₁) takich liczb całkowitych b1, że b1 ∈ Z^∗n1 oraz b1 ≡ a₁(mod n1). Niech u1, . . . u_s będą wszystkimi takimi liczbami b₁; tutaj s = v(d₁.n₁).

Ponieważ zdanie B(n₂) jest prawdziwe, więc istnieje dokładnie v(d₂, n₂) = ϕ(n₂)/ϕ(d₂) takich liczb całkowitych b2, że b2 ∈ Z^∗n2 oraz b2 ≡ a₂(mod n2). Niech v1, . . . v_t będą wszystkimi takimi liczbami b₂; tutaj t = v(d₂, n₂) = ϕ(n₂)/ϕ(d₂).

Rozpatrzmy parę (u_i, v_j), gdzie i ∈ {1, . . . , s} oraz j ∈ {1, . . . , t}. Ponieważ liczby n₁, n₂ są względnie pierwsze, więc na mocy twierdzenia chińskiego o resztach istnieje dokładnie jedna liczba całkowita bij taka, że







b_ij ∈ {0, 1, . . . , n − 1}, b_ij ≡ u_i (mod n₁), bij ≡ vj (mod n2).

Udowodnimy, że wszystkie liczby postaci b_ij spełniają następujące warunki:

(1) b_ij ∈ Z^∗n;

(2) b_ij ≡ a (mod d);

(3) liczby bij są parami różne;

(4) każdy element b ∈ Z^∗n taki, że b ≡ a (mod n) jest postaci bij.

(6)

p | b_ij oraz b_ij ≡ u_i(mod n₁) i wtedy mamy sprzeczność z tym, że nwd(u_i, n₁) = 1. Do podobnej szprzeczności dochodzimy, gdy p | n₂. Zatem nwd(b_ij, n) = 1, a więc b_ij ∈ Z^∗n. Warunek (2). Wiemy, że b_ij ≡ u_i(mod n₁), b_ij ≡ v_j(mod n₂), u_i ≡ a₁(mod d₁), v_j ≡ a₂(mod d₂) oraz d₁ | n₁, d₂ | n₂. Mamy zatem

( b_ij ≡ a₁ (mod d₁), b_ij ≡ a₂ (mod d₂).

Przypomnijmy, że d₁d₂ = d. Ponieważ nwd(d₁, d₂) = 1, więc z twierdzenia chińskiego o resztach wynika, że istnieje dokładnie jedno c ∈ {0, 1, . . . , d − 1} takie, że c ≡ a₁ (mod d1) oraz c ≡ a2(mod d2). Ponadto, każda liczba całkowita x spełniająca układ kongruencji x ≡ a₁(mod d₁) oraz x ≡ a₂(mod d₂) jest postaci x = c + kd, gdzie k ∈ Z.

Wiemy jednak, że a ∈ {0, 1, . . . , d − 1}, a ≡ a₁(mod d₁) oraz a ≡ a₂(mod d₂). Zatem tą jedyną liczbą c jest liczba a. Zatem bij = a + kd dla pewnego k ∈ Z, a zatem b^ij ≡ a (mod d).

Warunek (3). Przypuśćmy, że b_ij = b_i⁰_j⁰ dla pewnych i, i⁰ ∈ {1, . . . , s} oraz j, j⁰ ∈ {1, . . . , t}. Wtedy u_i ≡ b_ij = bi⁰j⁰ ≡ u_i⁰(mod n1). Ale 0 6 ui, u_i⁰ < n₁, więc ui = ui⁰, a zatem i = i⁰. Podobnie v_j ≡ b_ij = b_i⁰_j⁰ ≡ v_j⁰(mod n₂). Ale 0 6 vj, v_j⁰ < n₂, więc v_j = v_j⁰, a zatem j = j⁰.

