¿¿¿¿ ¿ = 0 x = B dx →¿ = 0 Bx = dx Ω= intersect {¿}¿ x ∈ E : ( a | x )≤ d

Zbiór Ω⊂Eⁿ nazywamy wypukłym, jeżeli dla każdych dwóch punktów

x, y∈Ω

z=Θx+(1−Θ) y

Ω dla każdego

Θ∈[ 0,1]

Hiperpłaszczyzną

H

H

={x ∈ E

:(a|x )=α }, a∈ E

, α∈ R

Hiperpłaszczyznę

H

punkcie x⁰, gdy zachodzi

x

∈ H

Ω⊂H

Ω⊂ H

Zbiór Ω⊂Eⁿ nazywamy ograniczonym od dołu (od góry), jeśli istnieje taki punkt

a∈E

x

≥a

,i=1,n

(

x

≤a

,i=1,n

)

Zbiór Ω⊂Eⁿ nazywamy ograniczonym, jeżeli jest ograniczony od dołu i od góry.

Wierzchołkiem zbioru wypukłego Ω⊂Eⁿ nazywamy taki punkt

x∈Ω

x'≠x'', x', x''∈Ω

x=Θx '+(1−Θ) x''

każdego

Θ∈(0,1)

Stożkiem S w przestrzeni Eⁿ nazywamy taki zbiór punktów x, że dla każdego

λ≥0

λ⋅x ∈S

λ⋅S⊂S

Zbiorem wielościennym nazywamy zbiór Ω _postaci:

x ∈ Eⁿ:( a_i|x )≤d_i Ω =intersect

i =1 m

{¿}

¿ przy czym istnieje takie i, że

d

≠ 0

Wielościanem nazywamy zbiór wielościenny ograniczony.

Funkcja rzeczywista f określona na wypukłym zbiorze Ω⊂Eⁿ

nazywa się wypukłą, jeśli dla każdego

x, y∈Ω

Θ∈[ 0,1]

f (Θx +(1−Θ ) y )≤Θf ( x )+(1−Θ )f ( y )

natomiast spełniona jest nierówność

f (Θx +(1−Θ ) y )≥Θf ( x )+(1−Θ )f ( y )

Ponadto, jeśli w pierwszym równaniu dla każdego

Θ∈(0,1)

każdych

x, y∈Ω

Analogicznie, jeśli w drugim równaniu dla każdego

Θ∈(0,1)

każdych

x, y∈Ω

Rozwiązaniem bazowym układu równań Ax=d odpowiadającym bazie B nazywamy rozwiązanie x tego układu postaci:

Bx^B=d x^R=0

→¿

x^B=B⁻¹d x^R=0

¿ {¿ ¿ ¿

¿ gdzie x^B – wektor składowych wektora x odpowiadających kolumnom bazy B; x^R – pozostałe składowe

Zmiennymi bazowymi rozwiązania bazowego x nazywamy te składowe wektora x, które odpowiadają wektorom bazy B. Pozostałe składowe tego wektora nazywamy zmiennymi wtórnymi.

Rozwiązanie bazowe x odpowiadające bazie B spełniającej warunki:

Δ= A

y−c≤0

0 dla j ∈N_B Δ_j≤0 dla j∈ N_R

¿

Δ_j=( y |a_j)−c_j=¿ ^{¿ ¿ ¿

¿ nazywamy

dualnie dopuszczalnym.

Rozwiązanie dualnie dopuszczalne staje się prymalnie dopuszczalnym, gdy x>=0 (tzn. x^B=B^-1d>=0, x^R=0)

Problem decyzyjny Π jest zadany, jeśli zadany jest zbiór parametrów tego problemu (bez nadanych wartości) oraz pytanie, na które odpowiedź brzmi „tak” lub „nie”

Rozmiarem N(z) konkretnego problemu decyzyjnego

z∈D

nazywamy długość łańcucha danych x(z), czyli N(z)=|x(z)|

Złożonością obliczeniową algorytmu  nazywamy funkcję postaci

, N ( z )= n

t ( z , α , n ) : z ∈ DΠ ¿ f_α(n )= max¿

z ∈ DΠ

¿

¿ gdzie t(z,

,n) – liczba elementarnych operacji (kroków DTM) potrzebna do rozwiązania problemu

z∈D

Mówimy, że algorytm  ma złożoność obliczeniową wielomianową, jeśli

istnieje stała c>0 oraz wielomian p(n), taki że:

n≥n

¿

f

(n)≤cp(n)

co zapiszemy

f

(n)=0( p( n))

