3.3 Wyznaczanie współczynnika Halla (E5)

3.3 Wyznaczanie współczynnika Halla (E5)

Bezpośrednim celem ćwiczenia jest zbadanie zjawiska Halla, wyznaczenie współ- czynnika Halla oraz gęstości nośników ładunku dla badanej próbki przewodzącej.

Zagadnienia do przygotowania:

– zachowanie się cząstki naładowanej w polach magnetycznym i elektrycznym;

– potencjał i napięcie pola elektrycznego;

– zjawisko przewodnictwa – zależność pomiędzy wartością natężenia prądu elek- trycznego, a wielkościami mikroskopowymi tzn. ładunkiem i gęstością nośników prądu;

– zjawisko Halla – napięcie Halla, współczynnik Halla (opis i wyprowadzenie koń- cowego wzoru powinno być umieszczone w części teoretycznej sprawozdania);

– sposoby wytwarzania jednorodnego pola magnetycznego.

Literatura podstawowa: [2], [25], [26].

3.3.1 Podstawowe pojęcia i definicje

Na cząstkę posiadającą ładunek q i znajdującą się w polu elektrycznym o natężeniu E~ działa siła ~F_E = q ~E. Jej kierunek jest zgodny z kierunkiem wektora natężenia pola elektrycznego ~E. Siła działa niezależnie od prędkości ~v naładowanej cząstki, nawet wtedy, gdy ~v = 0. Działanie tej siły zmienia energię kinetyczną cząstki, a więc zmienia wartość jej prędkości.

Na naładowaną cząstkę znajdującą się w polu magnetycznym o indukcji ~B dzia- ła siła Lorentza ~F_B = q~v × ~B, której kierunek jest zawsze prostopadły do wektora indukcji pola magnetycznego ~B i prędkości ~v. Siła ta działa tylko na cząstkę poru- szającą się (czyli gdy ~v 6= 0), powoduj¸ac zakrzywienie toru cząstki. Ponieważ siła ta jest zawsze prostopadła do wektora przesunięcia d~s, to wykonywana przez nią praca W = ~F d~s = 0. W konsekwencji tego nie zachodzi zmiana energii kinetycznej cząstki pod wpływem działania pola magnetycznego. Pole magnetyczne może zmienić kierunek wektora prędkości poruszającej się cząstki, ale nie może zmienić wartości jej prędkości.

W 1879 roku Edwin Hall odkrył zjawisko, nazwane później jego imieniem, będące bezpośrednim efektem oddziaływania pola magnetycznego na poruszające się nośniki ładunku w przewodniku. Rozważmy prostopadłościenną płytkę przewodnika o wymia- rach a, b i c, przez którą przepływa prąd o natężeniu I (rysunek 3.3.1).

Przepływ prądu polega na uporządkowanym ruchu nośników ładunku q. Jeżeli licz- ba nośników ładunku w jednostce obj¸etości wynosi n0, a ich średnia pr¸edkość jest równa v, to g¸estość płyn¸acego pr¸adu można opisać rówaniem:

j= qvn0. (3.3.1)

Jeżeli pr¸ad przepływa przez powierzchni¸e S prostopadłą do kierunku prądu, to nat¸eżenie płyn¸acego pr¸adu wynosi I = jS. Dla powierzchni w kształcie prostok¸ata o bokach a i b mamy S = ab, wi¸ec nat¸eżenie pr¸adu można zapisać jako:

UH

a b

EH

B

B

FB

j K Y

u

X

U_H

a b

EH

B

B F_B

K Y

X

a)

b)

j

u

j j

L

L

Rys. 3.3.1: Płytka wykorzystywana w zjawisku Halla. a) przypadek ujemnych nośników ładunku b) przypadek dodatnich nośników ładunku.