Warunek (4). Niech b ∈ Z^∗n i niech b ≡ a (mod n). Oznaczmy przez u, v reszty z dzielenia liczby b odpowiednio przez n₁ oraz n₂. Wtedy oczywiście u ∈ Z^∗n1, v ∈ Z^∗n2, b ≡ u (mod n₁) oraz b ≡ v (mod n₂). Ponadto, b ≡ a₁(mod d₁) (gdyż d₁ | n₁ i a ≡ a₁ (mod d1)) oraz b ≡ a2(mod d2) (gdyż d2 | n₂ i a ≡ a2(mod d2)). Zatem u ≡ b ≡ a1

(mod d₁) oraz v ≡ b ≡ a₂(mod d₂), a zatem u = u_i dla pewnego i ∈ {1, . . . , s} oraz v = v_j dla pewnego j ∈ {1, . . . , t}. Stąd, na mocy jedyności w twierdzeniu chińskim o resztach wnioskujemy, że b = bij. Wszystkie warunki (1) − (4) zostały więc udowod- nione.

Udowodniliśmy zatem, że dla danego a ∈ Z^∗distnieje dokładnie s·t takich elementów b ∈ Z^∗n, że b ≡ a (mod d). Zauważmy, że

s · t = ϕ(n₁)

ϕ(d₁) · ϕ(n₂)

ϕ(d₂) = ϕ(n₁n₂)

ϕ(d₁d₂) = ϕ(n)

ϕ(d) = v(d, n).

Udowodniliśmy więc, że zdanie B(n) jest prawdziwe.

Z powyższych Stwierdzeń 2.6 oraz 2.7 wynika następujące istotne twierdzenie.

Twierdzenie 2.8. Niech d, n ∈ N oraz d | n. Wówczas dla każdego a ∈ Z^∗d istnieje dokładnie v(d, n) = ^ϕ(n)_ϕ(d) takich elementów b ∈ Z^∗n, że b ≡ a (mod d).

Z tego twierdzenia wynika

Twierdzenie 2.9. Niech d, n ∈ N oraz d | n. Wówczas dla dowolnych a1, a₂ ∈ Z^∗d

istnieje dokładnie v(d, n) = ^ϕ(n)_ϕ(d) takich elementów b ∈ Z^∗n, że ba₁ ≡ a₂(mod d).

(7)

Dowód. Niech a₁, a₂ ∈ Z^∗d. Istnieje wtedy taki element c ∈ Z^∗d, że ca₁ ≡ 1 (mod d).

Wtedy reszta z dzielenia liczby ca₂ przez d należy do Z^∗d i na mocy Twierdzenia 2.8 istnieje dokładnie v(d, n) takich elementów b ∈ Z^∗n, że b ≡ ca₂(mod d). Wszystkie te elementy b spełniają kongruencję ba₁ ≡ a₂(mod d).

3 Własności i zastosowania liczb v(d,n)

Przedstawimy kilka stwierdzeń, wniosków i komentarzy dotyczących Twierdzenia 2.8. Początkowe stwierdzenia są konsekwencjami tego twierdzenia.

Stwierdzenie 3.1. Niech d, n będą liczbami naturalnymi takimi, że d | n. Wtedy w zbiorzeⁿ0, 1, . . . ,ⁿ_d − 1^ojest dokładnie ^ϕ(n)_ϕ(d) takich liczb k, że liczba kd+1 jest względnie pierwsza z liczbą n.

Dowód. Wykorzystujemy Twierdzenie 2.8 dla a = 1. Oczywiście 1 ∈ Z^∗d. Istnieje więc dokładnie ϕ(n)/ϕ(d) takich liczb b ∈ Z^∗n, że b ≡ 1 (mod d). Niech b będzie jedną z takich liczb. Wtedy b jest względnie pierwsze z n i jest postaci kd + 1, gdzie k ∈ {0, 1, . . . ,ⁿ_d − 1}. Możliwych liczb k jest więc dokładnie ϕ(n)/ϕ(d).

Stwierdzenie 3.2. Niech d, n będą nieparzystymi liczbami naturalnymi takimi, że d | n.

