Rachunek Prawdopodobieństwa MAP1181 Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana
Lista 1. Rozwiązanie zadania 1.4 (d) Opracowanie: Kamil Nowak
Zadanie 1.4
(d) Wybieramy losowo parę liczb (a, b) z prostokąta [−2, 2] × [−1, 1]. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że pierwiastki równania x2+ 2ax + b = 0 są rzeczywiste. W rozwiązaniu określ precyzyjnie przestrzeń probabilistyczną modelującą podaną sytuację.
Rozwiązanie:
• Ω = {(a, b) ∈ [−2, 2] × [−1, 1]}
F - podzbiory borelowskie
P - prawdopodobieństwo geometryczne
• A = {(a, b) ∈ Ω : równanie x2 + 2ax + b = 0 ma pierwiastki rzeczywiste} = {(a, b) ∈ Ω : a2 b}
Obliczenia pomocnicze:
równanie x2+ 2ax + b = 0 ma pierwiastki rzeczywiste
∆ 0
∆ = 4a2− 4b = 4(a2− b) 0 a2− b 0
a2 b
• pole Ω = Pp = pole prostokąta [−2, 2] × [−1, 1] = 8
• pole A = pole żółtej figury na Rysunku 1, czyli pole prostokąta (Pp) odjąć pole obszaru białego
Rysunek 1: Przestrzeń stanów Ω i zdarzenie losowe A (żółty obszar).
1
• Możemy zauważyć, że szukane pole białego obszaru na Rysunku 1 jest identyczne jak pole zielonego obszaru na Rysunku 2, które jest równe wartości całki:
Z 1
−1(−x2+ 1)dx
Wynika to z tego, że obroty i translacje są izometriami, więc możemy dowolnie prze- suwać i obracać obszar nie zmieniając wartości pola. W tym przypadku odbijamy funkcję y = x2 względem osi 0x oraz przesuwamy ją o 1 w górę, otrzymując funkcję y = −x2 + 1. Dzięki temu możemy obliczyć pole białego obszaru za pomocą całki oznaczonej.
Rysunek 2: Obszar (zielony) o takim samym polu, jak obszar biały na Rysunku 1.
• Pz - pole zielonego obszaru wynosi
Pz =
Z 1
−1(−x2+ 1)dx =h− x3 3 + xi1
−1 = 2 3+ 2
3 = 4 3
• Otrzymujemy zatem
P (A) = pole A
pole Ω = Pp− Pz
Pp = 8 −43 8 = 20
24 = 5
6 ≈ 0.833
2
