Rachunek Prawdopodobieństwa MAP1181 Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana Lista 7. Rozwiązanie zadania 7.2 (a) Opracowanie: Aleksandra Małecka

Rachunek Prawdopodobieństwa MAP1181

Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana Lista 7. Rozwiązanie zadania 7.2 (a)

Opracowanie: Aleksandra Małecka

Zadanie 7.2

(a) Funkcja f (x, y) =

( ₈

9y³(5x + 2) dla 0 < x < 1, 0 < y < 1

0 poza tym. jest gęstością wektora losowego

(X, Y ). Oblicz P ((X, Y ) ∈ ∆), gdzie ∆ to obszar 0 ¬ y ¬ 1, 0 ¬ x ¬ 2y. Wyznacz rozkłady brzegowe wektora losowego (X, Y ). Czy X i Y są niezależne?

Rozwiązanie:

• Oznaczamy przez K kwadrat 0 < x < 1, 0 < y < 1.

P ((X, Y ) ∈ ∆) =

Z Z

∆

f (x, y)dxdy = 8 9

Z Z

∆∩K

(5x+2)y³dxdy = 8 9

1

Z

0

dx

1

Z

x 2

(5x+2)y³dy =

= 8 9

1

Z

0

(5x+2)

"

1 4y⁴

#1

x 2

dx = 8 9

1

Z

0

(5x+2) 1 4− 1

64x⁴

!

dx = 8 9

1

Z

0

5 4x− 5

64x⁵+1 2− 1

32x⁴

!

dx =

= 8 9

"

5

2 · 4x²− 5

64 · 6x⁶+1 2− 1

32 · 5x⁵

#1

0

= 8 9

5 8− 5

384+1 2− 1

160

!

= 8 9

2123 1920

!

= 2123 2160 ≈

≈ 0.9829

• Rozkłady brzegowe są postaci:

f_X(x) =

∞

Z

−∞

f (x, y)dy =







8

9(5x + 2)^R1

0

y³dy = ⁸₉(5x + 2)^h1₄y⁴ⁱ¹

0 = ⁸₉(5x + 2)¹₄ = ²₉(5x + 2) dla 0 < x < 1

0 dla pozostałych x.

f_Y(y) =

∞

Z

−∞

f (x, y)dx =







8 9y³

1

R

0

(5x + 2)dx = ⁸₉y^3h5₂x²+ 2xⁱ¹

0 = ⁸₉y³(⁵₂ + 2) = ⁸₉y^{3 9}₂ = 4y³ dla 0 < y < 1

0 dla pozostałych y.

• Ponieważ dla każdego (x, y) mamy f_X(x)fY(y) = f (x, y), więc także:

F_XY(x, y) = F_X(x)F_Y(y) ∀(x, y), a stąd wynika, że zmienne losowe X i Y są niezależne.

1