VI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów

1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych rzędów funkcji zespolonych zmiennej rzeczywistej z analogicznymi oznaczeniami.

W paragrafie tym rozważać będziemy równania postaci

(1) y⁽ⁿ⁾+ a₁(x)y⁽ⁿ⁻¹⁾+ . . . + a_n(x)y = b(x),

gdzie a₁, . . . , a_n, b : (p, q) → K są funkcjami ciągłymi na przedziale (p, q) ⊂ R. Równania tego kształtu nazywać będziemy równaniem różniczkowym liniowym n-tego rzędu.

Niech dany będzie układ równań różniczkowych liniowych pierwszego rzędu postaci

(2)



















y^′₁= y₂

. . . .

y^′_n−1= yn

y^′_n= −an(x)y₁− . . . −a₁(x)yn +b(x).

Własność 1. Każde rozwiązanie integralne Ψ : (p, q) → Kⁿ układu (2) jest postaci

(3) Ψ =











 ϕ ϕ^′ ... ϕ⁽ⁿ⁻¹⁾











 ,

gdzie ϕ : (p, q) → K jest integralnym rozwiązaniem równania (1). Odwrotnie, dla każdego rozwią- zania integralnego ϕ : (p, q) → K równania (1), odwzorowanie Ψ : (p, q) → Kⁿ postaci (3) jest rozwiązaniem integralnym układu (2).

Dowód. Niech Ψ = (ψ₁, . . . , ψn) : (p, q) → Kⁿbędzie rozwiązaniem integralnym układu (2). Połóżmy ϕ = ψ₁. Wówczas z kolejnych równań układu (2) mamy



















ϕ^′(x) = ψ₂(x)

. . . .

ϕ⁽ⁿ⁻¹⁾(x) = ψn(x)

ϕ⁽ⁿ⁾(x) = −an(x)ψ₁(x)− . . . −a₁(x)ψn(x) +b(x), skąd

ϕ⁽ⁿ⁾(x) + a₁(x)ϕ⁽ⁿ⁻¹⁾(x) + . . . + an(x)ϕ(x) = b(x).

Odwrotnie, niech ϕ : (p, q) → K spełnia równanie (1). Połóżmy ψ₁= ϕ, ψ₂= ϕ^′, . . . , ψn= ϕ⁽ⁿ⁻¹⁾.

Wówczas 

















ψ^′₁(x) = ψ2(x)

. . . .

ψ^′_n−1(x) = ψn(x)

ψ_n^′(x) = −a_n(x)ψ₁(x)− . . . −a₁(x)ψ_n(x) +b(x).

To kończy dowód.

W dalszym ciągu tego paragrafu założymy, że K = R. Zatem a₁, . . . , an i b będą teraz funkcjami o wartościach rzeczywistych.

Niech η = (η1, . . . , ηn) ∈ Rⁿ. Ponieważ przez każdy punkt (ξ, η) ∈ (p, q)×Rⁿprzechodzi dokładnie jedno rozwiązanie integralne układu równań liniowych (2), to z powyższej własności dla K = R dostajemy

Twierdzenie 1. Dla każdego punktu (ξ, η) ∈ (p, q) × Rⁿ istnieje dokładnie jedno rozwiązanie inte- gralne ϕ : (p, q) → R równania (1) spełniające warunki początkowe:

ϕ(ξ) = η₁, ϕ^′(ξ) = η₂, . . . , ϕ⁽ⁿ⁻¹⁾(ξ) = ηn.

Wobec powyższego twierdzenia ograniczymy się tylko do rozwiązań integralnych równania (1).

Gdy b = 0, to równanie (1) ma postać

(4) y⁽ⁿ⁾+ a₁(x)y⁽ⁿ⁻¹⁾+ . . . + an(x)y = 0.

Równanie (4) nazywać będziemy jednorodnym równaniem różniczkowym liniowym n-tego rzędu.

Z własności jednorodnych układów równań liniowych jednorodnych pierwszego rzędu i własności 1 (dla K = R) dostajemy

Własność 2. Ogół integralnych rozwiązań równania (4) jest rzeczywistą przestrzenią liniową wy- miarun.

Każdą bazę przestrzeni liniowej, o której mowa powyżej, nazywać będziemy fundamentalnym układem rozwiązań równania (4).