Wtedy w zbiorze ⁿ0, 1, . . . ,ⁿ_d − 1^o jest dokładnie ^ϕ(n)_ϕ(d) takich liczb k, że liczba kd + 2 jest względnie pierwsza z liczbą n.

Dowód. Wykorzystujemy Twierdzenie 2.8 dla a = 2. Oczywiście 2 ∈ Z^∗d. Istnieje więc dokładnie ϕ(n)/ϕ(d) takich liczb b ∈ Z^∗n, że b ≡ 2 (mod d). Niech b będzie jedną z takich liczb. Wtedy b jest względnie pierwsze z n i jest postaci kd + 2, gdzie k ∈ {0, 1, . . . ,ⁿ_d − 1}. Możliwych liczb k jest więc dokładnie ϕ(n)/ϕ(d).

Załóżmy, że d | n i rozpatrzmy relację ∼ na zbiorze Z^∗n, zdefiniowaną w następujący sposób. Jeśli b₁, b₂ ∈ Z^∗n, to

b₁ ∼ b₂ gdy b₁ ≡ b₂ (mod d) .

Jest oczywiste, że jest to relacja typu równoważności. Zbiór Z^∗n jest więc sumą parami rozłącznych klas abstrakcji względem tej relacji.

Stwierdzenie 3.3. Zakładamy, że d | n. Relacja ∼ ma dokładnie ϕ(d) parami różnych klas abstrakcji. Wszystkie klasy abstrakcji są równoliczne. Każda klasa abstrakcji ma dokładnie v(d, n) = ^ϕ(n)_ϕ(d) elementów.

Dowód. Niech b₀ ∈ Z^∗n. Oznaczmy przez a resztę z dzielenia liczby b₀ przez d.

Wtedy a ∈ Z^∗d (patrz Stwierdzenie 1.2) oraz b₀ ≡ a (mod d). Z Twierdzenia 2.8 wiemy, że istnieje dokładnie v(d, n) takich elementów b ∈ Z^∗n, że b ≡ a (mod d). Wszystkie te elementy b spełniają kongruencję b ≡ b₀(mod d), a więc b ∼ b₀. Klasa abstrakcji wyznaczona przez element b₀ ma więc dokładnie v(d, n) elementów. Każda więc klasa

(8)

abstrakcji ma dokładnie v(d, n) elemetów. Wszyskie więc klasy abstrakcji są równo- liczne. Zbiór Z^∗n ma dokładnie ϕ(n) elementów. Liczba klas abstrakcji jest więc równa

ϕ(n)

v(d,n) = ϕ(d).

Przykład 3.4. Niech n = 20, d = 5. Wtedy ϕ(n) = ϕ(20) = 8, ϕ(5) = 4, Z^∗n = {1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19}, Z^∗d= {1, 2, 3, 4},

n/d = 4, v(d, n) = 2. Relacja ∼ ma 4 klasy abstrakcji: {1, 11}, {7, 17}, {3, 13}, {9, 19}.

Każda klasa abstrakcji ma dokładnie 2 elementy.

Przykład 3.5. Niech n = 25, d = 5. Wtedy ϕ(n) = ϕ(25) = 20, ϕ(5) = 4,

Z^∗n = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 21, 22, 23, 24}, Z^∗d= {1, 2, 3, 4}, n/d = 5, v(d, n) = 5. Relacja ∼ ma 4 klasy abstrakcji:

{1, 6, 11, 16, 21}, {2, 7, 12, 17, 22}, {3, 8, 13, 18, 23}, {4, 9, 14, 19, 24}.

Każda klasa abstrakcji ma dokładnie 5 elementów.

Przykład 3.6. Niech n = 30, d = 6. Wtedy ϕ(n) = ϕ(30) = 8, ϕ(6) = 2, Z^∗n = {1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}, Z^∗d= {1, 5},

n/d = 5, v(d, n) = 4. Relacja ∼ ma 2 klasy abstrakcji: {1, 7, 13, 19}, {11, 17, 23, 29}.