I = qvn⁰ab. (3.3.2)

Dla ładunków dodatnich (q > 0) kierunek wektora prędkości pokrywa się z kierun- kiem płynącego prądu, natomiast ładunki ujemne (q < 0) poruszają się w kierunku przeciwnym względem prądu.

Płytkę umieszczamy w zewnętrznym polu magnetycznym o indukcji ~B, prostopa- dłym do wektora prędkości ~v. Na poruszające się nośniki ładunku działa siła Lorentza F~_B. Ponieważ wektory ~v i ~B są prostopadłe to wartość siły Lorentza wynosi:

F_B = qvB. (3.3.3)

Pod wpływem tej siły ładunki, niezależnie od znaku, odchylane są w kierunku górnej ścianki płytki i tam powstaje ich nadmiar, a w pobliżu dolnej ścianki pojawia się ich niedomiar. Wskutek tego w płytce wytwarza się dodatkowe pole elektryczne ~E_H w kierunku pionowym, którego zwrot jest zawsze od potencjału wyższego do niższego (rysunek 3.3.1). Pole to działa na ładunki siłą o wartości:

F_E = qEH, (3.3.4)

która skierowana jest przeciwnie do siły Lorentza i jest jej równa co do wartości bez- względnej F_E = F_B. Zakładając jednorodność pola elektrycznego ~E_H, różnica poten- cjałów między punktami K i L, nazywana napi¸eciem Halla, wynosi UH = EHa. Korzy- stając z równań (3.3.3) i (3.3.4), dzięki równości sił FE i FB otrzymujemy wyrażenie na napięcie Halla U_H:

UH = vBa. (3.3.5)

Korzystając z równań (3.3.2) i (3.3.5), otrzymujemy:

UH = 1 qn0

IB

b , (3.3.6)

gdzie wielkość RH = _qn¹₀ nazywana jest współczynnikiem Halla. A zatem ostatecznie:

U_H = RH

IB

b . (3.3.7)

Zależność (3.3.7) wskazuje doświadczalną metodę wyznaczania współczynnika Halla dla różnych materiałów. Przy znanej grubości płytki b konieczny jest pomiar wartości U_H, I oraz B. Wyznaczony współczynnik Halla pozwala na określenie koncentracji nośników ładunku.

Zgodnie z zastosowanym w powyższych rozważaniach klasycznym modelem prze- wodnictwa (gaz swobodnych elektronów), znak i wartość współczynnika Halla zależy od rodzaju nośników ładunku i ich gęstości. Dla elektronów współczynnik Halla R_H jest ujemny, a dla dziur dodatni. W większości metali nośnikami ładunku są elektrony.

Gęstość nośników ładunku określona z pomiarów efektu Halla dla metali jednowarto- ściowych takich jak Li, Na, Ag, gdzie na jeden atom przypada jeden elektron przewod- nictwa, pozostaje w dobrej zgodności z wynikami innych metod pomiarowych i obliczeń.

Jednakże ten klasyczny model nie daje dobrych wyników dla metali o bardziej skom- plikowanej budowie powłok elektronowych (Fe, Bi, Cd), a także dla półprzewodników i w tym przypadku należy szukać wyjaśnienia w teorii pasm elektronowych.

3.3.2 Przebieg pomiarów - wersja A Układ doświadczalny

Układ eksperymentalny daje mozliwość pomiaru zależności pozwalaj¸acych na wy- znaczenie współczynnika Halla zgodnie z równaniem (3.3.7). Stosowany do wykonania tego ćwiczenia zestaw doświadczalny przedstawiony jest na rysunku 3.3.2. Układ do- świadczalny składa si¸e z nast¸epuj¸acych elementów: płyty z próbk¸a (1), układu zasilania płyty z próbk¸a oraz elektromagnesu (2), konsoli teslomierza (3) wraz z sond¸a (4), elek- tromagnesu z dwoma nabiegunnikami (5) oraz zestawu mierników uniwersalnych (6).

