F O L I A O E C O N O M I C A C R A C O V I E N S I A
Vol. LIII (2012) PL ISSN 0071-674X
w y b r a n e
z a g a d n i e n i a
w s p ó ł c z e s n e g o
m o d e l o w a n i a
s t r u k t u r a l n e g o
,c z ę ś ć
i i
:w n i o s k o w a n i e
w
e s t y m o w a n y c h
m o d e l a c h
r ó w n o w a g i
o g ó l n e j
REN ATA W R Ó B E L -R O T T E R
K atedra Ekonom etrii i B adań O peracyjnych U niw ersytetu E konom icznego w Krakowie
e-mail: eewrobel@cyf-kr.edu.pl
ABSTRACT
R. Wróbel-Rotter. M odern structural modelling, part II: inference in estimated general equilibrium models.
Folia O econom ica Cracoviensia 2012, 53: 85-106.
The p a p e r p resen ts m e th o d s of estim ation a n d ev alu atio n of general equilibrium m odels, h ig h lights problem atic fields a n d challenges. A fter d efinition of p referen ces, te c h n o lo g y and stru ctu ral shocks m o d e l's equations, d eriv ed b y solving m icroeconom ic op tim izatio n problem s, are loglinearised a n d th e rational expectation so lu tio n is found. The next im p o rta n t step is the connection of theoretical variables w ith th e observed c o u n te rp a rts th a t allows to co n stru ct the likelihood. Estim ation, verification a n d n u m erical convergence plays crucial role in the overall goodness of the m odel. A general equilibrium m o d e l can also be u sed to co nstruct h y brid vector autoregression th a t allows to test d egree of its misspecification.
STRESZCZENIE
W pracy o m ów iono p o d staw o w e zag ad n ien ia zw iązane z rozw iązyw aniem , estym acją, w eryfika cją i stabilnością n u m e ry czn ą em p iry czn y ch m odeli ró w n o w ag i ogólnej. Z asygnalizow ano m ożli w ość ich w ykorzystania d o b u d o w y h y b ry d o w y ch m odeli w ektorow ej autoregresji, które u m o ż liwiają ocenę sto p n ia p o p raw n o ści i p o tw ie rd zen ia p rz e z obserw acje zało żeń ekonom icznych przy jęty ch w części teoretycznej m odelu. E sty m o w an y m o d e l ró w n o w ag i ogólnej jest zbiorem w a ru n k ó w pierw szego rzęd u , zag ad n ień optym alizacyjnych p o d m io tó w zdefiniow anych w części teoretycznej i w a ru n k ó w rów now agi, zap isy w an y ch w postaci je d n ej funkcji w ektorow ej, w a r u n kow ej w zg lęd em p aram etró w stru k tu raln y ch , która tw o rzy nieliniow y, d y n am iczn y system racjo n aln y ch oczekiw ań, podlegający loglinearyzacji i rozw iązaniu. Stabilność rozw iązania liniow ego im plikuje liczne, tru d n e d o określenia restrykcje w p rzestrzen i p aram etró w stru k tu raln y ch , które m ogą stanow ić p rzyczynę p roblem ów n u m e ry czn y ch w czasie estymacji. Estym acja p aram etró w s tru k tu ra ln y c h w y m ag a połączenia d a n y c h , p o ch o d zący ch z m a k ro ek o n o m iczn y ch szeregów czasow ych, ze zm iennym i endogenicznym i, zdefiniow anym i w konstrukcji teoretycznej m o delu,
p o p rzez ró w n an ie obserwacji, stanow iące p o d staw ę konstrukcji funkcji w iarygodności. Liniowe rozw iązanie m o d e lu zapisuje się w form ie reprezentacji w p rzestrzen i stanów , n a podstaw ie której m ożliw e jest sk o n stru o w an ie funkcji w iarygodności, w ykorzystując filtr K alm ana, ze w zg lęd u na n ieo b serw o w aln y c h arakter n ie których zm ien n y ch stanu.
Estym acja p a ra m e tró w stru k tu ra ln y c h jest najczęściej d o k o n y w a n a p o p rz e z techniki w n io skow ania bayesow skiego, które w ykorzystują k o m p letn y system w a ru n k ó w pierw szego rzęd u , ograniczeń zasobow ych i reg u ł decyzyjnych. M etody bayesow skie pozw alają n a skonstruow anie je d n ej m iary określającej sto p ień d o p aso w an ia m o d e lu d o d a n y c h em pirycznych, w postaci b rz e gow ej gęstości obserwacji, um ożliw iające form alne p o ró w n y w a n ia m odeli w obrębie danej klasy b ą d ź też z u w zg lęd n ien iem w ektorow ej autoregresji. M ożliw e jest rów nież połączenie w ied zy z ró żn y ch specyfikacji. Kluczow ą rolę w ocenie jakości m o d e lu pełni jego w eryfikacja, na którą składa się ocena p o p raw n o ści funkcjonow ania algorytm ów nu m e ry czn y ch , w szczególności p r o c e d u ry M etropolisa i H astingsa, oraz analiza w rażliw ości pozw alająca na uzy sk an ie pew n eg o w g lą d u w zależności m ied zy p a ram etram i w konstrukcji teoretycznej. Sposób rozw iązyw ania i liniow ej aproksym acji m odeli ró w n o w ag i ogólnej nie um ożliw ia określenia bezp o śred n ieg o p o w iązania p aram etró w postaci stru k tu raln ej z p aram etram i postaci z red u k o w an ej, które d e te rm i n ują w nioski ekonom iczne uzyskiw ane na podstaw ie m odelu. P ow oduje to, że charakterystyka ta kiego zw iązku w y m ag a zastosow ania d o d atk o w y ch m e to d , w szczególności technik stosow anych w analizie wrażliwości.
O d d zieln y m zag ad n ien iem je st sto p ień p o p raw n o ści specyfikacji m o d e lu , w szczególności p o p ra w n e g o określenia relacji stru k tu ra ln y c h w gospodarce, przyjęcia o d p o w ie d n ic h założeń funkcyjnych dla preferencji k o n su m e n tó w i technologii, nieujęcia zależności nieliniow ych, czy też po p raw n o ści specyfikacji procesów stochastycznych. E stym ow any m o d e l ró w n o w ag i ogólnej jest k onstrukcją te oretyczną łączącą w je d n y m system ie teorię m a k roekonom ii i m ikroekonom ii, co p o w o d u je że w szelkie w ielkości opisujące gospodarkę i p ro g n o zy są w ynikiem założonej w m o d elu teorii i stru k tu ry procesów stochastycznych. Z tego w z g lę d u m e to d y b a d a n ia stopnia z g o d ności przyjętych założeń z d an y m i em pirycznym i stanow ią szerokie pole badaw cze. Jed n y m ze sposobów jej testow ania jest b u d o w a h y b ry d o w y ch m odeli w ektorow ej autoregresji, w których m o d e l ró w n o w ag i ogólnej jest p rzy jm o w an y do g en ero w an ia ro zk ład u a priori dla w ektorow ej autoregresji szacow anej dla d a n y c h o b serw ow anych. Stopień niezgodności p rzy jęty ch założeń ekonom icznych z d an y m i em pirycznym i u jaw nia się p o p rzez określone w artości p a ra m e tru w a g o w ego. Pracę p o d su m o w u je w skazanie obszarów , w któ ry ch potencjalnie m ogą w ystąpić problem y w trakcie w y k orzystyw ania esty m o w an y ch m odeli ró w n o w ag i ogólnej w praktyce.
KEY WORDS — SŁOWA KLUCZOWE
E stim ated G eneral E quilibrium m odel, rational expectation solutions, Bayesian inference, M etropolis H astings algorithm , num erical convergence, sensitivity analysis,
hybrid vector autoregression
E stym ow any m o d e l ró w n o w ag i ogólnej, m o d e l racjonalnych oczekiw ań, w nioskow anie Bayesow skie, algorytm M etropolisa i H astingsa, n u m e ry czn a zbieżność, analiza w rażliw ości,
h y b ry d o w a w ek to ro w a autoregresja
1. W S T Ę P
Estym ow ane m odele rów now agi ogólnej są złożoną konstrukcją teoretyczną, u j m ującą szereg konkurencyjnych założeń ekonom icznych, które m ogą zostać pod dane form alnem u testowaniu na gruncie empirycznym. Stosowanie m odelu do analiz ekonom icznych w ym aga jego oszacowania i pełnej weryfikacji, które mają
87
określić ja k dobrze m odel odzwierciedla relacje zachodzące w realnej gospodarce. Celem niniejszej pracy jest kontynuacja omówienia zagadnień m etodologicznych zw iązanych z estym ow anym i m odelam i rów now agi ogólnej, ze szczególnym uw zględnieniem aspektów ekonom etrycznych: estymacji, weryfikacji, stabilności num erycznej i analizy wrażliwości. Całość pracy podsum ow uje prezentacja moż liwości budow y m odeli hybrydow ych, będących propozycją połączenia modeli strukturalnych z giętkością wektorow ej autoregresji. Rozw ażania w tekście m ają charakter ogólny i stanowią próbę podsum ow ania i zebrania najw ażniejszych za gadnień m etodologicznych. Artykuł niniejszy stano wi kontynuację opracow ania: „Wybrane zagadnienia współczesnego m odelow ania strukturalnego, część I: esty- m ow ane m odele rów n owagi ogólnej w zarysie", poprzedniego w tym torme.