Z własności 2 otrzymujemy natychmiast

Twierdzenie 2. Jeżeli ϕ₁, . . . , ϕn tworzą fundamentalny układ rozwiązań równania (4), to ogół rozwiązń integralnych równania (4) wyraża się wzorem

ϕ(x) = γ₁ϕ₁(x) + . . . + γnϕn(x), x ∈ (p, q), γ₁, . . . , γn∈ R.

Podamy teraz twierdzenie sprowadzające poszukiwanie fundamentalnego układu rozwiązań rów- nania liniowego jednorodnego n-tego rzędu, do poszukiwania fundamentalnego układu rozwiązań pewnego równania liniowego jednorodnego rzędu n − 1. Jest to swoista metoda redukcji dla równania liniowego n-tego rzędu.

Niech n > 1 i niech symbol ω[ψ] oznacza ustaloną funkcję pierwotną funkcji ψ : (p, q) → R.

Twierdzenie 3. Jeśli ϕ₁ : (p, q) → R jest integralnym rozwiązaniem równania (4), spełniającym warunek ϕ₁(x) 6= 0 dla x ∈ (p, q), to istnieje równanie różniczkowe liniowe jednorodne rzędu n − 1 postaci

(5) z⁽ⁿ⁻¹⁾+ b₁(x)z⁽ⁿ⁻²⁾+ . . . + b_n−1(x)z = 0, o współczynnikach b₁, . . . , b_n−1: (p, q) → R mające następujące własności:

(i) ψ : (p, q) → R jest integralnym rozwiązaniem równania (5) wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja ω[ψ] · ϕ₁ jest rozwiązaniem integralnym równania (4),

(ii) jeśli funkcje ψ₁, . . . , ψ_n−1 tworzą układ fundamentalny rozwiązań równania (5), to funkcje ϕ₁, ω[ψ₁] · ϕ₁, . . . , ω[ψ_n−1] · ϕ₁ tworzą układ fundamentalny rozwiązań równania (4).

Dowód. Wykażemy najpierw pierwszą część twierdzenia. Niech ω : (p, q) → R będzie dowolną funkcją n-krotnie różniczkowalną. Funkcja ωϕ₁ jest rozwiązaniem integralnym równania (4) wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi tożsamość:

n−1

X

j=0

n j



ω^(n−j)ϕ^(j)₁ + ωϕ⁽ⁿ⁾₁ + a₁





n−2

X

j=0

n − 1 j



ω^(n−1−j)ϕ^(j)₁ + ωϕ⁽ⁿ⁻¹⁾₁



+ . . . +a_n−1(ω^′ϕ₁+ ωϕ^′₁) + a_nωϕ₁ = 0.

Ponieważ ϕ1 jest rozwiązaniem równania (4) , to powyższe jest równoważne tożsamości:

n−1

X

j=0

n j



ω^(n−j)ϕ^(j)₁ + a₁





n−2

X

j=0

n − 1 j



ω^(n−1−j)ϕ^(j)₁



+ . . . + a_n−1ω^′ϕ₁ = 0,

Porządkując ją względem rzędów pochodnej funkcji ω stwierdzamy, że daje się ona zapisać jako ϕ₁ω⁽ⁿ⁾+ β₁ω⁽ⁿ⁻¹⁾+ . . . + β_n−1ω^′ = 0,

gdzie funkcje ciągłe β₁, . . . , β_n−1 : (p, q) → R zależą wyłącznie od ϕ₁ i a₁, . . . , a_n−1. Z powyższych rozważań i założenia, że ϕ₁(x) 6= 0 dla x ∈ (p, q) wynika, że funkcja ωϕ₁ jest rozwiązaniem integral- nym równania (4) wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja ω^′ jest rozwiązaniem równania postaci (5), gdzie bj = βj/ϕ1, j = 1, . . . , n − 1. To daje pierwszą część twierdzenia.

Z udowodnionej części wynika natychmiast, że funkcie ω[ψ₁]ϕ₁, . . . , ω[ψ_n−1]ϕ₁ są rozwiązaniami integralnymi równania (4). By dokończyć dowód twierdzenia należy jeszcze wykazać liniową nieza- leżność rozwiązań: ϕ₁, ω[ψ₁]ϕ₁, . . . , ω[ψ_n−1]ϕ₁. Jeśli

c₁ϕ₁+ c₂ω[ψ₁]ϕ₁+ . . . + cnω[ψ_n−1]ϕ₁ = 0, c₁, . . . , cn∈ R, to

(6) c1+ c2ω[ψ1] + . . . + cnω[ψ_n−1] = 0,

gdyż ϕ₁(x) 6= 0 dla x ∈ (p, q). Stąd, Różniczkując powyższą tożsamość otrzymujemy, że c₂ψ₁+ . . . + c_nψ_n−1 = 0.