Jeden z tych mierników o wi¸ekszej precyzji służy do pomiaru napi¸ecia Halla U_H, drugi miernik używany jest do pomiaru pr¸adu IC płyn¸acego przez uzwojenia elektromagnesu.

Należy zwrócić uwag¸e, iż przy obydwóch końcach uzwojeń elektromagnesu zaznaczone s¸a kierunki nawini¸ecia przewodów.

Rys. 3.3.2: Schemat poł¸aczenia elementów układu pomiarowego. Symbolem (6) zaznaczono miejsca odczytu wartości UH i IC za pomoc¸a mierników uniwersalnych. Symbolem IP na wy- świetlaczu wbudowanym w płyt¸e oznaczono miejsce odczytu pr¸adu płyn¸acego przez próbk¸e . Pokazano także sposób umieszczenia w otworze płyty sondy (4) do pomiaru indukcji pola ma- gnetycznego w miejscu próbki.

Płyta z próbk¸a

Na rysunku 3.3.3 przedstawiono płyt¸e, w której umieszczona jest próbka (zaznaczona na niebiesko), wraz z oznaczeniami według poniższego opisu:

– U_H, U_P - wyjścia do pomiaru odpowiednio napi¸ecia Halla U_H oraz napi¸ecia na próbce UP. Do tych wyjść podł¸acza si¸e mierniki uniwersalne pracuj¸ace jako mi- liwoltomierze (mV);

– a - wyświetlacz wartości pr¸adu próbki IP (jednostka mA). Wyświetlacz ten jest uniwersalny i moźe alternatywnie pracować jako wskaźnik temperatury. Należy zwrócić uwag¸a co wyświetlacz wskazuje aktualnie i ewentualnie zmienić ustawie- nie (przy pomocy przycisku c) na ź¸adan¸a wielkość;

– b - pokr¸etło do regulacji wartości pr¸adu I_P;

– c - przycisk zmiany pomi¸edzy wskazaniem wartości pr¸adu IP a temperatury na wyświetlaczu a

– d - pokr¸etło zerowania (kompensacji) napi¸ecia UH.

Na odwrocie płyty znajduj¸a si¸e wejścia zasilania. Należy poł¸aczyć je z odpowied- nimi wyjściami układu zasilaj¸acego (na rysunku 3.3.4 oznaczone przez a). Również na odwrocie znajduje si¸e przycisk wł¸aczaj¸acy ogrzewanie próbki, które nie jest używane w tym eksperymencie. Należy uważać, by nie wcisn¸ać tego przycisku, gdyż spowoduje to natychmiastowe grzanie próbki i konieczne b¸edzie odczekanie, aż jej temperatura powróci do wartości pokojowej.

(b) (a) (c)

U [mV]

U [mV]

próbka (d)

Rys. 3.3.3: Płyta z próbk¸a (opis oznaczeń w tekście).

Układ zasilania płytki z próbk¸a oraz elektromagnesu

Na rysunku 3.3.4 przedstawiono zasilania płytki z próbk¸a oraz elektromagnesu, wraz z oznaczeniami według poniższego opisu:

– a - wyjścia +/- zasilania płytki z próbk¸a (12V);

– b - wyjścia +/- zasilania elektromagnesu;

– c - pokr¸etła sterowania napi¸eciem i nat¸eżeniem pr¸adu elektromagnesu.

Teslomierz - konsola teslomierza i sonda

Płyta czołowa konsoli przedstawiona na rysunku 3.3.5 zawiera:

– a - wyświetlacz cyfrowy podaj¸acy wartość indukcji pola magnetycznego (jednost- ka mT), z dokładności¸a zależn¸a od ustawionego zakresu pomiaru. Dla zakresu 0-20 mT dokładność jest 0.01 mT, dla zakresu 0-200 mT dokładność jest 0.1 mT oraz dla zakresu 0-1000 mT dokładność jest 1 mT;

– b - pokr¸etło zmiany zakresu (0-20, 0-200 i 0-1000 mT);

– c - śruba zgrubnej regulacji „zera” teslomierza;

– d - wejście dla sondy;

– e - przeł¸acznik w tryb pomiaru pola zmiennego (alternating field) lub pola sta- łego (direct field);

– f - pokr¸etło precyzyjnej regulacji „zera” teslomierza;

– g - wyjścia do podł¸aczenia zewn¸etrznych urz¸adzeń pomiarowych (nie używane w eksperymencie).