2. M E T O D Y R O Z W IĄ Z Y W A N IA M O D E L I ST R U K T U R A L N Y C H Estym ow an y m odel rów n ow ag io g ó l n ej j est zbiorem w aru nków pierw szego rzędu, zagadraigó optym alizacyjnych podm iotów zdeóim ow anych w części Unoreo tycznej, i w aaun Zów rywo ow a n , mapo w a n ych n jpostrci jednaj i a nkcj1 w elcto- r owej, w eruntetw ej n e g ó dem pęzam ótrów sttnktuealnyale n, kdOTa Iceorce m r h niow y, ó ó n amlczny system racjonalnych o czck iwań:
E t[ f ( y (+2,y ^ y ^ , #t ;#)] =
0
,
g ctnie ( j edt w etóorem m n ywazji ow ^ zenyeh z pto ceerm i ntoehastycwnymi opi- ncjncym0 kzzCaftowanće sie pjt^icioję^eE!!^i.c:z;:in.;o'rc:in aoktócpai leeow nch w pontaci rCroPtu-
rajn ej, o kaóręm zaCdadam y: EÓ£g) = ó ó E (a t t't) = t j^y, ^ zrscirra w reostkia
m etry lu nd am en tkln o ^ i Cy, p aram e g y wyrtconijąoz w p oarstgłycO śOwnaneach]
w ty m ó., ozee p aram etcy opit uj ące p ruesso stoehastyenne zdefim ew en s w r o ś c i
taanetycznej caiodleiu, tlo l^zCćur^cO n clePą m.in . C2, t t t bUp zy cratoj: E;(.d c^a;n^c:jz;^
w ortość oazeSewan ą, wae c nkow ą w zględzae zH oru in fozrracji w imom end e r, nsr
tom iast y() oznacza wrrrktor wszysikicHc zmien n och on dog aeicen ych, określa
ftoclalbcLtSir jO'"1 zzzvi nr ającn cesuenne w yctnpując= ze;- posteei it h w rrto1. 1 oczekiw ać rnyzo w m om encie (Z + 2#, nazyw anych zn gt n njt i“n:i ontysypacejnym n w j3łe;rjAżresaj p a b k iej jezacy o cakrzsu esSym ow s n nd c m odeh scaw now ogi ogc jnej , Gtab ek, Kłos i U Czig -e e narczyk y0007). W ek.or t-n grupuje zm ienne endogeniczne w ystępu jące w formie opóźnień rzędu jed en ; zakłada się że liczba rów nań strukturalnych jest rów na liczbie zm iennych endogenicznych.
Rozwiązanie otrzymanego systemu racjonalnych oczekiwań polega na aprok symacji funkcji przejścia (reguły decyzyjnej), (ang. transition, policy function, de cision rules):
r ! = g ^ b i i U , ; ? ) ,
opisy jjc o j koztałtow -m c się bieżących w artości zm ien n ych en dog ewiczn ych
w zależn ości od w ektorc stazoy n c któoy bkdaZaią s i . c m io cn c ą n l
o-genic::^:in«e yO" i łcicżocb ow ien n c egzoyeniozn e, orao zo0(0cznik lo tow c Oą cozpo- tryw anej w arun koh o względem w eWtora p aram eOów ć z co ;je:;^t do]iej p omija n e
w notacji. Funkcjn decyay jnb g(.- je r 1 w ^ n aczcna r wr k oezystónidm
m ecji zzeregirm Taytoza fu.zilcc:j- h i w okół n eterm iciotyczn zg o etana stabilnego
m udclo, ckrośCon oco ]kezoz w edtor (e’C') , £=, następają ce w anienki:
#) = 0, d () = ,?G"("^(,^!) i ]?t^(i>-^ je;:rt otcey diy w a n r ; o r oz-wiącanin t ialiniow ego, wieiowymiaeoweg ą układu rhw n ś ó śdrrZturalnyeh m oe Zclu. O zn acza en dnnomiconą zówn t w agę nobkOin, jest tolten^eli^sri^oj prz e t w ąrtości
zrmec n ydli j ( t = yO =c 8 ( \ oraz dja zakłóceń ltDSio ^ y c lki,, ystatonych e a j o ziomie
bezw arunkow ez w rr torci oearkłw an ej: ht = ] r = 0 . U w zględnienie zależności
otcl = g ]+)On ')" +i) i (t(e = g (“)tn i 1), u 8 , g c + c g (+)cc i g ^ O oznaczają zależ ności ograniczone do zm iennych odpow iednio: w ystępujących w formie ocze kiw ań w artości nrzyszłych i w postaci opóźnień zm iennych endogenicznych, umożliwia zapisanie m odelu rów now agi ogólnej w formie:
E [ / ( ^ ( g ^ O Ł Ś , e, U ^ g C n H , u 1 , 8 ' , 8 )] = 0,
^tcura nie; posiada rozwiązania an alityczn ego, co pow oduje konieczność st osowa nia m etod n um enycznych do przybliżenie g C ^ z , ! )• O b r cnir często etosow on ą jesit m etoda p rsturb acji, polegającc n a eozwini ęciu /(•) w, cz areg Tpylora i aproksy- m aejć pierwszego rzędu funkcji decyzyjnej przez:
g ( y g l £t ) = y + gy+t:! +
gdzie y (t— = jglj1 - y t_), = = £t - £ , nieznane macierze gy i gf są obliczane na pod
stawie w arunku zerow ania się odpow iednich układów rów nań m acierzow ych i spełnienia w arunków stabilności, w sensie Blancharda i Kahna, rozwiązania m odelu racjonalnych oczekiwań: Blanchard i Kahn (1980). Szczegóły zawierają m.in. prace: Collard i Juillard (2001a, 2001b), Juillard (2002) i Villemot (2011).
Elem enty macierzy gy i gf , prow adzących do rozwiązania m odelu równowagi
ogólnej, będące nieliniowymi funkcjam i 0, są obliczane dla ustalonego wektora param etrów strukturalnych 0. W procesie estymacji rów nań modelu, za pom ocą m etod sym ulacyjnych, rozwiązanie takie, spełniające warunki stabilności, jest ob liczane dla każdej wylosow anej wartości 0, co w praktyce oznacza nałożenie na przestrzeń param etrów strukturalnych szeregu restrykcji, których charakter jest trudny do określenia. M etody analizy wrażliwości pozw alają na uzyskanie pew nego wglądu w charakter zależności między 0 a m acierzami rów nania przejścia
ge-89
Estymacja param etrów strukturalnych 6 modelu równowagi ogólnej wymaga połączenia dan ych, poch odzący c h z mo^ oekononuczn ^ h szeregów coosow ysh i ze zm ienoynci cn dogem(^;^icye^i ,e d ^oihiyi^^n yn:^i i^ c^o n trc^l^(^j i n pcetyczeiej m o delu, p azyw zo gm i sm ^ n n y m i nonosy tualoy m i w p eac^ G r a b e ^ K łh t i U te.g- ip cnarc z y k i20ą7i . 0 ołączenie t akie je s - odefiniow an e p r z ee ró w n a n ie ofo er w aci -pomi aru), (aisg . m ezeur em ent equ ation ), dtór e iąazą - m ienne ston u z -c h o d g c>- wiednikareu w asodn n ych of o e tw ow ofriycli:
Yt = h ( y £ L vt y
gdzie Y t jest w ektorem (nX 1) obserw ow anych zm iennych endogenicznych, za-
kfócan ia losow e; w cew naniu rd serw acj0 ^ , nieznleżn e nd zakłóceń losowych e t
w p optari sfrukecro ln c j , m oża ^ ć interpr etow r n e błąd pom iaru danych,
bodź j ak o m iara stopnta p otee c jalnir n irp oprc wy ej spncyfikacji m odelu teore- tyczncgo , Ioibi e i Scaoźrheide a 20Ca>i . O pr ó c z op óźb)onoch zm iennych endoge-
dinonycy y -~_e i innow acji £t, rów nanie przejścia m oże obejm ow ać kształtowanie
się dodatkowych zm iennych z konstrukcji teoretycznej, dla których dostępne są dane empiryczne. Część zm iennych endogenicznych w m odelu może nie mieć odpow iedników w zm iennych obserw ow alnych, co pow oduje że niektóre zależ ności m ogą zostać pom inięte w czasie konstrukcji rów nania obserw acji i, w kon sekw encji, param etry strukturalne w ystępujące jedynie w tych rów naniach
są kalibrowane. Liniowa postać funkcji g(.) w rów naniu przejścia i funkcji h(.)
w rów naniu obserw acji pow oduje, że otrzym any układ rów nań m ożna trakto wać jako liniowy system przestrzeni stanów, bezpośrednio wykorzystywany do konstrukcji funkcji wiarygodności. N ajczęściej w praktyce przyjm uje się liniową postać rów nania obserw acji i zakłada się rozkłady norm alne dla zakłóceń loso
w ych e t i Ot, co skutkuje obniżeniem stopnia num erycznego skom plikowania
aplikacji. M etody rozw iązyw ania i estymacji m odelu w przypadkach ogólnych opracowali Fernandez-Villaverde i Rubio-Ram frez (2003, 2005), Arulam palam, M askell, Gordon i Clap p (2002) oraz Amisan o i Tristani (2007).
