3) Na punkt materialny o masie m dziaªa siªa Fx = −k2x − ρ ˙x , ρ ≥ 0

Lista III, Fizyka Teoretyczna

1) Rozwa»my czastke poruszajaca sie na pªaszczy¹nie z predko±cia −→v i przyspiesze- niem −→a. Opisa¢ −→v i −→a za pomoca wspóªrzednych biegunowych, tj. za pomoca wektorów ortogonalnych:

−

→e_r = sin θ−→e₁+ cos θ−→e₂,

−

→e_θ = cos θ−→e₁− sin θ−→e₂,

oraz predko±ci radialnej i katowej i przyspieszenia radialnego i katowego.

2) Korzystajac z wyników poprzedniego zadania mamy wyra»enie na przyspiesznie

−

→a = −→e_r d²r

dt² − ω²r

 + −→e_θ



αr + 2ωdr dt

 .

Dokona¢ interpretacji poszczególnych czªonów w powy»szym wyra»eniu.

3) Na punkt materialny o masie m dziaªa siªa F_x = −k²x − ρ ˙x ,

ρ ≥ 0; (oscylacje z tªumieniem). Scaªkowa¢ równania ruchu tego punktu materialnego i przedyskutowa¢ wªasno±ci otrzymanych rozwiaza«.

4) Na punkt materialny o masie m dziaªa siªa

F_x = −k²x − ρ ˙x + F₀cos(νt) ,

ρ ≥ 0, k , F0, νsa staªymi; (oscylator tªumiony z siªa wymuszajaca). Scaªkowa¢

równania ruchu i przedyskutowa¢ wªasno±ci otrzymanych rozwiaza«.

5) Butelka unosi sie pionowo w du»ym wiadrze z woda. Stan równowagi ma miejsce, zanurzona jest na gªeboko±¢ d0poni»eej powierzchni wody. Poka», »e je±li zostanie przesunieta na gªboko±¢ d i pozostawiona, bedzie wykonywaªa ruch harmoniczny; znajd¹ czestotliwo±¢ oscylacji.

6) Przedyskutowa¢ ruch rakiety przy zaªo»eniu, »e predko±¢ gazów wylo- towych z jej silnika jest staªa. Znale¹¢ tor rakiety poruszajacej sie w polu grawitacyjnym Ziemi.

1

Theoretical Physics, sec.III

1) Consider a particle moving in the plane with velocity −→v and acceleration

−

→a. Describe −→v i −→a via radial coordinates, i.e. using the orthogonal vectors:

−

→e_r = sin θ−→e₁+ cos θ−→e₂,

−

→e_θ = cos θ−→e₁− sin θ−→e₂.

2) Using the result of the previous problem we arrive at the following formula for the acceleration

−

→a = −→e_r d²r

dt² − ω²r

 + −→e_θ



αr + 2ωdr dt

 . Explain the meaning of all terms in the above equation.

3) The force

F_x = −k²x − ρ ˙x ;

ρ ≥ 0, (damped oscillations) acts on the object of mass m. Integrate the motion equation and discuss the properties of obtained solutions.

4) The force

F_x = −k²x − ρ ˙x + F₀cos(νt) ,

ρ ≥ 0, k , F0, ν are constants, (damped oscillations with driven force) acts on the object of mass m. Integrate the motion equation and discuss the properties of obtained solutions.

5) A bottle is oating upright in a large bucket of water. In equilibrium it is submerged to a depth d0 below the surface of the water. Show that if it is pushed down to a depth d and released, it will execute harmonic motion, and nd the frequency of its oscillations.

6) Analyze the motion of rocket assuming that the velocity of the exhaust gases leaving its nozzle is constant. Find a trajectory of the rocket moving in the gravitational eld of Earth.

2