Spis treści
II.7. DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO. ... 36
M 7.1. Obrót bryły sztywnej dokoła stałej osi obrotu. ... 36
M 7.2. Przyspieszenie w ruchu obrotowym bryły sztywnej dokoła stałej osi obrotu. .. 37
M 7.3 (M 111). Staczanie się z równi pochyłej walca i rury. ... 38
M 7.5. Swobodne osie obrotu. ... 38
M 7.6 (M-119). Obrót prostopadłościanu dokoła osi największego, najmniejszego i pośredniego momentu bezwładności. ... 39
M 7.7 (M-120). Różna stabilność osi swobodnych obrotu. ... 39
M 7.8 (M-115). Fotel i hantle. ... 40
M 7.9 (M-116). Fotel i koło rowerowe. ... 40
M 7.10 (M-114). Wahadła Oberbecka ... 41
M 7.11 (M-117) Wirująca kulka. ... 42
M 7.12. Ruch precesyjny bąka. ... 42
M 7.13 (M-123). Precesja koła rowerowego. ... 43
M 7.14 (M-124). Waga żyroskopowa. ... 43
M 7.15 (M-121). Siły działające na oś bąka... 44
M 7.16 (M-109). Kolejka jednoszynowa... 44
M 7.17 (M-128). Kompas żyroskopowy. ... 45
II.7. DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO.
M 7.1. Obrót bryły sztywnej dokoła stałej osi obrotu.
Jeżeli na ciało o stałej osi obrotu y działa siła F (rys. M 7.1), wtedy momenty składowych tej siły F1 i F2 równoważone są przez momenty reakcji w łożyskach. Obrót dokoła osi Oy odbywa się pod wpływem momentu My siły F3 względem tej osi. Pokażemy to następująco:
osadzamy koło rowerowe na pionowej osi. Do szprychy koła doczepiamy dynamometr D.
Pokazujemy, że siła F działająca równolegle do osi obrotu y, lub wzdłuż promienia nie powoduje obrotu. Jedynie siła prostopadła do osi obrotu powoduje przyspieszony ruch obrotowy koła.
M 7.2. Przyspieszenie w ruchu obrotowym bryły sztywnej dokoła stałej osi obrotu.
Przyspieszenie kątowe bryły w tym przypadku wynosi:
M
I gdzie M jest wypadkowym momentem sił zewnętrznych względem osi obrotu, a I jest momentem bezwładności bryły względem tej osi. Zależność tę pokażemy:
A - za pomocą wahadła Oberbecka (rys. M 7.2a) składającego się z dwóch wzajemnie prostopadłych prętów przymocowanych do lekko obracającej się w łożyskach osi.
Wzdłuż prętów można przesuwać i mocować na nich cztery jednakowe ciężarki C. Muszą one być rozmieszczone dokładnie symetrycznie. Na osi osadzony jest krążek K. Po nawinięciu na krążek nici i zawieszeniu na niej ciężarka Q wywierany jest na układ moment obrotowy powodujący jego ruch przyspieszony.
Pokaz wykonujemy następująco:
a) przy stałym momencie bezwładności I wahadła zmieniamy moment M. dowieszając dodatkowy ciężarek Q’. Wtedy
21 21 M
M , a ponieważ M2>M1 , więc 2>1. Przyspieszenie oceniamy mierząc czas jednego obrotu wahadła raz przy zawieszonym ciężarku Q (1), drugi raz przy zawieszonych ciężarkach Q i Q’ (2).
b) przy stałym momencie M zmieniamy moment bezwładności I umieszczając ciężarki C raz
y
F2
F My
r
O F1
F3
Rys. M 7.1a
y
D F
Rys. M 7.1b
K
C Q
Q’
Rys. M 7.2a
Wtedy
21 12 I
I , a ponieważ I2<I1 , więc 2>1. Przyspieszenie oceniamy, jak poprzednio, mierząc czas jednego obrotu wahadła.
Chcąc zmierzyć stosunek przyspieszeń skorzystamy z zależności:
21 12
2
t
t gdzie t1 i t2 są czasami jednego obrotu.
M 7.3 (M 111). Staczanie się z równi pochyłej walca i rury.
Zależność momentu bezwładności ciała od rozłożenia przestrzennego jego masy pokazujemy następująco: na równi pochyłej stawiamy obok siebie pełny walec drewniany W i rurę stalową R o tej samej średnicy i tej samej masie (rys. M 7.3). Równość mas sprawdzamy kładąc je wcześniej na szalkach wagi technicznej (rys. M 7.3b). Obrót walca i rury odbywa się dokoła chwilowej osi obrotu O. W obu przypadkach moment powodujący ruch obrotowy jest ten sam i wynosi rQ (rys. M 7.3c).