3. K O N ST R U K C JA F U N K C JI W IA R Y G O D N O Ś C I
Zm ienne obserw ow alne są połączone ze zm iennym i zdefiniow anym i w kon- klru k c jiteoretycz s ej m odelu w ap osób a rzyOliż ony, doauazczając y istnienie od- c a ylen ir d )
Yt = Cy? + v
gdzie C pełni rolę m acierzy selekcjonującej i odzwierciedla założenia dotyczące
związan e z dostępnością i definicją d anych em pirycznych . Wykorzystując zależ
n ość yO = y + y g , Z ju sj odch yleniem zm itn n ych en d ogenicsnydh y k
od. ichi wartości w stanie seabilncdn oraz u a k ł c c - ó niową pnstać r ównania
przejścia:
y ? = y + ^ - 1 +
otrzymuj om y n astępujący układ r ówneń:
Y - « + « . « + v,
y •<’ - £ , i t ' i ' + i = A
w któr ym m aci er z e gy i j , zaleś ą ad wenOzce Z o taz caCZancmy E ] , ) ^
C E (v tvt) = 2 v. Układ ten, liniowy wze^O-dem c m is n n drh en dog enicznych, tw oc rzy reprezen taoję m odelu zy w n ow n e ogóln nj w przeeldnem otan tw , na p o dste- w!e Otórego m e ^liiere jest rkonstotuow ynie fun kcj1 wmoynodyzćci, w ykm zystując
fittr Ki l may o he wzglę=u oa nioklsseiw ow alny ahaordtec m ekoóry th zmlcenhnh
stanu. Dl a wektoea e e k n o ró lom wycło w równ anrn «crzdjśd i aa, ^ i oy rów n
c-nio oCterw csji gę zuH acHs ń hśsoatea w , M ontyc i n e roz0iedy c-nioir^^^ne;, o w ar tościach occ ekiw anycłi eów oneh zeoo i m acioez ycą kow arćtncji odjpowi e dm o
Q oraz V: rę ~ śidN(0, Q) i v, ~ UdNt0, V).
Łpecny zozWaO obsekw acji O, ]fo ohodoącej a teonetyczn ej cad njrkoi
pozo-stającis] y rów n ow aWz a «-.w^c^iiE^imic:ńn<^ja jeet jjoe z s a e m w ocunSowwcO rnckład ćw
w ektorów Yw, w zg^ d e m jua^^z^szłycd wartości Y t_o- p (Y t \Y- lyd ) , przy ustalonych
param etrach 6 i rozkładzie stanu początkow ego Y 0:
P ( Y \ ! = P Y l Y ^ e p p f & M p Y , ! ^ \ Y 0 , d ) p { Y 0 \ d ) .
g dzie Y i est m ad etzą (T X n ) obserwacji n a Łm ienn yrh endogr niconyoh . F ą n kcja
wir ry g odi^aCie: ^ ^ a on ctro ow ano r eOu rency jnie; H am ilton r i99r ), Cern add=z- Viiiewerde l Rubto-Ramirez (2005, 2007):
!% | 7) = J # ^ ) -”72 d e t # |(_1) - 1/2 e x p [-0 .5 (7 y - Y ^ ) ' Z - U Y - " ,„ " ) ] ,
gdzie _1 yr w ym iarach (n X n), je s t w arun Oową, względem z b io r) in form acji
at m om encie (t ,l), macierzą kowariancji wektora Y t, zawierającego obserw acje do
m om en tu t Yt^,_l w artościąoczekiw a n ą Y ; , w arunkow ą w z g rędem zbtor u infor-
m a c jiw m om tn c ie (O-20:
!
=C P
C '+V
! t\t-1 C r t\t-1 C ,
n atomiaat predykcja wektora stanu i j ngo macierzy kowariancji PZ+ij* zach o
dzi w edług nastopu jących form uł:
$ 1 i|t =g y y =L +K tvt >
P t+ l t = S y ( P gt-1 + P t \ t - l C ! ^ - 1 C P t|t-1 + 2
gdzir K = ,?i;i^|p_ C oznacza poprawkę Kalmana. Stan początkow y układu
ustala się w praktyce na poziom ie odpow iadającym determ inistycznem u sta now i stabilnem u modelu. O pisana procedura jest zaim plem entow ana w pa kiecie D ynare, stanow iącym obecnie podstaw ow e narzędzie estymacji i sym u lacji estym ow anych m odeli rów now agi ogólnej, dlatego została tutaj w skrócie przedstaw iona, Adjem ian, Bastani, Juillard, M ihoubi, Perendia, Ratto i Villemot (2011). Funkcja wiarygodności może bezpośrednio służyć do estymacji param e trów strukturalnych modelu, m.in. Linde (2005). N ajczęściej jed n ak wykorzy stuje się m etody wnioskowania bayesow skiego, pozw alające na uwzględnienie dodatkowej inform acji spoza próby i uniknięcie znacznych trudności num erycz nych, ze względu na zastosow anie m etod M onte Carlo. O pracow ane zostały rów nież techniki konstrukcji funkcji wiarygodności i estymacji modeli, w któ rych w ystępują niestacjonarne zm ienne losowe; Durbin i Koopm an (2001), zob. im plem entacja: Adjemian, Bastani, Juillard, M ihoubi, Perendia, Ratto i Villemot (2011). Linearyzacja rów nań strukturalnych nie jest konieczna w przypadku za stosowania innych m etod konstrukcji funkcji wiarygodności, wykorzystujących filtry M onte Carlo; Arulampalam, Maskell, Gordon i Clapp (2002), Fernandez- -Villaverde i Rubio-Ramfrez (2003), An i Schorfheide (2007a), Amisano i Tristani (2007) oraz Fair i Taylor (1983).
4. E ST Y M A C JA BA Y ESO W SK A
Analiza bayesow ska dostarcza narzędzia wnioskowania o param etrach struktu ralnych estym ow anych modeli równowagi ogólnej, oceny niepewności związanej z ich estym acją i m etody określania błędu popełnianego przy szacow aniu intere sujących badacza charakterystyk teoretycznej gospodarki. M ożliwość konstrukcji rozkładu praw dopodobieństw a wybranej funkcji param etrów fundam entalnych m odelu, procesów stochastycznych i pozostałych, wielkości odzw ierciedlają cych m echanizm y gospodarcze, ma kluczowe znaczenie w ocenie stopnia wia rygodności rezultatów badań. Bayesowskie podejście do estymacji wykorzystuje kom pletny system w arunków pierw szego rzędu, ograniczeń zasobow ych i reguł
decyzyjnych, który jest następnie szacow any na podstaw ie danych pochodzą cych ze zagregow anych szeregów czasow ych, pozw alając rów nocześnie na skon struow anie jed n ej m iary określającej stopień dopasow ania m odelu do danych em pirycznych, w postaci brzegowej gęstości obserwacji. Jednoczesna estym acja kom pletnego systemu dynam icznego pozwala na rozwiązanie problem ów endo- geniczności regresorów, występu ącego w regule decyzyjnej banku centralnego, który w ym aga stosowania szeregu dodatkow ych zm iennych instrum entalnych podczas estymacji p ojedynczych rów nań uogólnioną m etodą momentów, Lubik i Schorfheide 02006). Z in n ych prac poświęconych bayesowskiej estym acji m odeli r ów now agi ooólnej m ożn a w;^]^is!;nifh: Schzefh oide (201 e), Ferns n dso-\eilav erda
(ZOOO), Milani ii R liriee Ruge-M uaaia (200F), i. RuRiio -Ram laeo
(F000a( 2005bl, Oem Zedcz-Vilłaveśde i Ro b i2-R amisez -C004), D ejony, In gram
i W hiiem an 020002, O trok (2001) ^iLitoigl o;1to^ (1980).
Aioolize b ooesowoka p ezw clir n o jcołączoni i w prooeoie w niorOow ania o w ok- Oorze z a ram rgrów raauktvralnyde Oanogo m odelu M subiekaywn ej w sl - pnej oi^e^ ś .op ic d s o z ś o m o^ iwach w aetościocio oriJLori^miJlirOw, aiozm ułow an oj w n:ool<:łcicLjzi:L«5
a /ewon, o inform acją o rw arltą w fuoOcji wiKrygodwoćci. Łdczn 0 rozOdad
oOoecw aM Y ^ Y/^.r Y e ) i w eUloaa paśam oorów srr a O0u8alnyt h 0ł# don egc m o)-
dślu,, oJkreślan0 pr&ek ilaczyn g oktodci: ]f:>jf^0>]?;:o'V'ie!^j piY I i . M - i a pazooi' p>(0i I jyO^^JI,
josi naoow ank sto/yslyctn y m ^ jDcL«2lt2i-i t a j eoows0am j o 0 j ócegr n a p o itOcwie
w ooru o a y oea, o-raym o iem p aozCmd. a orsdoozori w ed(ora pzr r m elrów, w orun-
Mowg w aąlądRm z--e2 Fp ccyfiodcj- °o('gś& I Y -0^ ):
fa lką: po ( ]fei^^;i =
p
f(7| " M M P " O teflO O Z ennee <j>siewd ski (l^ ^ l, 20010ejach, li śoow ażam y funkcjs wi arygydn c ści o o staci: t( d L |Y jMiy = R(r| di № '2).
