Nauczyciel: Jowita Malecka Przedmiot: matematyka Klasa: I A
Temat lekcji: Rozwiązywanie równań i nierówności z wartością bezwzględną – ćwiczenia.
Data lekcji: 16.04.2020
Wszystkie zadania należy wykonać w zeszycie przedmiotowym.
Lekcja online odbędzie się w piątek o godz. 9.00.
Jeśli nie masz możliwości uczestniczenia na zajęciach online, należy to zgłosić wychowawcy, a także wysłać wiadomość na mail nauczyciela matematyki (matematyka.malecka@gmail.com).
Wprowadzenie do tematu / Instrukcje do pracy własnej:
Bardzo dokładnie przeanalizuj metody rozwiązywania równań i nierówności, które dotąd poznaliśmy.
Metody rozwiązywania równań i nierówności z wartością bezwzględną:
1. Interpretacja geometryczna, gdyż |x| oznacza odległość punktu x od 0 Natomiast |x-a| oznacza odległość liczby x od liczby a.
Przykład:
|x-3|<2 czyli szukamy liczby x, której odległość od liczby 3 jest mniejsza od 2, odpowiedzią jest przedział (1;5)
2. Skorzystanie z poniższych twierdzeń:
Jeśli liczba p >0 , to zachodzą wzory:
1) |x|=p, gdy x=p lub x=-p.
2) |x|<p, gdy x<p i x>-p 3) |x|>p, gdy x>p lub x<-p
Przykład: |2x-8|>4, gdy 2x-8>4 lub 2x-8<-4
Rozwiązując te nierówności otrzymujemy odpowiedź: x>6 lub x<2
Pamiętaj, że spójnik „lub” jest związany z sumą odpowiedzi cząstkowych, natomiast spójnik
„i” z część wspólną odpowiedzi cząstkowych.
3. Na mocy własności wartości bezwzględnej |x|≥0 możesz od razu podać rozwiązania równań bądź nierówności typu: |x|<0, |x|>0, itp.
Przykład: |2x-8|>0, gdy 2x-8≠0, czyli dla x≠4
4. Wykorzystując definicję wartości bezwzględnej (tę metodę możemy stosować w każdym przypadku).
Przykład 1: |2x-3|>2x-4
• Rozpisujemy definicję (lub rysujemy siatkę znaków)
|2𝑥 − 3| = { 2𝑥 − 3, 𝑔𝑑𝑦 𝑥 ≥ 1,5
−2𝑥 + 3, 𝑔𝑑𝑦 𝑥 < 1,5
• Chcąc opuścić wartość bezwzględną rozpisujemy nierówność na przypadki:
{ 𝑥 < 1,5
−2𝑥 + 3 > 2𝑥 − 4 𝑙𝑢𝑏 { 𝑥 ≥ 1,5 2𝑥 − 3 > 2𝑥 − 4 {𝑥 < 1,5
𝑥 < 1,75 𝑙𝑢𝑏 {𝑥 ≥ 1,5 𝑥ɛ𝑅
X<1,5 lub x≥1,5 stąd odpowiedź: xɛR
Przykład 2: |2x-6|+3|1-x|>x+4
{ 𝑥 ∈ (−∞; 1⟩
−2𝑥 + 6 + 3(1 − 𝑥) > 𝑥 + 4 𝑙𝑢𝑏 { 𝑥 ∈ (1; 3)
−2𝑥 + 6 + 3(−1 + 𝑥) > 𝑥 + 4 𝑙𝑢𝑏 { 𝑥 ∈ ⟨3; ∞)
2𝑥 − 6 + 3(−1 + 𝑥) > 𝑥 + 4 {𝑥 ∈ (−∞; 1⟩
−6𝑥 > −5 𝑙𝑢𝑏 {𝑥 ∈ (1; 3)
0 > 1 𝑙𝑢𝑏 {𝑥 ∈ ⟨3; ∞) 4𝑥 > 13 {𝑥 ∈ (−∞; 1⟩
𝑥 < 5/6 𝑙𝑢𝑏 {𝑥 ∈ (1; 3)
𝑥 ∈ ∅ 𝑙𝑢𝑏 {𝑥 ∈ ⟨3; ∞) 𝑥 > 13/4 𝑥 ∈ (−∞;5
6) 𝑙𝑢𝑏 𝑥 ∈ ∅ 𝑙𝑢𝑏 𝑥 ∈ (13
4 ; ∞) 𝑥 ∈ (−∞;5
6) ∪ (13 4 ; ∞) 5. Korzystając z własności |x|=|y|, gdy x=y lub x= - y.
Przykład:
|2x-4|=|3x-2|
2x-4=3x-2 lub 2x-4=-3x+2 6. Rozwiązywanie równań typu ||x|-a|=p
Przykład:
||2x-6|-1|=2
Korzystamy z twierdzenia: Jeśli liczba p >0 , to |x|=p, gdy x=p lub x=-p.
|2x-6|-1=2 lub |2x-6|-1=-2
|2x-6|=3 lub |2x-6|=-1 2x-6=3 lub 2x-6=-3 lub 𝑥 ∈ ∅
X=4,5 lub x=1,5
Praca własna:
1) Bądź przygotowanym, aby rozwiązać zadania metodami zaprezentowanymi w punktach 1-5.
2) Przeanalizuj przykład 6., a następnie rozwiąż zadanie 4 na stronie 94.
3) Na lekcji online sprawdzimy rozwiązanie zadania 4 oraz rozwiążemy przykłady z zadania 5, a także sprawdzimy umiejętności rozwiązywania równań i nierówności, które zostały przypomniane powyżej.
Informacja zwrotna:
Możliwość wyjaśnienia i informacja zwrotna na zajęciach online.
Wszelkie informacje również na grupie klasy Matematyka 1A na discordzie.
Liczba jest ujemna, czyli równanie sprzeczne
