Rachunek Prawdopodobieństwa MAP1181 Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana
Lista 8. Rozwiązanie zadania 8.2 - dodatkowy podpunkt (g) Opracowanie: Monika Gruszka
Zadanie 8.2
(g) Średnio aż dwa na dziesięć kupionych jaj nie nadaje się na pisankę.
(I) Oszacuj prawdopodobieństwo, że wśród 60 kupionych jaj będzie mniej niż 45 nada- jących się na pisankę.
(II) Ile trzeba kupić jaj, aby z prawdopodobieństwem co najmniej 0.9 zapewnić zrobienie 50 pisanek?
Rozwiązanie:
Model: schemat Bernoulliego, sukces to jajko nadające się na pisankę, prawdopodobieństwo sukcesu to p = 0.8. Oznaczmy przez Sn liczbę sukcesów w n próbach, tzn. liczbę tych jaj spośród n kupionych, które nadają się na pisankę.
(I) Dla n = 60 mamy oszacować P (Sn< 45). Możemy skorzystać z twierdzenia de Moivre’a- Laplace’a, ponieważ n jest dość duże. Otrzymujemy
P (Sn< 45) ≈ Φ 45 − 0.5 − 0.8 · 60 0.4 ·√
60
!
≈ Φ(−1.13) = 1 − Φ(1.13) = 1 − 0.8708 = 0.1292,
gdzie błąd przybliżenia nie przekracza p2+(1−p)2
2
√
p(1−p)√
n = (0.8)2+(0.2)2
2
√
0.8(0.2)√
60 = 0.85√60 ≈ 0.110.
Odp. Prawdopodobieństwo, że kupując 60 jaj, wystarczy ich na mniej niż 45 pisanek wynosi 0.1292 ± 0.11. (Wynik otrzymany w Matlabie na podstawie wzorów dokładnych komendą binocdf(45-1,60,0.8) to 0.1306.)
(II) Szukamy teraz takiego n 50, żeby
P (Sn 50) 0.9. (1)
Korzystając z tw. Moivre’a-Laplace’a mamy:
P (Sn 50) = 1 − P (Sn< 50) ≈ 1 − Φ 50 − 0.5 − 0.8n 0.4√
n
!
,
przy czym błąd przybliżenia nie przekracza p2+(1−p)2
2√
p(1−p)√
n = 0.85√n. Poszukamy teraz takich n ∈ N, żeby
Φ 49.5 − 0.8n 0.4√
n
!
¬ 0.1 (2)
Odczytujemy z tablic standardowego rozkładu normalnego, że Φ(1.282) = 0.9 ⇔ Φ(−1.282) = 0.1 i stąd (2) jest spełnione wtedy i tylko wtedy, gdy:
49.5 − 0.8n 0.4√
n ¬ −1.282, n ∈ N. (3)
1
Podstawiając t =√
n i mnożąc obustronnie nierówność przez dodatni mianownik otrzy- mujemy, że n ∈ N spełnia (3) ⇔ t =√
n 0 spełnia
0.8t2− 0.5128t − 49.5 0. (4)
Obliczamy wyróżnik ∆ = (0.5128)2+ 4 · 0.8 · 49.5 ≈ 158.623 i wyznaczamy miejsca zerowe powyższej funkcji kwadratowej: t1 = 0.5128−
√
∆
2·0.8 ≈ −7.551 < 0 oraz t2 = 0.5128+
√
∆
2·0.8 ≈ 8.192.
Wnioskujemy stąd, że warunek (4) jest spełniony przez t 0 ⇔ t 8.192. Zatem (3) zachodzi ⇔ t =√
n 8.192, n ∈ N ⇔ n 8.1922 = 67.110, n ∈ N ⇔ n 68, n ∈ N.
Dla n 68 błąd przybliżenia w (2) nie przekracza 0.85√n ¬ √0.85
68 ≈ 0.103. Po uwzględnieniu błędu przybliżenia otrzymujemy zatem, że dla n 68
0.797 = 0.9 − 0.103 ¬ P (Sn 50) ¬ 0.9 + 0.103 = 1.003
Wynika stąd, że zastosowana metoda nie daje gwarancji, że warunek (1) jest spełniony dla n 68. Jednak mając kandydata n = 68 możemy sprawdzić numerycznie, czy spełnia on nasze wymagania. Wynik otrzymany w Matlabie na podstawie wzorów dokładnych komendą 1-binocdf(50-1,68,0.8) to 0.9273. Zatem istotnie:
Odp. wystarczy kupić 68 jaj, aby z prawdopodobieństwem co najmniej 0.9 zapewnić zro- bienie co najmniej 50 pisanek. (Notabene 67 jaj nie wystarczy, bo 1-binocdf(50-1,67,0.8) daje wynik 0.8923.)
Uwaga:
Jeżeli nie dysponowalibyśmy pakietem matematycznym, moglibyśmy wyznaczyć n speł- niające (1) z warunków
Φ49.5−0.8n0.4√n ¬ 0.1 − ε,
0.85√
n ¬ ε ⇔
Φ49.5−0.8n0.4√n ¬ 0.1 − ε, n 0.85ε 2
dla pewnego 0 < ε < 0.1. Wtedy wnioskujemy, że
0.9 = (0.9 + ε) − ε ¬ P (Sn 50) ¬ (0.9 + ε) + ε = 0.9 + 2ε,
czyli z prawdopodobieństwem co najmniej 0.9 zapewnione jest zrobienie 50 pisanek z n kupionych jaj.
Ze względu na drugą nierówność warto wybierać ε blisko 0.1. Dla przykładu ustalmy ε = 0.0995. Szukamy takiego n, aby
Φ49.5−0.8n0.4√n ¬ 0.0005,
n 0.09950.85 2 ≈ 72.97 (5)
Odczytujemy z tablic standardowego rozkładu normalnego:
Φ(3.291) = 0.9995 ⇔ Φ(−3.291) = 0.0005.
Zatem warunki (5) są równoważne
( 49.5−0.8n
0.4√
n ¬ −3.291, n 73.
Przeprowadzając analogiczny rachunek jak poprzednio, otrzymujemy, że warunki (5) są spełnione ⇔ n 77. Wynika stąd, że
Odp. wystarczy kupić 77 jaj, aby z prawdopodobieństwem co najmniej 0.9 zapewnić zrobienie 50 pisanek.
2