(b)

(c)

(a)

Rys. 3.3.4: Układ zasilaj¸acy płyt¸e z próbk¸a i elektromagnes (opis oznaczeń w tekście).

(d)

(e) (a)

(g) (c)

(b) (f)

Rys. 3.3.5: Konsola teslomierza wraz z oznaczeniem poszczególnych elementów.

czujnik

Rys. 3.3.6: Sonda.

Sonda (przedstawiona na rysunku 3.3.6) podł¸aczona do teslomierza pozwala na pomiar wartości i zwrotu wektora indukcji pola magnetycznego. Sonda składa si¸e z uchwytu zaopatrzonego w naklejk¸e znamionow¸a oraz płaskiego ramienia, na które-

go końcu umieszczony jest czujnik nat¸eżenia pola magnetycznego (na rysunku 3.3.6 zaznaczony na czerwono). Rami¸e jest zazwyczaj osłoni¸ete metalow¸a nakładk¸a, któr¸a należy zdj¸ać przed przyst¸apieniem do pomiarów. Po zakończeniu doświadczenia należy z powrotem założyć osłon¸e.

Podczas pomiaru sonda powinna być ustawiona tak, aby płaska powierzchnia ramie- nia była prostopadła do linii pola magnetycznego, a czujnik znajdował si¸e nieruchomo w miejscu, w którym wykonywany jest pomiar. Wynik dodatni pomiaru wartości induk- cji magnetycznej oznacza, że linie pola magnetycznego zwrócone s¸a w kierunku sondy od strony uchwytu, po której znajduje si¸e naklejka znamionowa. Z kolei wynik ujemny wskazuje na zwrot wektora wychodz¸acy od strony uchwytu sondy zaopatrzonej w na- klejk¸e. Wartość indukcji magnetycznej mierzona z dala od źródła pola magnetycznego (np. nabiegunników elektromagnesu) powinna wynosić około ±0.05 mT. Wartość ta odpowiada nat¸eżeniu pola magnetycznego Ziemi, a jej znak zależy od ustawienia son- dy wzgl¸edem linii pola magnetycznego Ziemi. Otrzymana wartość stanowi tzw. „zero”

teslomierza. Jeżeli mierzona wartość znacznie odbiega od podanej, należy najpierw skorygować „zero” teslomierza pokr¸etłem oznaczonym symbolem f na rysunku 3.3.5, a w miar¸e potrzeby również pokr¸etłem oznaczonym symbolem c na rysunku 3.3.5.

Dla sprawdzenia poprawności ustawienia „zera” należy sprawdzić, obracaj¸ac sond¸a w obszarze z dala od źródeł pola magnetycznego, czy mierzone wartości mieszcz¸a si¸e w przedziale około ±0.05 mT.

Przebieg doświadczenia

Układ doświadczalny zestawić tak, jak to pokazano na rysunku 3.3.2. Ustawić od- powiednio miernik uniwersalny IC na pomiar pr¸adu i przy pomocy układu zasilania cewek ustawić wartość pr¸adu na 0.5 A. Nast¸epnie dokonać identyfikacji biegunów ma- gnesu za pomoc¸a sondy. Koryguj¸ac położenie nabiegunników zadbać o jak najbardziej jednorodne pole magnetyczne w szczelinie mi¸edzy biegunami elektromagnesu. Usta- wienia te mog¸a wpłyn¸ać na końcowy wynik doświadczenia.