Zatem c2 = . . . = cn = 0, gdyż ψ1, . . . ψ_n−1 są liniowo niezależne. Stąd na podstawie (6) dostajemy, że również c₁= 0. To kończy dowód.

Z dowodu powyższego twierdzenia otrzymujemy wprost następujący wniosek.

Wniosek 1. Niech ϕ₁ : (p, q) → R będzie integralnym rozwiązaniem równania

(7) y^′′+ a₁(x)y^′+ a₂(x)y = 0

i niech A₁ : (p, q) → R będzie ustaloną funkcją pierwotną funkcji a₁. Jeśli ϕ₁ spełnia warunek ϕ₁(x) 6= 0 dla x ∈ (p, q), to układ fundamentalny rozwiązań równania (7) tworzą funkcje ϕ₁, ωϕ₁, gdzieω jest ustaloną funkcją pierwotną funkcji e^−A1(ϕ1)⁻².

Dowód. Podstawiając do równania (7) funkcję ωϕ₁ wyznaczamy równanie zredukowane. Jest ono postaci:

z^′+



a1(x) + 2ϕ^′₁(x) ϕ₁(x)

 z = 0.

Układem fundamentalnym tego równania jest jakiekolwiek jego niezerowe rozwiązanie. Z teorii rów- nania liniowego wynika, że jednym z nich jest na przykład ψ(x) = e^−A1(x)(ϕ1(x))⁻², x ∈ (p, q).

Skoro ω jest funkcją pierwotną funkcji ψ to na podstawie twierdzenia 3 otrzymujemy tezę.

Z twierdzenia 2 i własności 1 (dla K = R) otrzymujemy łatwo

Twierdzenie 4. Niech ϕ₀ będzie rozwiązaniem integralnym równania (1) oraz ϕ₁, . . . , ϕ_nbędzie fun- damentalnym układem rozwiązań równania jednorodnego (4). Wówczas ogół rozwiązań integralnych równania (1) wyraża się wzorem

ϕ(x) = ϕ₀(x) + γ₁ϕ₁(x) + . . . + γnϕn(x), x ∈ (p, q), γ₁, . . . , γn∈ R.

Niech ϕ₁, . . . , ϕn będą integralnymi rozwiązaniami równania (4). Wyznacznik

W (x) = deth

ϕ^(j−1)_k (x) i

16j,k6n=          

ϕ₁(x) . . . ϕn(x) ϕ^′₁(x) . . . ϕ^′_n(x) . . . . ϕ⁽ⁿ⁻¹⁾₁ (x) . . . ϕ⁽ⁿ⁻¹⁾n (x)           nazywamy wrońskianem układu ϕ₁, . . . , ϕn.

Uwaga 1. Gdy dany jest układ fundamentalny rozwiązań ϕ₁, . . . , ϕn równania (4), to rozwiązanie szczególne ϕ₀ równania (1) można znaleźć metodą uzmienniania stałych, korzystając z odpowied- niego twierdzenia dla układów równań liniowych. Dokładniej, rozwiązanie ϕ₀ jest postaci

ϕ₀(x) = c₁(x)ϕ₁(x) + . . . + cn(x)ϕn(x),

gdzie c1, . . . , cn są ustalonymi funkcjami pierwotnymi funkcji ^W_W¹, . . . ,^W_Wⁿ, przy czym W jest wroń- skianem układu fundamentalnego ϕ₁, . . . , ϕn, a

W₁(x) =          

0 . . . ϕn(x) 0 . . . ϕ^′_n(x) . . . . b(x) . . . ϕ⁽ⁿ⁻¹⁾n (x)          

, . . . , Wn(x) =          

ϕ₁(x) . . . 0 ϕ^′₁(x) . . . 0 . . . . ϕ⁽ⁿ⁻¹⁾₁ (x) . . . b(x)           .

2. Jednorodne równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o stałych współczynnikach

Pod tą nazwą rozumieć będziemy równanie postaci

(1) y⁽ⁿ⁾+ a₁y⁽ⁿ⁻¹⁾+ . . . + any = 0,

gdzie a₁, . . . , an ∈ K. Tutaj podobnie jak poprzednio K = R lub K = C. Wielomianem charaktery- stycznym równania (1) nazywamy wielomian postaci

D(λ) = λⁿ+ a₁λⁿ⁻¹+ . . . + a_n.