Każda klasa abstrakcji ma dokładnie 4 elementy.

Ze Stwierdzenia 1.3 wynika, że jeśli d | n, to grupa abelowa B = Z^∗n działa w odpowiedni sposób na zbiór A = Z^∗d. Wyjaśnijmy to dokładniej. Niech πd(u) oznacza resztę z dzielenia liczby całkowitej u przez d. Niech F : B × A → A będzie funkcją zdefiniowaną następująco:

F (b, a) = π_d(ba) .

dla (b, a) ∈ B × A. Łatwo sprawdzić, że funkcja ta spełnia warunki:

Stwierdzenie 3.7.

(1) F

b₁b₂, a

= F

b₁, F (b₂, a)

dla b₁, b₂ ∈ B, a ∈ A;

(2) F (1, a) = a dla a ∈ A.

Mamy więc działanie grupy B na zbiorze A. Podstawowe informacje o takich działa- niach znajdziemy na przykład w książkach [3], [4], [2], [1]. Dla ustalonego elementu b ∈ B oznaczmy przez F_b odwzorowanie z A do A określone wzorem

F_b(a) = F (b, a) dla a ∈ A.

(9)

Ze Stwierdzenia 3.7 wynika, że wtedy F_b₁ ◦ F_b₂ = F_b₁_b₂ dla wszystkich b₁, b₂ ∈ B i ponadto, F₁ jest odwzorowaniem tożsamościowym. Każde więc F_b jest permutacją zbioru A. W szczególności F_b⁻¹ = F_b⁻¹.

Niech a₁, a₂ ∈ A. Pisać będziemy a₁ ≈ a₂, jeśli istnieje takie b ∈ B, że a₂ = F_b(a₁).

Jest oczywiste, że ≈ jest relacją typu równoważności na zbiorze A. Klasy abstrakcji względem tej relacji nazywa się zwykle orbitami.

Niech a ∈ A i niech [a] oznacza orbitę elementu a, czyli klasę abstrakcji elementu a względem realcji ≈. Mamy wtedy

[a] =

c ∈ A; c ≈ a

=

c ∈ A; ∃

b∈Bc = F_b(a)

=

F_b(a); b ∈ B

=

π_d(ba); b ∈ B

. Przypomnijmy, że π_d(u) oznacza resztę z dzielenia liczby całkowitej u przez d. Spójrzmy na przykłady:

Przykład 3.8. Niech n = 20, d = 5. Wtedy B = Z^∗20= {1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19} oraz A = Z^∗5 = {1, 2, 3, 4}. Zauważmy, że 2 = F7(1), 3 = F3(1) oraz 4 = F9(1). Zatem orbitą elementu 1 ∈ A jest zbiór [1] = {1, 2, 3, 4}, czyli cały zbiór A. Orbitą każdego elementu zbioru A jest cały zbiór A. Rozważane działanie ma więc tylko jedną orbitę.

Przykład 3.9. Niech n = 25, d = 5. Wtedy A = Z^∗5 = {1, 2, 3, 4} oraz

B = Z^∗25 = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 21, 22, 23, 24}.

Zauważmy, że 2 = F₇(1), 3 = F₃(1) oraz 4 = F₉(1). Zatem orbitą elementu 1 ∈ A jest zbiór [1] = {1, 2, 3, 4}, czyli cały zbiór A. Wszystkie orbity są równe A. Rozważane działanie ma więc tylko jedną orbitę.

Przykład 3.10. Niech n = 30, d = 6. Wtedy B = Z^∗30 = {1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}

oraz A = Z^∗6 = {1, 5}. Mamy tu 1 = F11(5) i 5 = F11(1), a więc [5] = [1] = {1, 5} = A.

Rozważane działanie ma więc tylko jedną orbitę.

Jeśli dane działanie grupy na zbiór ma tylko jedną orbitę, to mówi się, że to dzia- łanie jest przechodnie (lub, że jest tranzytywne). W każdym z powyższych przykładów omawiane działanie jest przechodnie. Tak jest w każdym przypadku.