Wykorzystuj¸ac teslomierz, zmierzyć wartość indukcji pola magnetycznego B po- mi¸edzy nabiegunnikami dla różnych wartości pr¸adu cewek elektromagnesu IC. Wartość pr¸adu IC, zmienian¸a przy pomocy pokr¸etła oznaczonego symbolem c na rysunku 3.3.4, odczytywać używaj¸ac miernika uniwersalnego (w trybie amperomierza) wł¸aczonego w obwód szeregowo (oznaczonego symbolem 6 na rysunku 3.3.2). Wartość pr¸adu I_C nie powinna przekraczać 1.5 A, co odpowiada indukcji pola magnetycznego mi¸edzy na- biegunnikami około 320 mT. Po dokonaniu pomiarów wyj¸ać sond¸e z płyty z próbk¸a i wył¸aczyć konsol¸e teslomierza.

Pr¸ad próbki IP regulowany jest przy pomocy pokr¸etła oznaczonego symbolem c na rysunku 3.3.3. Wartość tego pr¸adu odczytywać należy na wyświetlaczu oznaczonym symbolem a na rysnuku 3.3.3. Wartość napi¸ecia Halla U_H odczytywać na mierniku uniwersalnym (w trybie miliwoltomierza) oznaczonym symbolem 6 na rysunku 3.3.2.

Zgodnie z równaniem (3.3.7) wyznaczenia stałej Halla R_H można dokonać na pod- stawie pomiaru zależności napi¸ecia U_H od wartości pr¸adu cewek elektromagnesu I_C

przy stałej wartości pr¸adu próbki IP. Można także wyznaczyć stał¸a Halla badaj¸ac za- leżność napi¸ecia U_H od wartości pr¸adu próbki I_P przy stałej wartości pr¸adu zasilania cewek elektromagnesu IC. W ćwiczeniu należy wykorzystać obie metody. W pierw- szej metodzie dla trzech wartości pr¸adu IP dokonać pomiaru wartości napi¸ecia UH, zmieniaj¸ac pr¸ad zasilania cewek I_C. W drugiej metodzie dla jednej wartości pr¸adu I_C dokonać pomiaru zależności napi¸ecia UH od pr¸adu IP.

Opracowanie wyników

Na podstawie zmierzonych wartości indukcji pola magnetycznego B dla różnych wartości pr¸adu cewek elektromagnesu IC sporz¸adzić wykres kalibracyjny B(IC), a nast¸epnie korzystaj¸ac z regresji liniowej wyznaczyć współczynniki linii prostej opi- suj¸acej t¸a zależność oraz ich niepewności. Korzystaj¸ac z równania prostej kalibracyj- nej, przeliczyć zarejestrowane w dalszej cz¸eści doświadczenia wartości pr¸adu IC na odpowiadaj¸ace im wartości indukcji magnetycznej B. Obliczyć także niepewności wy- znaczonych wartości indukcji magnetycznej B.

Dla pomiarów zależności UH w fukcji IC, dla każdej z wartości pr¸adu próbki IP, sporz¸adzić wykresy napi¸ecia Halla U_H w funkcji B i dopasować proste metod¸a re- gresji liniowej. Dla pomiarów zależności UH(IP) przy stałej wartości IC, sporz¸adzić wykres UH w funkcji IP i dopasować prost¸a metod¸a regresji liniowej. Z otrzymanych współczynników dopasowanych linii prostych, korzystaj¸ac z równania (3.3.7), obliczyć współczynnik Halla wraz z niepewności¸a pomiarow¸a. Obliczyć g¸estość nośników pr¸adu i niepewność pomiarow¸a tej wielkości.