Puszczając równocześnie walec i rurę stwierdzamy większe przyspieszenie pełnego walca (wyprzedza on rurę). Wynika to stąd, że jego moment bezwładności względem chwilowej osi obrotu jest równy ok. 3/4 momentu bezwładności rury. Stąd przyspieszenie kątowe wynosi ok. 4/3 przyspieszenia kątowego rury.
M 7.5. Swobodne osie obrotu.
Pokazujemy bąki w postaci krążków z przechodzącą przez nie osią jak na rys. M 7.5. Jedynie w przypadku „a” przechodząca przez krążek oś może być osią swobodną.
Rys. M 7.2b
r
R W
Q
a) b) c) Rys. M 7.3.
M 7.6 (M-119). Obrót prostopadłościanu dokoła osi największego, najmniejszego i pośredniego momentu bezwładności.
Pudełko tekturowe, którego każdą parę przeciwległych ścian malujemy innym kolorem, wyrzucamy nadając mu równocześnie ruch obrotowy dokoła osi AA o największym momencie bezwładności.
Jest to oś swobodna - pudełko obraca się dokoła niej - widzimy na niebiesko pomalowaną ścianę. Powtarzamy to dla osi BB o najmniejszym momencie bezwładności. Też jest osią swobodną - widzimy na zielono pomalowaną ścianę.
Przy wyrzuceniu z obrotem dokoła osi CC o pośrednim momencie bezwładności, pudełko nie będzie się obracało dokoła tej osi, ale zacznie koziołkować - barwy się zmieniają.
Najłatwiej uzyskać wyrzut z równoczesnym obrotem następująco: kładziemy pudełko na stole odpowiednią krawędzią równolegle do blatu, tak aby wystawało na zewnątrz mniej niż połowę i silnie uderzamy w górę w środek zewnętrznej krawędzi pudełka.
M 7.7 (M-120). Różna stabilność osi swobodnych obrotu.
Na osi wirownicy wieszamy krążek za pomocą cienkiego drucika. Krążek wisi w pozycji A.
Po uruchomieniu wirownicy krążek obraca się początkowo w tej pozycji(dokoła osi najmniejszego momentu bezwładności), ale przy zwiększeniu częstości obrotów przechodzi do obrotów dokoła największego momentu bezwładności (pozycja B). Powtarzamy to dla a) b) c)
Rys. M 7.5.
C
A
B B A
C Rys. M 7.6.
M 7.8 (M-115). Fotel i hantle.
Siadamy na fotelu lekko obracającym się wokół pionowej osi trzymając hantle gimnastyczne w wyciągniętych w bok rękach.. Druga osoba rozpędza nas. Powoli zbliżamy hantle do siebie (ostrożnie i symetrycznie, aby się nie przewrócić). Ponieważ przy zbliżeniu hantli maleje moment bezwładności układu względem osi obrotu - prędkość kątowa rośnie (yIy=const, gdzie Iy jest momentem bezwładności względem osi obrotu y, y jest prędkością kątową).
Oddalamy hantle - prędkość kątowa maleje. Powtarzamy to kilka razy, ale nie więcej niż dwa do trzech, ponieważ ze względu na istnienie momentu sił zewnętrznych (moment sił tarcia w łożyskach) moment pędu powoli maleje. Siły którymi działamy zbliżając i oddalając hantle są siłami wewnętrznymi i suma ich momentów jest równa zeru.
M 7.9 (M-116). Fotel i koło rowerowe.
a) Siadamy na fotelu obrotowym trzymając w rękach koło rowerowe, którego obręcz obciążona jest ołowiem dla zwiększenia momentu bezwładności. Przedłużoną oś koła rowerowego opieramy o fotel, drugi koniec trzymamy ręką tak, aby oś była pionowa. Koło i fotel są w spoczynku (I=0). Drugą ręką zaczynamy obracać koło. Powoduje to nasz obrót z fotelem w przeciwnym kierunku tak, aby nadal suma momentów pędu była równa zeru.
b) Rozpędzamy koło rowerowe z poprzedniego pokazu za pomocą silnika z tarczą gumową nasadzoną na jego oś. Oś koła rowerowego niech będzie pozioma. Siadamy z kołem na fotelu obrotowym (może też druga osoba podać koło rowerowe). Suma momentów pędu w kierunku pionowym - naszego i koła rowerowego - równa jest zeru. Teraz powoli obracamy oś koła rowerowego do pionu; zaczynamy obracać się z fotelem i kołem rowerowym w kierunku przeciwnym do obrotu koła rowerowego tak, że nadal suma wektorowa składowych pionowych momentu pędu równa jest zeru. Po obróceniu osi koła z powrotem do poziomu zatrzymujemy się, a po wzniesieniu do góry drugiego końca osi, zaczynamy się obracać w kierunku przeciwnym. Powtarzamy to kilka razy, ale nie za wiele, ponieważ - jak poprzednio - moment sił tarcia w łożyskach fotela jako moment sił zewnętrznych zakłóca doświadczenie.
