a · ... · a = { a a ...a | k ∈ N ,a ∈ a ,j ∈ { 1 ,...,m } ,i ∈ { 1 ,...,k }} ! Z ( a ) ∪ ... ∪ Z ( a )= Z ( a · ... · a ) , a ,..., a k [ x ,...,x ] 1.2TopologiaZariskiego.Lemat1.9.

(1)

1.2 Topologia Zariskiego.

Lemat 1.9. Skończona suma zbiorów algebraicznych jest zbiorem algebraicznym. Dokładniej, niech a₁, ..., a_m będą ideałami pierścienia k[x₁, ..., x_n]. Wówczas

Z(a¹)∪ ... ∪ Z(a^m) =Z(a¹ · ... · a^m), gdzie a₁· ... · a^m={!k

a_i1a_i2...a_{i m}| k ∈ N, a^{i j} ∈ a^j, j ∈ {1, ..., m}, i ∈ {1, ..., k}}^.

(2)

Uwaga 1.10. Niech a₁, ..., a_m będą ideałami pierścienia k[x₁, ..., x_n]. Wówczas Z(a1· ... · am) =Z(a1∩ ... ∩ am).

(3)

Lemat 1.11. Dowolny przekrój zbiorów algebraicznych jest zbiorem algebraicznym. Dokładniej, niech {aⁱ| i ∈ I } będzie rodziną ideałów pierścienia k[x₁, ..., x_n]. Wówczas

"

i∈I

Z(ai) =Z

⎛

⎝%&

i∈I

a_i '⎞

⎠.

(4)

Uwaga 1.12. Niech a₁, ..., a_m będą ideałami pierścienia k[x₁, ..., x_n]. Wówczas Z(a1+ ... + a_m) =Z(⟨a1∪ ... ∪ am⟩).

(5)

Twierdzenie 1.13. W przestrzeni kⁿ istnieje topologia, której zbiorami domkniętymi są zbiory algebraiczne w kⁿ.

(6)

Definicja 1.14. Topologię przestrzeni kⁿ wyznaczoną przez zbiory algebraiczne jako zbiory domknięte nazywamy topologią Zariskiego przestrzeni kⁿ.

(7)

Uwaga 1.15. W każdej niepustej rodzinie zbiorów algebraicznych istnieje minimalny zbiór algebraiczny.

(8)

Uwaga 1.16. Każdy zbiór algebraiczny V ⊆ kⁿ jest zwarty w topologii Zariskiego.