3.3.3 Przebieg pomiarów - wersja B Układ doświadczalny

Stosowany do wykonania tego ćwiczenia zestaw doświadczalny przedstawiony jest na rysunku 3.3.7. Układ ten zawiera następujące przyrządy: płytka przewodząca tzw.

halotron o grubości 1 µm, miliwoltomierz do pomiaru napięcia Halla, źródło napię- cia stałego 1.5 V , dzielnik napięcia pozwalający na zmianę wartości napięcia stałe- go, miliamperomierz do pomiaru prądu płynącego przez badaną płytkę, układ cewek z rdzeniem do wytwarzania jednorodnego pola magnetycznego, zasilacz prądu stałe- go o regulowanej wartości napięcia, amperomierz do pomiaru prądu płynącego przez cewki.

Układ cewek oraz badana płytka są połączone z odpowiednimi zaciskami, które znajdują się na płycie montażowej - tych połączeń nie wolno zmieniać. Należy jedy- nie podłączyć do tych zacisków miliwoltomierz oraz układy zasilania płytki i cewek.

W układzie doświadczalnym rolę miliamperomierzy i miliwoltomierza pełnią mierniki uniwersalne ustawione na odpowiedni zakres.

W celu zabezpieczenia płytki przed zniszczeniem, w układzie zasilającym płytkę jest zamontowany rezystor, który uniemożliwia przepływ prądu o natężeniu większym

regulowany zasilacz pr¹du

sta³ego

mA uk³ad zasilania

cewek

p³ytka Halla

uk³ad cewek Ic

mA dzielnik

napiêcia 1.5 V mV

uk³ad zasilania p³ytki Halla pomiar napiêcia Halla

Rys. 3.3.7: Schemat układu doświadczalnego.

niż 20 mA. Należy jednak kontrolować wskazania miliamperomierza, aby nie zbliżać się do tej granicznej wartości.

Przebieg doświadczenia

Należy stwierdzić, który przyrząd będzie znajdował się w poszczególnych obwodach układu doświadczalnego oraz odpowiednio ustawić funkcje mierników uniwersalnych.

Połączyć obwody i przed włączeniem zasilania sprawdzić układ.

Zwrócić uwagę, że napięcie U_H jest niezerowe nawet, gdy natężenie prądu płynącego przez układ cewek jest równe zero (pole magnetyczne B = 0) i jest proporcjonalne do natężenia prądu płynącego przez płytkę. Jest to tzw. napięcie asymetrii. Należy zastanowić się co jest przyczyną tego zjawiska. Uwzględnić ten fakt przy obliczeniach, gdyż oznacza to, że napięcie Halla jest równe różnicy pomiędzy napięciami UH(B) i UH(B = 0).

Maksymalne natężenie prądu płynącego przez układ cewek wynosi I_c = 250 mA.

Dla trzech różnych wartości prądu Ic (100 mA ≤ Ic ≤ 200 mA) należy zmierzyć kilkakrotnie napięcie UH dla różnych wartości natężenia prądu płynącego przez płytkę (mniejszego niż 20 mA). Regulacja natężenia prądu płynącego przez płytkę odbywa się poprzez odpowiednie ustawienie dzielnika napęcia.

Zależność indukcji pola magnetycznego B układu cewek od natężenia prądu Icprzez nie płynącego, przedstawia krzywa kalibracyjna B(I_c) znajdująca się przy zestawie doświadczalnym.

Opracowanie wyników

Korzystając z krzywej kalibracyjnej B(I_c) znaleźć wartości indukcji pola magne- tycznego dla wybranych wartości prądu Ic.

Przedstawić wyniki pomiarów w postaci wykresów zależności napięcia Halla w funk- cji natężenia prądu płynącego przez próbkę. Do przedstawionych zależności dopasować proste metodą regresji liniowej.

Korzystając z otrzymanego równania prostej, obliczyć współczynnik Halla oraz jego niepewność pomiarową. Obliczyć gęstość nośników prądu i niepewność pomiarową tej wielkości. Przeprowadzić dyskusję otrzymanych rezultatów.