Złożonością obliczeniową problemu Π nazywamy złożoność najlepszego możliwego algorytmu rozwiązującego ten problem Klasą P nazywamy klasę problemów decyzyjnych, których złożoność obliczeniowa jest wielomianowa

Mówimy, że problem decyzyjny Π należy do klasy NP, jeśli istnieje wielomian p(n) zależny od rozmiaru tego problemu oraz algorytm  (algorytm weryfikacji potwierdzenia) takie, że dla każdego konkretnego problemu

z∈D

z odpowiedzią „tak” i łańcucha danych x(z) istnieje łańcuch (potwierdzenie odpowiedzi „tak”) c(x) symboli alfabetu wyjściowego

, dla którego:

- |c(x)|=<p(N(z)),

- algorytm  po otrzymaniu na wejściu sekwencji x(z) # c(x(z)) (# koniec danych, początek potwierdzania) dochodzi do odpowiedzi „tak” po nie więcej niż p(N(z)) krokach

Problem decyzyjny Π ₁ jest wielomianowo transformowalny do

Π ₂, jeśli dla dowolnego łańcucha x danych problemu Π _{1 można w}

wielomianowym czasie (wielomian zależy od |x(z)|) zbudować łańcuch y danych problemu Π ₂, taki, że: x(z) będzie łańcuchem danych konkretnego problemu

z∈D

1 z odpowiedzią „tak” wtedy i tylko wtedy, gdy y(z’) będzie łańcuchem danych konkretnego problemu

z'∈D

2 z odpowiedzią „tak”; oznaczmy to następująco:

Π

∝ Π

Problem

Π ∈NP

Π ' ∈NP

¿ Π

Macierz B kwadratową, nieosobliwą o elementach całkowitych nazywamy unimodularną, gdy D= |det B| =1 gdzie det B - oznacza wyznacznik macierzy B

Całkowitoliczbową macierz A=(aij)mxn nazywamy całkowicie unimodularną, gdy każda jej podmacierz kwadratowa, nieosobliwa jest unimodularna

Podziałem P zbioru S nazywamy zbiór podzbiorów

S

, j=1,J

zbioru S, takich że:

S= ¿

j=1 J

S

,

S

∩S

 dla j  k

Oszacowaniem od góry wartości z(x^*(j)) nazywamy wartość

z

, taką, że

z

≥z( x

( j ))

Oszacowaniem od dołu wartości z(x^*(j)) nazywamy wartość

z

, taką, że

z

≤z( x

( j ))

Wektor zmiennych o ustalonych na drodze Dk wartościach

x

x

( k )=(x

)

k nazywamy rozwiązaniem częściowym (w wierzchołku Sk)

Wektor x^d(k)=(

x

k,

x

Dopełnienie x^d(k) nazywamy dopuszczalnym jeśli łącznie z rozwiązaniem częściowym x^c(k) tworzy wektor xS; w przeciwnym przypadku nazywamy niedopuszczalnym.

Parę (x^*, y^*) nazywamy punktem siodłowym funkcji F(x,y) w zbiorze AxB, jeżeli dla każdego xA ¿ _Eⁿ oraz każdego yB ¿ _E^m zachodzi: F(x^*, y) F(x^*, y^*) F(x, y^*)

Niech zbiór

R

^{f (x}

¿

)= min

x ∈R

f (x )

będzie zbiorem domkniętym w Eⁿ. Niech

F

(⋅)

F

1.

F

( x)

R

2.

F

( x)

R

3.

F

( x)

F

( x)

R

4.

F

( x )⃗

∞

R

Niech zbiór

R

^{f (x}

¿

)=min

x ∈R

f (x )

będzie zbiorem domkniętym. Niech Fk będzie funkcją określoną na wnętrzu

R

zbioru

R

1. Fk(x)>Fk+1(x)>0 dla każdego x

R

2.

F

( x )⃗

0

R

3.

F

( x

) ⃗

∞

R

takiego, że

x

⃗

x

∼

, k=0,1,2,... gdzie x^∼ _

∂ R

∂ R

R

Kierunek (wektor) sEⁿ nazywamy dopuszczalnym w punkcie x

R

że względu na zbiór

R

R

Mówimy, że ograniczenia zadania

f (x

)= min

x ∈R

f (x )

są

regularne, gdy zachodzi: dla każdego x

R

D( x)=D

∼

( x )

Kierunek dopuszczalny sEⁿ w punkcie x

R

poprawiającym (kierunkiem poprawy) ze względu na funkcję celu f(), jeśli f(x+ts)<f(x) dla t(0, ], >0 co w przypadku różniczkowalnej funkcji f() jest równoważne warunkowi: (

∇ f ( x)|s)<0 , x+t⋅s

do

R