Rozważmy teraz jednorodny układ równań różniczkowch liniowych pierwszego rzędu o stałych współczynnikach postaci

(2)



















y₁^′ = y₂

. . . .

y_n−1^′ = yn

y_n^′ = −any₁ + . . . + −a₁yn. Macierz charakterystyczna tego układu jest postaci

An=













−λ 1 . . . 0

. . . .

0 0 . . . 1

−a_n −a_n−1 . . . −a₁− λ











 .

Wielomian charakterystyczny układu (2), będący wyznacznikiem powyższej macierzy jest równy (−1)ⁿ(λⁿ+ a₁λⁿ⁻¹+ . . . + a_n),

co sprawdzamy indukcyjnie, gdyż jak łatwo wynika z własności wyznaczników det A_n= −λ det A_n−1+ (−1)ⁿa_n.

Widzimy stąd, że wielomian charakterystyczny D równania (1) ma identyczne pierwiastki z wielo- mianem charakterystycznym układu (2).

Twierdzenie 1. Jeżeli λ₀ ∈ K jest p-krotnym pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego D, to (3) e^λ0x, xe^λ0x, . . . , x^p−1e^λ0x

są liniowo niezależnymi nad K rozwiązaniami równania (1).

Dowód. Z powyższej obserwacji wynika, że λ₀ jest p-krotnym pierwiastkiem wielomianu charaktery- stycznewgo układu (2). Zatem z twierdzenia dotyczącego układów równań z p-krotnym pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego i z własności 1 z poprzedniego paragrafu dostajemy, że równanie (1) ma p liniowo niezależnych nad K rozwiązań postaci

(4) e^λ0xP₁(x), . . . , e^λ0xPp(x),

gdzie P_kjest wielomianem o współczynnikach z ciała K stopnia nie większego niż k − 1, k = 1, . . . , p.

Wynika stąd, że wielomiany P₁, . . . , P_p są również liniowo niezależne nad K. Łatwo sprawdzamy, że zbiór wielomianów stopnia nie większego niż p − 1 jest p-wymiarową przestrzenią liniową nad K.

Zatem P₁, . . . P_p są jej bazą. W konsekwencji dla każdego k ∈ {0, . . . , p − 1}

x^k= a_k1P₁(x) + . . . + a_kpPp(x), x ∈ R, gdzie akl∈ K. Stąd

(5) x^ke^λ0x= a_k1P1(x)e^λ0x+ . . . + akpPp(x)e^λ0x, x ∈ R.

Łatwo sprawdzamy, że kombinacja liniowa rozwiązań równania (1) jest jego rozwiązaniem. Stąd, z (4) i (5) dostajemy, że funkcje postaci (3) są rozwiązaniemi równania (1). Są one oczywiście liniowo niezależne nad K. To kończy dowód.

W dalszym ciągu zakładamy, że K = R i a₁, . . . , an∈ R. Bezpośrednio z powyższego twierdzenia dostajemy

Wniosek 1. Jeżeli λ₀ jest p-krotnym rzeczywistym pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego D, to równanie (1) ma p liniowo niezależnych nad R rozwiązań postaci

e^λ0x, xe^λ0x, . . . , x^p−1e^λ0x, x ∈ R.

Wniosek 2. Jeżeli λ₀ = σ + iτ jest p-krotnym zespolonym pierwiastkiem wielomianu charaktery- stycznego D, gdzie τ 6= 0, to równanie (1) ma 2p liniowo niezależnych nad R rozwiązań postaci

e^σxcos τ x, xe^σxcos τ x, . . . , x^p−1e^σxcos τ x, x ∈ R, e^σxsin τ x, xe^σxsin τ x, . . . , x^p−1e^σxsin τ x, x ∈ R.

(6)

Dowód. Z twierdzenia 1 (dla K = C) wynika, że funkcje postaci e^λ0x, xe^λ0x, . . . , x^p−1e^λ0x, x ∈ R.

są rozwiązaniemi równania (1). Stąd i z faktu, że równanie (1) ma teraz współczynniki rzeczywiste wynika, że funkcje postaci (6) są również rozwiązaniemi równania (1). Liniowa niezależność nad R rozwiązań (6) wynika z lematu 1 z rozdziału V. To kończy dowód.

Z lematu 1 z rozdziału V i z powyższych wniosków dostajemy łatwo twierdzenie o fundamental- nym układzie rozwiązań równania (1).