Gęstość rozkładu a posteriori jest proporcjonalna do iloczynu funkcji w iarygodno
ść- aglj I ¥,0/0)) - r ozFłodc e jK,ri^5r^' aO^l O^,-):
Łączny rozkład a posteriori param etrów i innych zm iennych w m odelu za
wiera wszystkie dostępne o nich inform acje, pozw alając na wnioskow anie o oce-( nach punktow ych i niepew ności związanej z wybranymi funkcjam i parametrów, poprzez odpowiednie rozkłady brzegowe. Estym acja bayesow ska modeli rów no wagi ogólnej prowadzi do elastycznego uw zględnienia inform acji o
funkcjono-gdzie p ( Y ^ i) oonacza brzRgow ą g ęsto=1 ol srew acji w i-ty m m odelu ( w asroFon0
i O 'H ooan (^l^?04). --’o zaob seaw ow aniu d m y c h Yo -patosa w ektora obsoowac]i
p Y 0 № , 0 c o ip aisujoeny j oko fnnOcję pao e o e trów gc .c z y uotalonysh oozerwas
93
waniu gospodarki uzyskanej z badań m ikroekonom icznych. Znajom ość przecięt nego czasu trwania kontraktów płacowych, preferencji konsum entów w zakresie podaży pracy, czy też praw dopodobnego przedziału zm ienności innych wielko
ści, pozwala na ich uw zględnienie poprzez rozkład a priori, którego rozprosze
nie m ożna interpretow ać jako odzwierciedlenie stopnia wiarygodności wiedzy w stępnej. Subiektywne przekonania badacza dotyczące zachow ań grup podm io
tów gospodarczych w modelu, wyrażone w rozkładzie a priori, są zawsze modyfi
kowane przez funkcję wiarygodności, co pozwala interpretow ać różnice między
w nioskow aniem a priori i a posteriori rów nież w kategoriach rozbieżności między
danym i m ikroekonom icznym i i danymi z szeregów m akroekonom icznych. Nikła w stępna wiedza o kształtowaniu się param etrów strukturalnych m odelu, bądź jej całkowity brak, oznacza w praktyce przyjęcie dla nich nieinform acyjnych roz
kładów a priori pow odujących, że wnioskowanie a posteriori opiera się głównie
na inform acjach zawartych w funkcji wiarygodności. Alternatywnie do podejścia bayesow skiego, w niewielkich m odelach rów now agi ogólnej, zarówno liniowych ja k i nieliniowych, stosow ano do estymacji m etodę największej wiarygodności, której własności om aw iają m.in. Fernandez-Villaverde i Rubio-Ram frez (2005,
2007), Gali, Gertler i López -Sa0do (2005),L in d e (2005), Fer n andez-Villaverde,
Rubio-Ramfrez i Santos (2006) or a z Ruge-M urc iF (2 007).
M etody w n ioskow ania b ayeoowski ego do st-rczają ioomalnego n arzę dzia służąceg o p or ów nyw aniu konkur en cy ja y c h m ę deli, w t y m m odeli równowagi
ogólnej i wektorow ej autoca^ -oji- popraea ich p eaw d o ^ ^ t ó e ń stw a a posteriori.
W zbiorze alternatywnych róctystyacnych m odei bcyorowskiah, M = M m},
dla danych obserw acji Y, m ożem y określić praw dopodobieństw o ia posteriori
i-tego modelu, korzystając ze wzoru Bayesa:
gdzie P (M ) jest praw dopodobieństw em a priori danej specyfikacji, opisującym
subiektywne przekonania badacza co do możliwości opisu obserw acji przez ten
model. Jeśli rozkład a priori jest scentrow any w obszarach przestrzeni param e
trów, dla których funkcja wiarygodności przyjm uje niskie wartości, to m odel taki
będzie mniej praw dopodobny a posteriori niż ta sama specyfikacja z bardziej roz
proszonym rozkładem a priori, przy ezałożeniu jednakow ych szans a priori każ
dego z nich. Zgodność inform acji w stępnej z funkcją wiarygodności prowadzi do
najw yższego praw dopodobieństw a a posteriori. Bayesowskie porów nyw anie m o
deli umożliwia rów nież elim inację wpływu praw dopodobieństw P (M ) poprzez
rozw ażenie ilorazu szans a posteriori par modeli, zdefiniow anego przez iloczyn
P(MS \Y
) =
P(Y\MS)
P(M
J
P(Mq \Y)
p (Y \M q) X P(Mq) ^
gdzże czynnik Bayesa 0 °, okrerion y przez ilor az brzeg ow ych gęstości w ektora
obserw acji p (Y \M s) / , m cerey eesatyw no m o c wyj aem ającą m odeh A/^s
i M ą or az u jm u je inform r cj e, cc j s ldm scopiniu obcerw aeje potw ierdzają m ode1
M s w pc ro wn eniu z m odeir m O d BSy > 1 oon ecoe wrlkdganie przcz obsorw ecj 9,
że m odel M s jcc y b aedzio( adekw atnc dce ich opisu; J affeej is (W en K ors i R nftey (И ПЗ).
Metocf;u wnioskow eo ia 0 r y coc(:jssire^ej9e mog^ nównarż zoetać ;ra^tcs!i^^^ne clo dezpośroKm eao łąyrcrno wieOs)? r oonknarncy ja ych m oOsH as ksc^ it-w a nm ;ei^ w ybranei пт к ф poram e trów strukiusz^ ych i proocców sóochaotyoznych, oprnu-
j noKoy iinteresa jąc0 b edoeto wk Ik r su m c k roeaum omizzną Д, n °>. w oy yźnik m flscji
w procy> eactbson i Kar;sso d i 20e4i : R m k - a gęstości uśrednio n ego rozl^Sżdn o po
s teriori k j esS śżoOaią w eżr e ą ^ stości a posteriori A w każdym z modeli:
m
p( " \ ^ Y , M i)P(M |Y),
gdz(o wagi P ( M L %Y) są praw dopodobieństw am i a posteriori modeli.
Schem at estymacji bayesowskiej w praktyce m ożna sprowadzić do czterech zasadniczych części:
1. O kreślenie rozkładu a priori dla param etrów estym ow anych i kalibracja para
m etrów nie podlegających estymacji; umożliwia to uw zględnienie w modelu wiedzy wstępnej.
2. W yznaczenie, poprzez num eryczną aproksym ację m odalnej rozkładu a poste
riori, przybliżonych ocen param etrów strukturalnych i m acierzy kowariancji,
które są niezbędne do zapoczątkow ania łańcucha Markowa.
3. N um eryczna realizacja estymacji bayesowskiej poprzez m etody M onte Carlo oparte na łańcuchach Markowa (w szczególności za pom ocą algorytmu Me- tropolisa i Hastingsa) oraz em piryczna ocena ich zbieżności.
4. Aproksym acja brzegow ych rozkładów a posteriori param etrów oraz innych
charakterystyk m odelu na podstawie uzyskanego łańcucha Markowa.
5. IN N E Z A G A D N IEN IA M E T O D O L O G IC Z N E
O gół zagadnień m etodologicznych związanych z estym ow anym i modelami rów nowagi ogólnej jest niezwykle obszerny a ich dokładne omów ienie w ymagałoby szeregu opracowań; obszerny przegląd tem atów m ożna znaleźć m.in. w pracy: W róbel-Rotter (2012f). Wybrane zagadnienia m etodologiczne stanowiły cel analiz we w cześniejszych pracach autorki: w prow adzenie w tematykę: W róbel-Rotter
95
(2007b, 2007c), szczegóły wyprowadzenia rów nań strukturalnych przykładowego modelu: W róbel-Rotter (2011a, 2011c, 2012e), om ów ienie zagadnień estymacji i m etod num erycznych: W róbel-Rotter (2007a, 2008, 2012b), prezentacja technik oceny stabilności rozwiązania i zależności m iędzy param etram i postaci struktu ralnej i zredukowanej: W róbel-Rotter (2011b, 2012c) oraz m etoda budow y i zasto sowanie hybrydow ego m odelu w ektorow ej autoregresji: W róbel-Rotter (2012a, 2012d). O prócz poruszonych w artykule tematów, w literaturze obecnych jest wiele zagadnień dodatkow ych, z których zasadniczy dotyczy prognozow ania na podstawie estym ow anych m odeli rów now agi ogólnej, analizy charakterystyk ekonom icznych gospodarki, w szczególności funkcji odpowiedzi im pulsowych, i innych zagadnień dotyczących własności m odeli, m.in. w arunków identyfi- kowalności parametrów. Szeroko traktow ane są rów nież aspekty num eryczne estym acji bayesow skiej, pełniące kluczową rolę w procesie znajdyw ania osza cow ań parametrów. Zagadnienia te w większości nie są szczegółowo omawiane w pracy, ze względu na ich obszerność; problem y specyfikacji i identyfikowalno- ści zostały w skrócie przedstaw ione poniżej. M etody prognozow ania na podsta wie estym ow anych modeli rów now agi ogólnej m ożna znaleźć m.in. w pracach: Del N egro i Schorfheide (2003), Sm ets i Wouters (2004), Adolfson, Linde i Villani (2005), Rubaszek i Skrzypczyński (2008), Schorfheide, Sill i Krysko (2010), Edge, Kiley i Laforte (2009), Herbst i Schorfheide (2011) oraz Del N egro i Schorfheide (2012). M etody prognozow ania bayesow skeigo omawia m.in. Gew eke i W hite m an (2006).
6. A N A LIZ A W R A Ż L IW O Ś C I
Analiza wrażliwości jest pojęciem ogólnym i m oże się odnosić do badania wpływu na interesującą charakterystykę modelu zm iany jeg o założeń, zastoso wania innej m etody estym acji, przyjęcia alternatyw nych m etod testowania hipo tez, czy też sposobu predykcji zm iennych, Poirier (1995). W zależności od zakresu zm iany danych param etrów bądź ich funkcji wokół wielkości referencyjnych, m ożna rozpatryw ać analizę wrażliwości w sensie lokalnym, rozw ażając elastycz ności czy też efekty krańcow e, bądź globalnym (ang. global sensitivity analysis, GSA), zw iązanym ze znacznym i zakresami wartości zm iennych niezależnych w systemie dynam icznym , jakie pozw alają przeanalizow ać prezentow ane m e tody. Na gruncie wnioskowania bayesow skiego analiza wrażliwości najczęściej
dotyczy wpływu zm iany param etrów rozkładów a priori na ich oceny uzyskane
a posteriori. W estym ow anych m odelach rów now agi ogólnej często też sprawdza
się uzyskane rezultaty estymacji w zależności od różnych ustawień parametrów m etod num erycznych i przyjętych kryteriów oceny ich zbieżności. Oddzielnym zagadnieniem jest zastosowanie m etod analizy wrażliwości w ocenie zależności w ystępujących w konstrukcji teoretycznej m odelu rów now agi ogólnej.