c) Jeżeli w chwili, gdy w poprzednim pokazie oś koła rowerowego była pionowa, zahamujemy koło ręką - zatrzymamy obrót koła i fotela z nami. Zgodnie z zasadą zachowania
a) b)
B B
A A
Rys. M 7.7.
momentu pędu suma składowych pionowych momentu pędu obu elementów układu jest nadal równa zeru.
M 7.10 (M-114). Wahadła Oberbecka
Dwa wahadła Oberbecka sprzężone są ze sobą za pośrednictwem sprężyny S. Dla układu wahadeł momenty wywierane przez sprężynę są momentami wewnętrznymi - nie mogą one zmienić całkowitego momentu pędu układu.
a) Przytrzymując jedno z wahadeł skręcamy sprężynę obracając drugie wahadło. Następnie zwalniamy równocześnie oba wahadła. Rozpoczyna się obrót obu wahadeł w przeciwnych kierunkach. W każdej chwili moment pędu jednego wahadła jest równy momentowi pędu drugiego, ale o zwrocie przeciwnym tak, że całkowity moment pędu układu jest nadal równy zeru. Przyspieszenia kątowe wahadeł są odwrotnie proporcjonalne do ich momentów bezwładności.
b) Rozmieszczamy masy na ramionach obu wahadeł symetrycznie i daleko od osi. Krótkim impulsem nadajemy jednemu z wahadeł prędkość kątową 0 , a więc początkowy moment pędu układu wynosi II0I(JII0II=0); wg. zasady zachowania momentu pędu powinien on nadal pozostać taki sam. Wskutek sprzężenia obu wahadeł za pomocą sprężyny wywiera ona (po skręceniu) moment obrotowy na wahadło II zwiększając moment jego pędu;
równocześnie moment pędu wahadła I maleje.
Przekazywanie momentu pędu trwa tak długo, dopóki wahadło I nie zatrzyma się, a wahadło II uzyska początkowy moment pędu wahadła I.
Następnie wahadło II zacznie przekazywać moment pędu wahadłu I itd.
Rys. M 7.10.
M 7.11 (M-117) Wirująca kulka.
Na sznurku przewleczonym przez szklaną rurkę R o zaokrąglonych brzegach wiruje kulka K po okręgu o promieniu r. Wyciągając sznurek zmniejszamy promień okręgu. W miarę zmniejszania się promienia maleje moment bezwładności wirującej kulki, więc dla zachowania momentu pędu rośnie prędkość kątowa. Kilkakrotnie zmniejszać i zwiększać promień okręgu.
M 7.12. Ruch precesyjny bąka.
Pokazujemy ruch precesyjny bąka w postaci krążka o średnicy ok. 20cm z przetkniętą przez środek zaostrzoną osią (rys. M 7.12a). Wprawiamy bąka w ruch i stawiamy na stole; bąk zaczyna wykonywać ruch precesyjny pod działaniem momentu siły ciężkości i reakcji stołu
(rys. M 7.12b). Wcześniej określamy jaki będzie kierunek precesji posługując się modelem wg rys. M 7.12d. Model ten powinien być dostatecznie duży, np. wektor L długości ok. 30cm.
Zwróćmy uwagę na częstość ruchu precesyjnego.
R
r K
Rys. M 7.11.
Mt L+Mt L
S L1 L2
R
Q Mt
a) b) c) d) Rys. M. 7.12.
M 7.13 (M-123). Precesja koła rowerowego.
Koło rowerowe z obciążoną obręczą i przedłużoną z obu stron osią, wieszamy na sznurze opuszczonym z sufitu (rys. M 7.13), rozpędzamy ręką i po skierowaniu osi nieco ku górze puszczamy. W chwili puszczenia popychamy oś nieco w kierunku, którym nastąpi precesja. Oś koła nie opada, lecz opisuje stożek precesji. Kierunek precesji ustalamy wcześniej korzystając z modelu (rys. M 7.12d).
M 7.14 (M-124). Waga żyroskopowa.
Rys. M 7.14.
Bąk żyroskopu B może obracać się w łożyskach w pierścieniowej ramce R, która umocowana jest na jednym końcu dźwigni D. Na drugim końcu tej dźwigni znajduje się przesuwany ciężarek Q. Przesuwając doprowadzamy dźwignię, gdy bąk się nie obraca, do równowagi rys.