Niech λ₁ = σ₁+ iτ₁, . . . , λr = σr+ iτr będą wszystkimi różnymi pierwiastkami wielomianu D, spełniającymi warunek τ_k >0. Niech p₁, . . . , p_r będą odpowiednio krotnościami tych pierwiastków.

Twierdzenie 2. Jeżeli dla każdego k ∈ {1, . . . , r} zgodnie z wnioskiem 1 albo 2 przyporządkujemy pk albo 2pk rozwiązań w zależności od tego czy τk = 0, czy τk > 0, to otrzymamy fundamentalny układ rozwiązań równania (1).

3. Metoda przewidywań

Równanie postaci

(1) y⁽ⁿ⁾+ a₁y⁽ⁿ⁻¹⁾+ . . . + any = b(x),

gdzie a₁, . . . , a_n ∈ R i b : (p, q) → R jest funkcją ciągłą, nazywamy równaniem różniczkowym linio- wym niejednorodnym n-tego rzędu o współczynnikach stałych. Odpowiada mu równanie jednorodne postaci

(2) y⁽ⁿ⁾+ a1y⁽ⁿ⁻¹⁾+ . . . + any = 0.

Jeżeli znamy układ fundamentalny ϕ₁, . . . , ϕnrozwiązań równania jednorodnego (2), to szczegól- ne rozwiązanie ϕ₀ równania niejednorodnego (1) możemy wyznaczyć metodą uzmienniania stałych.

Jednak w pewnych przypadkach możemy zastosowć inną metodę.

Twierdzenie 1. Jeżeli prawa strona b(x) równania (1) jest funkcją postaci b(x) = e^αx Pn(x) cos βx + Qn(x) sin βx
,

gdzie Pn i Qn są wielomianami o współczynnikach rzeczywistych, z których jeden jest stopnia n, a drugi co najwyżej stopnian, to:

1. ϕ₀(x) = e^αx Rn(x) cos βx + Sn(x) sin βx
, gdy liczba zespolona λ = α + iβ nie jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego równania (2),

2. ϕ₀(x) = x^ke^αx Rn(x) cos βx + Sn(x) sin βx
, gdy liczba zespolona λ = α + iβ jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego równania (2) o krotności k > 1,

gdzie Rn i Sn są wielomianami o współczynnikach rzeczywistych, z których jeden jest stopnia n, a drugi co najwyżej stopnian.

Wniosek 1. Jeżeli prawa strona b(x) równania (1) jest wielomianem o współczynnikach rzeczywi- stych stopnian, to:

1. ϕ₀(x) = R_n(x), gdy λ = 0 nie jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego równania (2), 2. ϕ0(x) = x^kRn(x), gdy λ = 0 jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego równania (2)

o krotności k > 1,

gdzieR_n jest wielomianem o współczynnikach rzeczywistych stopnian.

Wniosek 2. Jeżeli prawa strona b(x) równania (1) jest funkcją postaci b(x) = e^αxP_n(x),

gdziePn jest wielomianem o współczynnikach rzeczywistych stopnia n, to:

1. ϕ₀(x) = e^αxRn(x), gdy liczba λ = α nie jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego równania (2),

2. ϕ₀(x) = x^ke^αxRn(x), gdy λ = α jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego równania (2) o krotności k > 1,

gdzieRn jest wielomianem o współczynnikach rzeczywistych stopnian.

Wniosek 3. Jeżeli prawa strona b(x) równania (1) jest funkcją postaci b(x) = a cos βx + b sin βx,

gdziea, b ∈ R, to:

1. ϕ₀(x) = a₁cos βx + b₁sin βx, gdy λ = iβ nie jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego równania (2),

2. ϕ₀(x) = x^k(a₁cos βx + b₁sin βx), gdy λ = iβ jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego równania (2) o krotności k > 1,

gdziea₁, b₁ ∈ R.

Twierdzenie 2. Jeżeli funkcja ϕ1 jest rozwiązaniem szczególnym równania y⁽ⁿ⁾+ a₁y⁽ⁿ⁻¹⁾+ . . . + a_ny = b₁(x),

natomiast funkcja ϕ₂ jest rozwiązaniem szczególnym równania y⁽ⁿ⁾+ a₁y⁽ⁿ⁻¹⁾+ . . . + any = b₂(x), to funkcja ϕ₁+ ϕ₂ jest rozwiązaniem szczególnym równania

y⁽ⁿ⁾+ a₁y⁽ⁿ⁻¹⁾+ . . . + any = b₁(x) + b₂(x).