Lista 19. Równania funkcyjne

(1)

Zwykłe równanie to takie, gdzie oprócz liczb i działań arytmetycznych występuje niewiadoma (lub niewiadome), które należy policzyć. Typowe przykłady, to równania liniowe, wielomianowe, wymierne, trygonometryczne.

Innym zagadnieniem są równania, w których występuje funkcja (powiedzmy f (x)), której nie znamy oraz zmienne x, y, .... Celem nie jest tu wyliczenie wartości zmiennych, ale poznanie funkcji f (x), tak by dla wszystkich x-ów i y-ków równanie było prawdziwe. Jeśli więc na przykład x, y ∈ R, to mamy pełną dowolność we wstawianiu liczb (wyrażeń, innych zmiennych) za x-a i y-ka, bo skoro to równanie ma być spełnione dla wszystkich liczb, to i dla tych naszych.

Nie ma niestety jednej metody do rozwiązywania tego typu równań. Jedyne co można zrobić, to poznać pewną gamę trików i podstępów, które można używać. Należy też pamiętać, że często mamy pewne dodatkowe informacje w traści typu: "f (x) jest wielomianem" lub "f : N → N", które zawężają grupę funkcji wśród których szukamy naszej. Może się też oczywiście zdarzyć, że będzie więcej niż jedno rozwiązanie.

1. Znajdź wszystkie ciągłe rozwiązania równań:

(a) f (x)²− 2f (x) = x²+ 4x + 3, (b) f (x) = xf (x)² (x 6= 0).

2. Znajdź wszystkie funkcje f : R → R spełniające

∀x, y ∈ R f (x + y)²= f (x)²+ f (y)².

3. Wyznacz wszystkie funkcje f : N → N spełniające warunki:

(a) f (2) = 2,

(b) ∀n > m f (n) > f (m),

(c) ∀n, m ∈ N f (nm) = f (n)f (m).

4. Wyznacz wszystkie funkcje f : R → R spełniające

∀x, y ∈ R f (x + y) − f (x − y) = 4xy.

5. Znajdź wszystkie ciągłe funkcje f : Z → R spełniające:

∀x ∈ Z f (x) = f (x − 1) + f (x + 1)

2 .

6. Wyznacz wszystkie funkcje f : R → R spełaniające

∀x, y ∈ R f (x + y) − f (x − y) = f (x)f (y).

7. Udowodnij, że jeśli funkcja f : R → R spełnia

∀x ∈ R f (x) = f (2x) = f (1 − x),

to jest okresowa.

∀x ∈ R 2f (x) + f (1 − x) = x².

9. Wyznacz wszytskie ciągłe funkcje f : R → R spełniające:

∀x, y ∈ R f (x + y) = f (x) + f (y).

1

(2)

∀x, y ∈ R f (x + y) − 2f (x − y) + f (x) − 2f (y) = y − 2.

11. Znajdź wszystkie wielomiany W (x) spełniające równanie (W (x))²= W (x²).

12. Wyznacz wszystkie wielomiany o współczynnikach W (x) rzeczywistych spełniające równanie:

∀x ∈ R W (W (x)) = (W (x))^k,

gdzie k ∈ N.

13. Znaleźć wszystkie f : Q → Q spełniające:

(a) f (1) = 2

(b) f (xy) = f (x)f (y) − f (x + y) + 1 dla x, y ∈ Q 14. Wyznacz wszystkie funkcje f : R\{0, 1} → R spełniające:

∀x ∈ R\{0, 1} f (x) + f

1 1 − x

= x

15. Wyznaczyć wszystkie f : R⁺→ R⁺ spełniające:

(a) ∀x, y ∈ R⁺ f (xf (y)) = yf (x) (b) lim

x→∞f (x) = 0

16. Stopień wielomianu W (x) o współczynnikach rzeczywistych jest nieparzysty. Ponadto zacho- dzi

∀x ∈ R W (x²− 1) = (W (x))²− 1.

Udowodnij, że W (x) = x.

17. Funkcja f (x, y) spełnia warunki:

(a) f (0, y) = y + 1, (b) f (x + 1, 0) = f (x, 1),

(c) f (x + 1, y + 1) = f (x)f (x + 1, y)

dla wszystkich liczb całkowitych nieujemnych x, y. Wyznacz f (4, 2008).

Marcin Preisner preisner@math.uni.wroc.pl

2