M 7.14). Dźwignia D może się obracać w płaszczyźnie pionowej dokoła osi O umocowanej mniej więcej w połowie dźwigni. Bąka wprawiamy w szybki ruch wirowy przez zetknięcie go z krążkiem gumowym osadzonym na osi silnika elektrycznego. Waga pozostaje w równowadze. Doczepiamy do ciężarka Q dodatkowy ciężarek Q1. Bąk B, razem z dźwignią zaczyna wykonywać ruch precesyjny dokoła osi pionowej (śruba S1 jest poluźniona, aby oś O1 mogła się obracać). Kierunek obrotu dźwigni ustalamy wcześniej korzystając z modelu
Rys. M 7.13.
zaczyna się obracać w drugą stronę. Gdy dokręcimy śrubę S1 uniemożliwiając precesję, dźwignia opadnie w stronę ciężarka Q1.
M 7.15 (M-121). Siły działające na oś bąka.
Jeżeli podziałamy na oś wirującego bąka siłą F prostopadłą do osi, to oś nie pochyli w jej kierunku, a wykona ruch precesyjny w płaszczyźnie prostopadłej do siły (rys. M 7.15).
Gdybyśmy uniemożliwili precesję np. umieszczając łożysko w uchwycie nie pozwalającym na obrót w tym kierunku, to bez trudu pochylimy oś bąka. Jak długo może następować precesja, nawet bardzo duża siła nie pochyli osi bąka. Pokazujemy to na bąku podpartym w środku ciężkości (rys. M 7.15b). Po rozpędzeniu bąka (przy osi pionowej) naciskamy silnie poziomo na oś prętem z pleksi (pleksi dla zapewnienia małego tarcia). Bąk razem z podstawą przesuwa się po stole w kierunku działania siły nie pochylając się w tym kierunku. Natomiast oś pochyla się w naszą stronę, tj. w kierunku prostopadłym do działającej siły. Następnie naciskamy prętem z drugiej strony - całość przesuniemy w prawo, a oś bąka wraca przy tym do pionu.
M 7.16 (M-109). Kolejka jednoszynowa.
Efekt opisany w pokazie M 7.15 wykorzystany jest przy konstrukcji kolejki jednoszynowej.
W pokazowym modelu kolejki (rys. M 7.16) bąk wiruje w pierścieniu P. mogącym się obracać w ramie R wokół osi poziomej prostopadłej do osi bąka. Rama związana jest z wagonikiem i umieszczona w poprzek niego. Rozpędzamy bąka dociskając go na chwilę do
Rys. M 7.16.
F F precesja
a) b) Rys. M 7.15.
gumowego krążka osadzonego na osi silnika. Ustawiamy wagonik i oś bąka pionowo i lekko popychamy (można też postawić wagonik na lekko pochylonej desce, aby z niej zjeżdżał).
Wagonik nie będzie tak długo upadał, jak długo będzie mogła zachodzić precesja bąka, a więc dopóki jego oś z pierścieniem P., nie obróci się o 900 - do pozycji poziomej. Z tego względu, aby w pokazie wagonik jak najdłużej utrzymywał równowagę, należy go początkowo ustawić możliwie pionowo.
Aby wagonik trwale utrzymywał równowagę, należałoby do układu stabilizującego wprowadzić serwomechanizm, który już przy niewielkim odchyleniu od pionu zwiększyłby obrót pierścienia P. wywołany przez precesję tak, aby wagonik nie tylko powrócił do pionu, ale go nieco przekroczył. W wyniku tego po przejściu przez równowagę, nastąpi pochylenie w drugą stronę i precesja przeciwna - dalej powtarza się proces opisany powyżej. Otrzymuje się stałe, niewielkie wahania wokół stanu równowagi.
M 7.17 (M-128). Kompas żyroskopowy.
W uchwycie wirownicy osadzamy oś poziomej tarczy T. Do tarczy przymocowujemy łuk Ł wykonany z płaskownika, który ma przedstawiać krzywiznę Ziemi. W połowie ćwiartki łuku umocowujemy żyroskop Ż, którego oprawa może się obracać tylko dokoła osi prostopadłej do powierzchni łuku w tym miejscu. Przy nieruchomej tarczy rozpędzamy żyroskop i ustawiamy jego oś tak, że tworzy ona dowolny kąt z płaszczyzną łuku przedstawiającą płaszczyznę południka ziemskiego. Teraz zaczynamy obracać ręką tarczę T - widzimy, że oś żyroskopu ustawia się w płaszczyźnie łuku i pozostaje w niej przy dalszym obrocie. Gdy zmieniamy kierunek obracania tarczy na przeciwny, oś żyroskopu obróci się o 1800.
Ż
Ł
T
Rys. M 7.17.
