Lista 14. Równania funkcyjne

(1)

Zwykªe równanie to takie, gdzie oprócz liczb i dziaªa« arytmetycznych wyst¦puje niewiadoma (lub niewiadome), które nale»y policzy¢. Typowe przykªady, to równania liniowe, wielomianowe, wymierne, trygonometryczne.

Innym zagadnieniem s¡ równania, w których wyst¦puje funkcja (powiedzmy f(x)), której nie znamy oraz zmienne x, y, .... Celem nie jest tu wyliczenie warto±ci zmiennych, ale poznanie funkcji f (x), tak by dla wszystkich x-ów i y-ków równanie byªo prawdziwe. Je±li wi¦c na przykªad x, y ∈ R, to mamy peªn¡ dowolno±¢ we wstawianiu liczb (wyra»e«, innych zmiennych) za x-a i y-ka, bo skoro to równanie ma by¢ speªnione dla wszystkich liczb, to i dla tych naszych.

Nie ma niestety jednej metody do rozwi¡zywania tego typu równa«. Jedyne co mo»na zrobi¢, to pozna¢ pewn¡ gam¦ trików i podst¦pów, które mo»na u»ywa¢. Nale»y te» pami¦ta¢, »e cz¦sto mamy pewne dodatkowe informacje w tra±ci typu: "f(x) jest wielomianem" lub "f : N → N", które zaw¦»aj¡ grup¦ funkcji w±ród których szukamy naszej. Mo»e si¦ te» oczywi±cie zdarzy¢, »e b¦dzie wi¦cej ni» jedno rozwi¡zanie.

Metody, które mog¡ pomóc:

• podstawianie konkretnych warto±ci za zmienne i znajdowanie warto±ci w poszczególnych punktach,

• obliczanie warto±ci kolejno: dla liczb naturalnych, caªkowitych, wymiernych, rzeczywistych (jak w zad. 5, 9, 13)

• zamiana funkcji i napisanie rekurencji dla nowej funkcji, np. f(x) = g(x)+c, f(x) = x²+g(x), itp. (jak w zad. 4, 10, 13)

• rozwa»anie wspóªczynników wielomianu, je±li w zadaniu jest mowa o wielomianach (jak w zad. 11, 12)

• metoda "argumentów cyklicznych" (jak w zad. 8, 14)

• badanie parzysto±ci i nieparzysto±ci (jak w zad. 6, 9, 16)

• i wiele, wiele innych :)

1. Znajd¹ wszystkie ci¡gªe rozwi¡zania równa«:

(a) f(x)²− 2f (x) = x²+ 4x + 3, (b) f(x) = xf(x)² (x 6= 0).

2. Znajd¹ wszystkie funkcje f : R → R speªniaj¡ce

∀x, y ∈ R f (x + y)²= f (x)²+ f (y)². 3. Wyznacz wszystkie funkcje f : N → N speªniaj¡ce warunki:

(a) f(2) = 2,

(b) ∀n > m f (n) > f (m),

(c) ∀n, m ∈ N f (nm) = f (n)f (m).

4. Wyznacz wszystkie funkcje f : R → R speªniaj¡ce

∀x, y ∈ R f (x + y) − f (x − y) = 4xy.

5. Znajd¹ wszystkie ci¡gªe funkcje f : Z → R speªniaj¡ce:

∀x ∈ Z f (x) = f (x − 1) + f (x + 1)

2 .

1

(2)

6. Wyznacz wszystkie funkcje f : R → R speªaniaj¡ce

∀x, y ∈ R f (x + y) − f (x − y) = f (x)f (y).

7. Udowodnij, »e je±li funkcja f : R → R speªnia

∀x ∈ R f (x) = f (2x) = f (1 − x), to jest okresowa.

∀x ∈ R 2f (x) + f (1 − x) = x². 9. Wyznacz wszytskie ci¡gªe funkcje f : R → R speªniaj¡ce:

∀x, y ∈ R f (x + y) = f (x) + f (y).

∀x, y ∈ R f (x + y) − 2f (x − y) + f (x) − 2f (y) = y − 2.

11. Znajd¹ wszystkie wielomiany W (x) speªniaj¡ce równanie (W (x))²= W (x²).

12. Wyznacz wszystkie wielomiany o wspóªczynnikach W (x) rzeczywistych speªniaj¡ce równanie:

∀x ∈ R W (W (x)) = (W (x))^k, gdzie k ∈ N.

13. Znale¹¢ wszystkie f : Q → Q speªniaj¡ce:

(a) f(1) = 2

(b) f(xy) = f(x)f(y) − f(x + y) + 1 dla x, y ∈ Q 14. Wyznacz wszystkie funkcje f : R\{0, 1} → R speªniaj¡ce:

∀x ∈ R\{0, 1} f (x) + f

1 1 − x

= x

15. Wyznaczy¢ wszystkie f : R⁺→ R⁺ speªniaj¡ce:

(a) ∀x, y ∈ R⁺ f (xf (y)) = yf (x) (b) lim

x→∞f (x) = 0

16. Stopie« wielomianu W (x) o wspóªczynnikach rzeczywistych jest nieparzysty. Ponadto zacho- dzi

∀x ∈ R W (x²− 1) = (W (x))²− 1.

Udowodnij, »e W (x) = x.

17. Funkcja f(x, y) speªnia warunki:

(a) f(0, y) = y + 1, (b) f(x + 1, 0) = f(x, 1),

(c) f(x + 1, y + 1) = f(x)f(x + 1, y)

dla wszystkich liczb caªkowitych nieujemnych x, y. Wyznacz f(4, 2008).

Marcin Preisner preisner@math.uni.wroc.pl

2