Sposób rozw iązyw ania i liniowej aproksym acji modeli rów now agi ogólnej nie umożliwia określenia bezpośredniego powiązania param etrów postaci zredu kowanej z param etram i strukturalnymi. Powoduje to, że charakterystyka takiego związku w ym aga zastosow ania dodatkow ych m etod, w szczególności technik stosow anych w analizie wrażliwości, które pozw alają na określenie w ybranych cech m odelu dynam icznego i kluczow ych czynników determ inujących jego własności. Analiza wrażliwości określa w jakim stopniu niepew ność związana z w nioskow aniem o danej charakterystyce teoretycznej gospodarki, uzyskanej z postaci zredukowanej modelu, jest przypisywana do źródeł niepew ności zwią zanych z poszczególnym i param etram i strukturalnymi. Pojęciem zbliżonym do analizy wrażliwości jest analiza niepew ności, która ogranicza się do czynników w yjściow ych w m odelu; Saltelli, Ratto, Andres, Cam polongo, Cariboni, Gatelli, Saisana i Tarantola (2008). Parametry występujące w postaci strukturalnej modelu są traktowane jako wielkości wpływ ające na kształtowanie się najw ażniejszych jeg o własności, dotyczących m.in. w arunków stabilności, w spółczynników p o staci zredukowanej i charakterystyk ekonom icznych gospodarki. Kluczowe pro cesy w systemie ekonom icznym , oznaczającym w tym przypadku estym ow any model rów now agi ogólnej, są utożsam iane z zależnościami między parametrami strukturalnym i a param etram i postaci zredukow anej, określonymi przez nieli niow e funkcje param etrów strukturalnych w reprezentacji m odelu w przestrzeni stanów. W łasności tych zależności są identyfikow ane przez analizę wrażliwości odpow iednich param etrów strukturalnych w modelu.
Estym ow ane m odele rów now agi ogólnej w ym agają spełnienia przez para m etry strukturalne szeregu w arunków zapew niających stabilność ich rozwiąza nia. Analityczne w yznaczenie pełnego obszaru stabilności param etrów struktu ralnych jest najczęściej niem ożliwe i, w praktyce, zagadnienie to jest pom ijane lub ograniczane do spraw dzenia w arunków stabilności dla wartości oczekiwa
nych rozkładów a priori, natom iast w arunki zapew niające jego spełnienie są na
kładane dopiero na etapie estymacji bądź kalibracji param etrów strukturalnych. M etody analizy globalnej wrażliwości um ożliw iają ocenę, które obszary prze
strzeni param etrów w rozkładzie a priori nie spełniają w arunków stabilności
rozwiązania m odelu i m ogą być pom ocne w określeniu wartości początkow ych w procedurach num erycznych; zob. Ratto (2008), Berliant i Dakhlia (1997) oraz Salteli (2002). Pozwalają one rów nież na wykrycie potencjalnych konfliktów m ię dzy wartościami poszczególnych param etrów m ających kluczowe znaczenie w dopasowaniu m odelu do w ybranych szeregów m akroekonom icznych. Analiza wrażliwości m oże być rów nież zastosow ana do badania obszarów stabilności rozwiązania, oceny dopasowania do danych oraz techniki przybliżania związku m iędzy param etram i postaci zredukow anej i strukturalnej m odelu z zastosowa niem filtrowania M onte Carlo i dekompozycji funkcji; zob. Saltelli, Ratto, Andres, Cam polongo, Cariboni, Gatelli, Saisana i Tarantola (2008), Saltelli, Tarantola, Cam polongo i Ratto (2004), Ratto (2008), Berliant i Dakhlia (1997) oraz Salteli (2002).
97
Pełną analizę wrażliwości dla estym ow anego m odelu rów now agi ogólnej przed stawili m.in. Ratto, Röger, in 't Veld i Girardi (2005).
7. SP EC Y FIK A C JA I ID EN T Y FIK A C JA M O D E L I
Estym ow any m odel rów now agi ogólnej jest konstrukcją teoretyczną łączącą w jed n ym system ie teorię m akroekonom ii i m ikroekonom ii, co pow oduje że wszelkie wielkości opisujące gospodarkę i prognozy są w ynikiem założonej w m odelu teorii oraz struktury procesów stochastycznych kształtującej jej dyna mikę. O gólny charakter wskazuje na kilka potencjalnych źródeł jego nieodpo wiedniej konstrukcji, m ogących m ieć sw oje przyczyny w niepopraw nym okre śleniu relacji strukturalnych gospodarki, preferencji konsum entów i technologii, pom inięciu zależności nieliniow ych, nieprawidłowej specyfikacji procesów sto chastycznych oraz sym etrycznym traktowaniu podm iotów w m odelach dla go spodarek otwartych; Lubik i Schorfheide (2006). Poprawna specyfikacja modelu jest tutaj rozum iana jako uznanie danego m odelu za właściwy proces generu jący obserwacje. Zm niejszenie stopnia niepopraw nej specyfikacji estym ow anych modeli rów now agi ogólnej jest m ożliwe poprzez zwiększenie liczby zm iennych losow ych m odelujących zakłócenia strukturalne w m odelu zapisanym w p o staci systemu racjonalnych oczekiwań, m.in. Sm ets i W outers (2003) oraz Lubik i Schorfheide (2006). Alternatywnie, możliwe jest wprow adzenie stochastycznych zakłóceń do rów nania obserwacji, bez nadaw ania im interpretacji ekonom icznej; Sargent (1989). O cena poprawności modeli strukturalnych jest najczęściej doko nyw ana po ich zapisaniu w form ie wektorow ej regresji, z odpowiednim i para m etrycznym i restrykcjam i i analizie ich zgodności z danymi em pirycznym i i m o delem referencyjnym ; Schorfheide (2000), An i Schorfheide (2007b). Omówienie zagadnień polityki pieniężnej w przypadku modeli z pew nym stopniem nieod pow iedniej specyfikacji m ożna znaleźć m.in. w pracy: Del Negro i Schorfheide (2005, 2009).
O prócz zagadnienia poprawności specyfikacji estym ow anych modeli rów no wagi ogólnej, często pojaw iającym się w czasie ich konstrukcji, problem em jest identyfikacja param etrów strukturalnych. M odel ekonom etryczny nie jest iden- tyfikowalny, jeśli konkurencyjne jego param etryzacje, m ające różną interpretację ekonom iczną, prowadzą do tego sam ego rozkładu praw dopodobieństw a obser wacji, tzn. są obserw acyjnie rów now ażne; Lubik i Schorfheide (2006). O kreśle nie w arunków identyfikowalności modeli rów now agi ogólnej jest trudniejsze niż w przypadku w ektorow ej autoregresji, czy też liniow ych m odeli o rów na niach w spółzależnych, ze względu na nieliniow ość związku m iędzy param e trami strukturalnym i a reprezentacją m odelu w przestrzeni stanów, która określa łączny rozkład praw dopodobieństw a obserwacji. M odele te są identyfikowalne
egzoge-nicznych; Lubik i Schorfheide (2004) oraz Beyer i Farmer (2004). M etody estyma cji wykorzystujące podejścia z niepełną inform acją, takie ja k uogólniona metoda m om entów czy też m etoda znajdyw ania ocen param etrów poprzez porów nyw a nie funkcji odpowiedzi im pulsow ych, m ogą pow odow ać w ystępow anie ukry tych problem ów identyfikacyjnych, ze względu na pom inięcie podczas estyma cji części założeń dotyczących pozostałych rów nań i procesów stochastycznych modelu. Specyfikacja pełnego układu założeń, konstrukcja funkcji w iarygodno
ści, uw zględnienie dodatkowej inform acji poprzez rozkład a priori i jednoczesna
estym acja systemu rów nań pozw alają na zapew nienie identyfikowalności m o
delu i zapew niają istnienie rozkładu a posteriori. Zagadnienia identyfikacji m o
delu i jego param etrów strukturalnych nie będą szerzej omawiane w pracy, a je dynie zasygnalizowane dla zapew nienia kom pleksowego podejścia do tematyki estym ow anych modeli rów now agi ogólnej.
8. M O D E L E H Y B R Y D O W E I P O P R A W N O Ś Ć SP EC Y FIK A C JI Stopień niezgodności restrykcji, w ynikających z m ikroekonom icznych zagad nień optym alizacyjnych i reguł decyzyjnych, z danymi m akroekonom icznym i
m oże być analizow any w kontekście rozkładu a priori i a posteriori na gruncie
w nioskow ania bayesow skiego. Rozkład a priori, generow any z m odelu rów no
wagi ogólnej, może być przyjm ow any dla wektorow ej autoregresji, umożliwiając w ten sposób spraw dzenie zgodności teorii ekonom icznej z danymi em pirycz nym i; Del N egro i Schorfheide (2004). M etodologia pozw alająca na połączenie w nioskow ania na podstaw ie estym ow anych modeli rów now agi ogólnej z m o delami w ektorow ej autoregresji została zaproponow ana w pracy Del Negro i Schorfheide (2004) i następnie rozw inięta przez D el N egro, Schorfheide, Smets i Wouters (2007). Określa ona klasę modeli hybrydow ych, znanych w literaturze pod pojęciem DSGE-VAR (ang. Dynam ic Stochastic G eneral Equilibrium Vector AutoRegression), które pow stały w wyniku poszukiwania m etod uwzględniania w m odelach wektorow ej autoregresji inform acji w stępnych, m ających za zada nie ich pow iązanie z teorią ekonom ii i popraw ienie ich własności. Pierw otnie prace te koncentrow ały się na zastosowaniu modeli strukturalnych, podbudow a
nych teorią ekonomii, do konstrukcji rozkładów a priori dla wektorowej autore
gresji; Ingram i W hitem an (1994), bądź do porów nań własności statystycznych m akroekonom icznych szeregów czasow ych; DeJong, Ingram i W hitem an (1996).
