Rachunek Prawdopodobieństwa MAP1181 Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana Lista 1. Rozwiązanie zadania 1.1 (d) i (e)
Opracowanie: Tomasz Serafin
Zadanie 1.1
(d) Wykaż, że jeżeli w przestrzeni probabilistycznej wszystkie stany mają takie samo prawdopodo- bieństwo dodatnie, to zbiór zdarzeń elementarnych jest skończony.
(e) Wykaż, że jeżeli w przestrzeni probabilistycznej wszystkie stany mają prawdopodobieństwo równe zero, to zbiór zdarzeń elementarnych nie jest przeliczalny.
Rozwiązanie podpunktu (d):
Zauważmy, że dla skończonego zbioru zdarzeń elementarnych mamy możliwość określenia przestrzeni probabilistycznej z prawdopodobieństwem klasycznym, w której wszystkie stany mają takie samo prawdopodobieństwo dodatnie. Tezę postawioną w zadaniu, że dla nieskończonej przestrzeni stanów nie ma takiej możliwości, udowodnimy niewprost. Załóżmy, że Ω - zbiór nieskończony. Wtedy istnieje nieskończony zbiór przeliczalny A = {ω1, ω2, . . .} ⊂ Ω. Z założeń zadania wiemy, że istnieje > 0 takie, że P ({ωi}) = ∀i∈N.
Widzimy, że:
A =
∞
[
i=1
{ωi}, gdzie {ω1}, {ω2}, . . . są parami rozłączne.
Z własności prawdopodobieństwa otrzymujemy zatem, że P (A) = P
∞
[
i=1
{ωi}
!
=
∞
X
n=1
P ({ωi}) =
∞
X
n=1
=
∞
X
n=1
1 → ∞ > 1.
To generuje oczywistą sprzeczność z własnością prawdopodobieństwa, że 0 ¬ P (A) ¬ 1. Stąd wynika, że Ω musi być zbiorem skończonym.
Rozwiązanie podpunktu (e):
Zauważmy, że np. w przestrzeni probabilistycznej Ω = [0, 1] (zbiór nieprzeliczalny) z F = B i praw- dopodobieństwem geometrycznym wszystkie stany mają prawdopodobieństwo równe zero. Tezę po- stawioną w zadaniu, że nie może tak się zdarzyć dla przeliczalnej przestrzeni stanów, udowodnimy niewprost. Rozważamy dwa przypadki.
1) Założenia: Ω - zbiór skończony, Ω = {ω1, ω2, . . . , ωN}. Zdarzenia {ω1}, {ω2}, . . . , {ωN} są parami rozłączne oraz P ({ωi}) = 0 ∀i∈{1,2,...,N }.
Korzystając z założeń mamy:
P (Ω) = P
N
[
i=1
{ωi}
!
=
N
X
n=1
P ({ωi}) = N · 0 = 0 – sprzeczność, ponieważ P (Ω) = 1.
Zatem Ω nie może być zbiorem skończonym.
2) Założenia: Ω - zbiór nieskończony, przeliczalny; Ω = {ω1, ω2, . . .}. Zdarzenia {ω1}, {ω2}, . . . są parami rozłączne oraz P ({ωi}) = 0 ∀i∈N.
1
Definiujemy ciąg zdarzeń losowych A1, A2, . . . gdzie: A1 = {ω1}, A2 = {ω1, ω2}, . . . Jest jasne, że:
A1 ⊂ A2 ⊂ A3 ⊂ . . . oraz S∞n=1An = Ω. Zatem z własności prawdopodobieństwa wynikającej z definicji mamy:
1 = P (Ω) = P
∞
[
n=1
An
!
= lim
n→∞P (An).
Z drugiej strony,
∀n∈N P (An) = P ({ω1, ω2, . . . , ωn}) =
n
X
i=1
P ({ωi}) = 0 , ponieważ z założeń: P ({ωi}) = 0 ∀i∈N.
Stąd otrzymujemy:
n→∞lim P (An) = 0,
co jest sprzeczne z poprzednim wynikiem. Zatem Ω nie może być zbiorem nieskończonym przeliczal- nym.
Podsumowując, z punktów 1) i 2) wynika, że Ω jest zbiorem nieprzeliczalnym.
2