Stwierdzenie 3.11. Powyższe działanie F jest przechodnie.

Dowód. Wynika to natychmiast z Twierdzenia 2.9.

Zanotujmy jeszcze kilka obserwacji dotyczących stabilizatorów. Co to jest stabili- zator? Załóżmy, że H : G × X → X jest dowolnym działaniem grupy G na zbiór X.

Jeśli x jest elementem zbioru X, to jego stabilizatorem nazywamy podzbiór G_x grupy G zdefiniowany następująco:

G_x =

g ∈ G; H_g(x) = x

. W takim ogólnym przypadku łatwo można udowodnić:

(10)

Stwierdzenie 3.12. Niech H : G × X → X będzie działaniem skończonej grupy G na skończony zbiór X i niech x ∈ X. Wtedy:

(1) stabilizator G_x jest podgrupą grupy G;

(2) liczba elementów orbity elementu x jest równa indeksowi podgrupy G_x w grupie G. Innymi słowy, #[x] = (G : Gx).

Proste dowody znajdziemy w każdej z wymienionych wcześniej książek.

W naszym przypadku grupą G jest B = Z^∗n, zbiorem X jest A = Z^∗doraz działaniem H jest działanie F : B × A → A. Przypomnijmy, że F (b, a) = π_d(ba) dla (b, a) ∈ B × A.

Niech a ∈ A. Stabilizatorem elementu a jest zbiór B_a =

b ∈ B; ba ≡ a (mod d)

.

Zbiór ten, jak już wiemy, jest podgrupą grupy B. Mamy w szczególności B₁ =

b ∈ B; b ≡ 1 (mod d)

.

Stwierdzenie 3.13. Dla każdego a ∈ A zachodzi równość Ba = B₁.

Dowód. Ustalmy a ∈ A. Niech b ∈ B_a. Wtedy ba ≡ a (mod d), a więc d | a(b − 1).

Ale nwd(a, d) = 1, więc d | b − 1 czyli b ≡ 1 (mod d), czyli b ∈ B₁. Wykazaliśmy, że B_a ⊆ B₁. Niech teraz b ∈ B₁. Wtedy b ≡ 1 (mod d) i stąd ba ≡ a (mod d), a zatem B₁ ⊆ B_a.

W naszym przypadku mamy więc tylko jeden stabilizator.

Stwierdzenie 3.14. |B₁| = v(d, n) = ^ϕ(n)_ϕ(d).

Dowód. Wynika to z Twierdzenia 2.8, gdyż B₁ = {b ∈ B; b ≡ 1 (mod d)}.

(11)

Literatura

[1] Cz. Bagiński, Wstęp do Teorii Grup, SCRIPT, Warszawa 2002.

[2] A. Białynicki Birula, Zarys Algebry, PWN, Warszawa 1987.

[3] J. Browkin, Wybrane Zagadnienia Algebry, PWN, Warszawa, 1968.

[4] J. Browkin, Teoria Ciał, PWN, Warszawa, 1977.

[5] A. Nowicki, Funkcje Arytmetyczne, Podróże po Imperium Liczb, cz.5, Wydanie Drugie, Wydawnictwo OWSIiZ, Toruń, Olsztyn, 2012.

[6] A. Nowicki, Wielomiany, Podróże po Imperium Liczb, cz.12, Wydanie Drugie, Wydawnictwo OWSIiZ, Toruń, Olsztyn, 2013.

[7] W. Sierpiński, Teoria Liczb, Warszawa - Wrocław, 1950.

[8] W. Sierpiński, Elementary Theory of Numbers, Editor: A. Schinzel, North-Holland Mathematical Library, Vol. 31, 1988.

Nicolaus Copernicus University, Faculty of Mathematics and Computer Science, 87-100 Toruń, Poland, (e-mail: anow@mat.uni.torun.pl).