M odele teoretyczne dostarczały porów nyw alnego rozkładu a priori, ocenianego
w kategoriach zdolności prognostycznej uzyskanej postaci hybrydow ej, ja k m e
todologia, w której zm ienne wektorowej autoregresji są traktowane a priori jako
grupa niezależnych procesów błądzenia losow ego, zaproponow ana w pracy D oan, Litterm an i Sims (1984) oraz Litterm an (1986). Pierw szy m odel hybry dowy, estym ow any m etodą największej wiarygodności, powstał po zdefiniowa
99
niu procesu autoregresyjnego dla wektora zakłóceń losow ych w rów naniu ob serwacji reprezentacji m odelu rów now agi ogólnej w przestrzeni stanów i został zaproponow any w pracy Ireland (2004). Dalszy rozwój metodologii polegał na konstrukcji rozkładów praw dopodobieństw a, które w sposób form alny łączyły wnioskowanie na podstawie wektorowej autoregresji z modelami posiadającymi uzasadnienie w teorii ekonomii. Techniki te pozwoliły na opracowane m etod for m alnego w nioskow ania o param etrach m odelu rów now agi ogólnej na podsta wie wektorowej autoregresji w m odelach hybrydow ych; Del N egro i Schorfheide (2004) oraz Del N egro, Schorfheide, Smets i Wouters (2007) i dyskusję ich w łasno ści; Christiano (2007). Z obecnie opracowanych zastosowań modeli hybrydowych m ożna wym ienić prace m.in. Lee, M atheson i Smith (2007), Liu i Gupta (2008), W atanabe (2007), Chow i McNelis (2010), Adolfson, Laseen, Linde i Villani (2008), Kolasa, Rubaszek i Skrzypczyński (2012) oraz Brzoza-Brzezina i Kolasa (2012).
Łączne wnioskowanie na podstaw ie obydwu podejść jest możliwe poprzez budow ę m odelu hybrydow ego, czyli hybrydow ego m odelu w ektorow ej auto- regresji. Składa się on z pom ocniczego m odelu wektorow ej autoregresji, służą cego aproksym acji rozw iązania zlinearyzow anego m odelu rów now agi ogólnej
i konstrukcji rozkładu a priori, oraz zasadniczego m odelu w ektorow ej autore-
gresji, szacow anego na danych rzeczywistych. Model hybrydow y m ożna inter pretow ać jako identyfikow alny m odel w ektorow ej autoregresji (ang. identified VAR), nie zaś jako form ę zredukow aną m odelu strukturalnego, An i Schorfheide (2007b). Waga X m odelu rów now agi ogólnej w m odelu hybrydow ym m oże zo stać ustalona arbitralnie, bądź na podstawie form alnego kryterium, opartego na brzegow ej gęstości obserwacji. Model hybrydow y dostarcza narzędzia służącego odpowiedzi na pytanie, w jakim stopniu dane em piryczne potw ierdzają h ip o tezy w noszone przez m odel równowagi ogólnej, a w jakim są te hipotezy lepiej potw ierdzane przez model wektorowej autoregresji bez ograniczeń. Stosowanie m odelu strukturalnego jako punktu odniesienia dla procesów w ektorow ej au toregresji zakłada, że teoria ekonom iczna, ujęta poprzez stylizowane zależności zdefiniowane w m odelowej gospodarce, nadaje się do jej uw zględnienia w m o delu połączonym . M odel hybrydow y m ożna postrzegać jako sposób na popra wienie własności w ektorow ej autoregresji, poprzez uw zględnienie inform acji w stępnej, w ynikającej z teorii ekonomii, bądź też jako technikę umożliw iającą złagodzenie restrykcji obecnych w m odelu równowagi ogólnej i ocenę popraw ności jego specyfikacji.
Budow a m odelu hybrydow ego jest procesem hierarchicznym , zaczynającym
się od specyfikacji rozkładu a priori dla wektora param etrów modelu równowagi
ogólnej, w arunkow o w zględem którego definiuje się rozkład a priori dla współ
czynników w ektorow ej autoregresji. Umożliwia to, po uw zględnieniu funkcji
wiarygodności, wnioskowanie a posteriori zarów no o param etrach m odelu struk
turalnego ja k i w spółczynnikach w ektorow ej autoregresji. Rozkład a priori jest
nego, które następnie służą estymacji m odelu pom ocniczego pozw alającego na przekazanie in form acji w stępnej do m odelu hybrydow ego; podejście taki e stoso w ali m.in . Sim- i Zh a (1P98). M ś ono śów nież sw ojo ueasada ie ni f w plon iersOicO fjiri^^ca t^ s zakeeau lecaooia iia m odeln aiatustycznym w iedzy spoze k ^oby i iiTid^ia- m esji c i esia n ej przeo o; ssowasje o-az m eOodat h ich -siu-a-sa-i] T^ln^ii!^ i Goldboo- gee l- Cóip. Ka n ceyeja m odeh ]:iom c;ii;:i:i-c:zj/’c;a- j e;::»^ zso^ki^^^niEi rów nież z b s yeaow- sZCm]- m t t o dam 1 wniorkow c nia o ic w prebC ianp. in Cćrect in Saren -o); G eltant C M aCultoch I2000l . ]bjIojż]Lt’ier<a jeal e0 wnie-1 rozcaaryw ania m odelu OyZruclow t go w k - n tedazic badr ń p ópw ircan oek w u kceerciyw aam w eZtoeowej aun-renrze- jpko iznen lctijr odniari t nloL (fj^ zm pirycsn nch ]->orów n p d z m odeiam i w; w o dzccymi sla o -enaii (Eilco n emi^.
W niosk cw an is as m odela h ykra dow ym o w sp ófcaynnlkr ch i macieren Powa- riencj c w ektorow a» autoseaoe-jć : i ui param etocrh 0 m odelu rómn ow a n pg ńlo ei
i param elnoz w t g r wym 3 Cesb m o itiw e oto aCefim ow anin cuo dclu poCąazboego,
tc1;<:łr;’- j eer okoasion - psoaz w edOoczw o au tor cgreojc - z t o ksum zi ącą aomw ^ oanao eUncsryoowen ej pootesi m oUcIu sesuktuzcln - g o oraz w eOZoooma autooco;raojc b eo r sc-ry—ro <cL]lcL denymh ^^se;r^ utr^i;iln^cłi. Łocznp r oziOad o e rieri dlo i es -Z i ó tcrl Zudow any w ap o srb hie rarcOiczn y i
p ( $ , # u, 6 ! ) = p ( $ , # u\0, X ) p ( 0 )p (X ) ,
gdaie # ( $ , 2„|" , ! ) -o rozWa d a priori w op Złckooników i maklsaoo dowaoian c;i w ektorowaj autoreocosg Oeo p^ii-jruki^jĆ w e tu nkomy wzgl e i em U, p]g) j est óaze-
gow ym j:^;^]klti(Ces:n b arion dło jcasam r-r ów G o dehs row n ow agj an aln ej0 sae p 0n l
j oik raoldódem a .priori dia ^ erm e t r - w z^ w e ga. Stetyotyorn j m oO-l Uaocaow- slO jr sl: w ts ż o ok-eślony prees:
p (Y, $ , # u, Q,K) = p ( P $ , # u)p($>, # u\d ,A )p (d )p (A ),
z którego uzyskujem y łączny rozkład a posteriori:
P ’ ’ 1 ) p {Y ) ,
g haie jO P .e t t Ore egowo gastoźclą eb essw acjl. Łączn) cookDaZ a postesioci m ożna
UoZdn : dekom ciozycji:
p ( $ , # , e, Ą p = # \y, e , K)P (6, ! " ,
gdaie wac a nkow c rozOlad a proleriori p arameSrów au)orearssjl p ( 0 , 2 M|r,! (0 )
101
rozkład param etrów m odelu stru ktu ralnego i param etru wagow og o p ( 6 ,A \Y),
jest przybliżany num erycznie, z zastosow aniem algorytm u M etropolisa i Ha- stingsa; Adjemian, DarracqParies i M oyen (2008). H ybrydow y m odel wektorowej autoregresji proponuje rów nież m etodę identyfikacji zakłóceń strukturalnych na podstawie innow acji w ystępujących w postaci zredukow anej; Del N egro i Schor fheide (2004, 2006, 2008), Del N egro, Schorfheide, Sm ets i Wouters (2007).
9. U W A G I K O Ń C O W E
Estym ow any m odel równowagi ogólnej jest konstrukcją, która jest silnie zako rzeniona w teorii ekonomii. O trzym ane w wyniku rozwiązania m ikroekonom icz nych zagadnień optym alizacyjnych podm iotów rów nania strukturalne, m ające form ę nieliniowego systemu racjonalnych oczekiwań, należy sprowadzić do ta kiej postaci, aby ich param etry mogły zostać oszacowane na podstawie danych em pirycznych, w szczególności aby m ożna było zapisać funkcję wiarygodności. O znacza to, że m odel poddaje się szeregowi przekształceń i aproksymacji, które prow adzą do jeg o operacjonalizacji. Głów ne obszary na które należy zwrócić uwagę to:
1. Układ założeń teoretycznych: postać funkcji chwilowej użyteczności i jej ar gumenty, struktura sektora produkcyjnego, która ma ścisły zw iązek z m echa nizmam i agregującymi, w szczególności sposób indeksow ania cen wpływa jący na postać krzywej Phillipsa.
2. Struktura procesów losowych w postaci strukturalnej, które determ inują dy nam ikę zm iennych stanu w modelu.
3. Linearyzacja rów nań strukturalnych, najczęściej stosow ana w praktyce w celu uproszenia modelu. M odele w postaci nieliniowej są bardziej skompli kow ane do opracowania od strony num erycznej.
4. Rozw iązanie zlinearyzow anego m odelu rów now agi ogólnej, pow odujące nałożenie na przestrzeń param etrów skom plikowanych restrykcji, w ynikają cych z konieczności zapew nienia jego stabilności.
5. Sposób połączenia zm iennych endogenicznych, w ystępujących w rozwiąza niu zlinearyzow anego modelu, ze zm iennym i obserw owanym i, które należy oczyścić z trendu i sezonowości oraz sprowadzić do stacjonarności.
6. Przyjętą m etodę estym acji, w szczególności czy jest to m etoda z pełną infor
m acją, ja k podejście bayesow skie, czy też taka, w której rów nania szacuje się oddzielnie, ja k np. uogólniona m etoda momentów.
7. Stronę num eryczną, w której potencjalne problem y m ogą wynikać z postaci funkcji wiarygodności, w konsekw encji nałożenia na przestrzeń param etrów licznych, skom plikow anych restrykcji, w ynikających z konieczności zapew nienia stabilności rozwiązania modelu.
8. Funkcjonow anie algorytmu Metropolisa i Hastingsa, w szczególności dobór punktów startow ych za pom ocą przybliżonych m etod num erycznych, m oni torowanie jeg o zbieżności i analiza wrażliwości na zm ianę wartości początko wych. Stabilność średnich ergodycznych.
9. Analizę obszarów wartości param etrów strukturalnych prow adzących do stabilności rozwiązania, wpływu w praktyce ich niewielkiej liczby na współ czynniki postaci zredukow anej odpow iedzialne za charakterystyki ekono m iczne modelu.
10. W m odelach hybrydow ych: jakość aproksymacji zlinearyzow anego modelu równowagi ogólnej przez wektorow ą autoregresję, zazwyczaj niskiego rzędu. Wrażliwość ocen brzegowej gęstości obserwacji na zm ianę wartości param e tru wagowego.
W ym ienione aspekty m odelow ania za pom ocą estym ow anych m odeli rów nowagi ogólnej nie w yczerpują wszystkich obszarów, na które należy zwrócić szczególną uw agę w badaniach em pirycznych. M ają one jedynie zasygnalizować możliwość wystąpienia problem ów przy stosowaniu modeli w praktyce.
B IB L IO G R A F IA
A djem ian A., D arracqParies M., M oyen S. (2008), Towards a m onetary policy evaluation framework,
E u ro p ean C entral Bank W orking Paper 942.
A djem ian S., Bastani H., Juillard M., M ihoubi F., Perendia G., Ratto M., Villemot S. (2011), Dynare: Reference manual, version 4, D ynare W orking Papers 1.
A dolfson M., L aseen S., L inde J., Villani M. (2008), E valuating an estimated N ew Keynesian small open economy model, Jo u rn al of Economic D ynam ics an d C ontrol 32.
A dolfson M., L inde J., Villani M. (2005), Forecasting performance of an open economy Dynam ic Stochas tic General Equilibrium model, M oney M acro a n d Finance (MMF) R esearch G roup Conference 2005 32.
A m isano G., Tristani O. (2007), Euro area inflation persistence in an estimated nonlinear D SG E model,
Jo u rn al of Economic D ynam ics a n d C ontrol 34.
A n S., Schorfheide F. (2007a), Bayesian analysis of D SG E models, Econom etric Review 26.
A n S., Schorfheide F. (2007b), Bayesian analysis of D SG E models — rejoinder, Econom etric Reviews, 26.
A rulam palam M. S., M askell S., G ordon N., C lapp T (2002), A tutorial on particle filters for online non- linear/non-Gaussian Bayesian tracking, IEEE Transactions o n Signal Processing 50.
B erliant M., D akhlia S. (1997), Sen sitivity A nalysis for Applied General Equilibrium Models in the Presence of M ultiple Equilibria, GE, G row th, M ath M ethods 9709003, EconWPA.
Beyer A., F arm er R. E. A. (2004), O n the indeterminacy of N ew-Keynesian economics, C o m p u tin g in Economics a n d Finance, 152.
B lanchard O. J., K ahn C. M. (1980), The solution of linear difference models under linear expectations,
Econom etrica, 48.
Brzoza-Brzezina M., Kolasa M. (2012), Bayesian evaluation of D SG E models w ith financial frictions,
N ational Bank of Poland W orking P aper 109.
C how H. K., McNelis P D. (2010), Need Singapore fear floating? A DSG E-VAR approach, R esearch Col lection School of Economics, Paper 1250.
103 C hristiano L. (2007), Comm ent on Marco Del Negro, Frank Schorfheide, Frank Smets, and R a f Wouters,
'O n the Fit of New-Keynesian M odels', Journal of Business & Economic Statistics, 25.
Collard F., Juillard M. (2001a), Accuracy of stochastic perturbation methods: The case of A sset Pricing Models, Journal of Economic D ynam ics a n d C ontrol 25.
Collard F., Juillard M. (2001b), A higher-order Taylor expansion approach to simulation of stochastic forward-looking models with an application to a non-linear Phillips curve, C om putational Economics 17. D eJong D. N., Ingram B. F., W h item an C. H. (1996), A Bayesian approach to calibration, Jo u rn al of
Business Economics a n d Statistics 14.
D eJong D. N., Ingram B. F., W h item an C. H. (2000), A Bayesian approach to dynamic macroeconomic,
Jo u rn al of Econom etrics 98,.
Del N egro M., Schorfheide F (2003), Take your model bowling: Forecasting with the general equilibrium models, Economic Review — Federal Reserve Bank of A tlanta, F o u rth Q u a rte r 2003, 88,4. Del N egro M., Schorfheide F. (2004), Priors from General Equilibrium models for VARs, In tern atio n al
Economic Review 45.
Del N egro M., Schorfheide F. (2005), Policy predictions if the model doesn't fit, Journal of th e E u ro p ean Economic Association 3.
Del N egro M., Schorfheide F (2006), How good is what you've got? DSG E-VAR as a toolkit for evaluating the D SG E models, Economic Review Q2.
Del N egro M., Schorfheide F. (2008), Forming priors for D SG E models (and how it affects the assessment of nominal rigidities), Jo u rn al of M o n etary Economics 55.
Del N egro M., Schorfheide F. (2009), M onetary policy analysis w ith potentially misspecified models,
A m erican Economic R eview 99.
Del N egro M., S chorfheide F. (2012), D SG E model-based forecasting, H an d b o o k of Economic Forecast in g 2.
Del N egro M., Schorfheide F., Sm ets F., W outers R. (2007), O n the f it of New-Keynesian models, Jour nal of Business & Economic Statistics, 25.
D oan T, L itterm an R., Sims C. (1984), Forecasting and conditional projections u sin g realistic prior distri butions, Econom etric Review s 3.
D u rb in J., K oopm an S. J. (2001), Time series analysis by state space methods, O xford U niversity Press, Oxford.
Edge R. M., Kiley M. T, Laforte J. P (2009), A comparison of forecast performance between Federal Reserve staff forecasts, simple reduced-form models, and a D SG E M odel, F inance a n d Economics Discussion Series, F ederal R eserve Board, W ashington, D.C., 2009-10.
Fair R. C., Taylor J. B. (1983), Solution and m axim um likelihood estimation of dynamic nonlinear rational expectation models, Econom etrica 51.
Ferndndez-Villaverde J. (2010), The Econometrics of D SG E Models, SERIEs Journal of th e Spanish Eco nom ic A ssociation 1.
Ferndndez-V illaverde J., R ubio-R am nez J. F. (2003), E stim ating nonlinear dynamic equilibrium econo mies: A likelihood approach, C o m p u tin g in Economics an d Finance 91.
Ferndndez-V illaverde J., R ubio-R am nez J. F. (2004), Comparing dynamic equilibrium models to data: A Bayesian approach, Journal of Econom etrics 123.
Ferndndez-V illaverde J., R ubio-R am nez J. F (2005), E stim ating dynamic equilibrium economies: Linear versus nonlinear likelihood, Journal of A pplied Econom etrics 20.
Ferndndez-V illaverde J., Rubio-Ram frez J. F. (2007), Estim ating macroeconomic models: A likelihood ap proach, Review of Economic Studies 74.
Ferndndez-V illaverde J., Rubio-Ram frez J. F., Santos M. (2006), Convergence properties of the likelihood of computed dynamic models, E conom etrica 74.
Gall J., G ertler M., L6pez-Salido J. D. (2005), Robustness of the estimates of the hybrid new Keynesian Phillips curve, Jo u rn al of M onetary Economics 52.
G allant R. A., M cCulloch R. E. (2009), O n the determination of general scientific models with application to asset pricing, Journal of th e A m erican Statistical A ssociation, 94.
G ew eke J., W h item an C. (2006), Bayesian forecasting, w: The H a n d b o o k of Economic Forecasting, (red.: G. Elliott, C.WJ. G ranger i A. T im m erm an), A m sterdam : N orth-H olland.
G rabek G., Kłos B., U tzig-Lenarczyk G. (2007), SOE-PL — model D SG E małej otwartej gospodarki esty- m ow any na danych polskich, M ateriały i Studia NBP 217.
H am ilto n J. D. (1994), Time series analysis, Princeton U niversity Press, Princeton.
H erbst E., Schorfheide F. (2011), E valuating D SG E M odel Forecasts of Comovements, F ederal Reserve Bank of Philadelphia W orking P aper 11-5.
Ingram B. F., W h item an C. H. (1994), Supplanting M innesota prior. Forecasting macroeconomic time series u sin g real business cycle model priors, Journal of M o n etary Economics, 34.
Ireland P N. (2004), A method for taking models to the data, Journal of Econom ics D ynam ic & Control, 28.
Jacobson T, K arlsson S. (2004), Finding good predictors for inflation: A Bayesian model averaging ap proach, Jo u rn al of Forecasting 23.
Jeffreys H. (1961), Theory of probability, O xford U niversity Press, London.
Juillard M. (2002), Perturbation method at order k: A recursive algorithm, C o m p u tin g in Economics a n d Finance 257.
Kass R. E., Raftey A. E. (1995), Bayes factors, Journal of th e A m erican Statistical Association 90. Kolasa M., Rubaszek M., Skrzypczyński P (2012), P u ttin g the N e w Keynesian D SG E model to the real
time forecasting test, Jo u rn al of M oney, C redit an d B anking, (w druku).
Lee K., M ath eso n T, Sm ith C. (2007), Open economy D SG E-VAR forecasting and policy analysis: Head to head w ith the R B N Z published forecasts, R eserved Bank of N ew Z ealan d D iscussion Paper Series, DP2007/01.
L inde J. (2005), E stim ating New-Keynesian Phillips curves: A fu ll information M a xim u m Likelihood ap proach, Jo u rn al of M o n etary Economics 52.
L itterm an R. (1986), Forecasting with Bayesian vector autoregression: five years of experience, Jo u rn al of Business & Economic Statistics, 4.
Liu G., G u p ta R. (2008), Forecasting the South African Economy: A D SG E-VAR Approach, W orking Paper 2008-32, Tilburg U niversity, C enter for Econom in Research.
Lubik T., Schorfheide F. (2004), Testing for indeterminacy: A n application to US monetary policy, A m eri can Economic Review 94.
Lubik T., Schorfheide F. (2006), A Bayesian look at N e w Open Economy Macroeconomics, NBER M acr oeconom ic A n n u al 20.
M ilani F., Poirier D. J. (2007), Econometric issues in D SG E models, Econom etric Review s, 26. O 'H a g a n A. (1994), Bayesian inference, E d w ard A rnold, London.
O siew alski J. (1991), Bayesowska estymacja i predykcja dla jednorównaniowych modeli ekonometrycznych,
A kadem ia Ekonom iczna w Krakowie (M onografie, n r 1000), Kraków.
O siew alski J. (2001), Ekonometria bayesowska w zastosowaniach, W ydaw nictw o A kadem ii Ekonom ic znej w K rakow ie, Kraków.
O tro k C. (2001), O n measuring the welfare cost of business cycles, Jo u rn al of M o netary Economics 47. Poirier D. J. (1995), Intermediate Statistics and Econometrics: A Comparative Approach, MIT Press. R abanal P, Rubio-Ram frez J. F. (2005a), Comparing N ew Keynesian models in the Euro Area: A Bayesian
approach, Jo u rn al of M o n etary Economics 52.
R abanal P, Rubio-Ram frez J. F. (2005b), Comparing N e w Keynesian models of the Business cycle: A Baye sian approach, Journal of M o n etary Economics, 52.
Ratto M. (2008), A na lysin g D SG E models w ith global sensitivity analysis, C om putational Economics, 31. Ratto M., R oger W , in 't Veld J., G irardi R. (2005), A n estimated N ew-Keynesian dynamic stochastic gen
105 Rubaszek M., Skrzypczyński P (2008), O n the forecasting performance of a small-scale D SG E model, In
te rn atio n al Jo u rn al of Forecasting 24.
Ruge-M urcia F. J. (2007), M ethods to estimate dynamic stochastic general equilibrium models, Jo u rn al of Economic D ynam ics a n d C ontrol 31.
Salteli A. (2002), Sensitivity analysis for importance assessment, Risk Analysis, 22.
Saltelli A., Ratto M., A ndres T., C am polongo F., Cariboni J., Gatelli D., Saisana M., Tarantola S. (2008), Global sensitivity analysis, The Primer, Wiley.
Saltelli A., Tarantola S., C am polongo F., Ratto M. (2004), Sensitivity Analysis in Practice: A Guide to A ssessing Scientific M odels, Wiley.
S argent T J. (1989), Two models of measurements and the investm ent accelerator, Jo u rn al of Political E conom y 97.
Schorfheide F. (2000), Loss fu nction based evaluation of D SG E models, Journal of A pplied Econom etrics 15.
Schorfheide F. (2011), Estim ation and evaluation of D SG E Models: Progress and challenges, Federal Reserve Bank of P hiladelphia W orking P aper 11-7.
Schorfheide F., Sill K., Krysko M. (2010), D SG E model-based forecasting of non-modelled variables, Inter national Jo u rn al of Forecasting 26.
Sims C. A., Z ha T (1998), Bayesian methods for dynamic multivariate models, In tern atio n al Economic Review 39.
Singleton K. J. (1988), Econometric issues in the analysis of equilibrium business cycle models, Jo u rn al of M o n etary Economics, 21,.
Sm ets F., W outers R. (2003), A n estimated Dynam ic Stochastic General Equilibrium model of the Euro Area, Jo u rn al of th e E u ro p ean Economic Association 1.
Sm ets F., W outers R. (2004), Forecasting w ith a Bayesian D SG E model an application to the Euro Area,
Jo u rn al of C om m on M arket Studies 42.
Theil H., G oldberger A. S. (1961), O n pure and mixed estimation in economics, In tern atio n al Economic Review 2.
Villemot S. (2011), Solving rational expectations models at fir st order: what Dynare does, D ynare W orking Papers 2.
W atanabe T. (2007), The application of D SG E-VAR model to macroeconomic data in Japan, ESRI D iscus sion P aper Series 225-E.
W róbel-Rotter R. (2007a), Dynam ic Stochastic General Equilibrium Models: Structure and Estim ation, M odelling Econom ies in Transition 2006, (red.: Welfe W , W dow iński P), Łódź.
W róbel-Rotter R. (2007b), D ynam iczne Stochastyczne Modele Równowagi Ogólnej: zarys metodologii badań empirycznych, Folia O econom ica Cracoviensia tom 48.
W róbel-Rotter R. (2007c), D ynam iczny Stochastyczny Model Równowagi Ogólnej: przykład dla gospodarki polskiej, Przegląd Statystyczny n r 3, tom 54.
W róbel-Rotter R. (2008), Bayesian estimation of a D ynam ic General Equilibrium model, w: M etody Ilościowe w N au k ach Ekonom icznych, Ó sm e W arsztaty D oktorskie z zakresu Ekonom etrii i Statystyki, red. A. Welfe, Szkoła G łów na H an d lo w a w Warszawie.
W róbel-Rotter R. (2011a), Empiryczne modele równowagi ogólnej: gospodarstwa domowe i producent fin a ln y, Zeszyty N au k o w e U n iw ersy tetu E konom icznego w K rakowie, seria Ekonom ia, n r 869. W róbel-Rotter R. (2011b), Obszary stabilności rozwiązania empirycznych modeli równowagi ogólnej: zasto sowanie metod analizy wrażliwości, Z eszyty N au k o w e U n iw ersy tetu E konom icznego w Kra kowie, seria M etody analizy d an y ch , n r 873.
W róbel-Rotter R. (2011c), Sektor producentów pośrednich w em pirycznym modelu równowagi ogólnej,
Z eszyty N au k o w e U n iw ersy tetu E konom icznego w K rakowie, seria Ekonom ia, n r 872. W róbel-Rotter R. (2012a), Analiza stopnia zgodności z danym i em p irycznym i estymowanego modelu
W róbel-Rotter R. (2012b), Empiryczne modele równowagi ogólnej: zagadnienia num eryczne estymacji bayesowskiej, ZN UEK M etody analizy dan y ch , 878.
W róbel-Rotter R. (2012c), Empiryczne modele równowagi ogólnej: zastosowanie metody dekompozycji fu n kcji do oceny zależności m iędzy postacią strukturalną i zredukowaną, Z eszyty N au k o w e U niw er
sytetu E konom icznego w K rakowie, seria M etody Analizy D anych (złożone do druku). W róbel-Rotter R. (2012d), Estymowane modele równowagi ogólnej i wektorowa autoregresja: model hybry
dowy, rękopis — złożone d o d ru k u w Bank i Kredyt.
W róbel-Rotter R. (2012e), Struktura empirycznego modelu równowagi ogólnej dla niejednorodnych gospo darstw domowych, Z eszyty N au k o w e U n iw ersy tetu E konom icznego w K rakowie, seria E kono m ia, 879.
W róbel-Rotter R. (2012f), Wybrane zagadnienia współczesnego modelowania strukturalnego, część I: esty mowane modele równowagi ogólnej w zarysie, Folia O econom ica Cracoviensia, tom 53.
