Lineaire algebra: Matrixrekening. Deel 1

o

LINEAIRE

ALGEBRA----_ ALGEBRA----_ ALGEBRA----_ ALGEBRA----_

MATRIXREI<ENING

DEEL 1

C.A. DEN BRABER

H.VANIPEREN

A. SCHUITMAN

M.A. VIERGEVER

"

,

o p --=---. ~---

---

.

n N t-' ... 0 0 0 NO:> V1 CO

Lineaire algebra

ir. C.A. den 8raber

ir. H. van Iperen

ir. A. Schuitman

dr.ir. M.A. Viergever

.2 \ <: ~ \ 2:...;; 5537 BIBLIOTHEEK TU Delft P 2138 3128

1111111111111

C 882102

2138

312

8

Delftse Uitgevers Maatschappij - 1980

2

CIP-gegevens ~oninklijke Bibliotheek, Den Haag Lineaire

Lineaire algebra / C.A. den Braber ... [et a1.]. - Delft: Delftse U.M. ISBN 906562072 9

SISO 513 UDC 512.64 Trefw.: lineaire algebra.

©VSSD

Eerste druk 1985

Delftse Uitgevers Maatschappij b.v.

P.O. Box 2851, 2601 CW Delft, The Netherlands Tel. 015-123725

Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of op enige andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toe-stemming van de uitgever.

All rights reserved. No part of this publication may be reproduced, stored in a retrieval system, or transmitted, in any form or by any means, electronic, mechanical, photocopying, recording, or otherwise, without the prior written permission of the publisher.

3

Voorvvoord

Dit boek is, onder verantwoordelijkheid van de vakgroep Algemene Wiskunde aan de TH Delft, samengesteld door de ondertekenaars. Na de bepaling van de globale inhoud door de hoofdcoördinatiecommissie Lineaire Algebra, werd het initiatief voor het schrijfwerk bij de eerst met name genoemde gelegd, waarna het eindresultaat in samen-werking met de overige samenstellers tot stand kwam.

Het boek onderscheidt zich van het al eerder in gebruik zijnde Lineaire Algebra door G.W. Decnop, H. van Iperen en R. Martini bij dezelfde uitgever, door een betere aan-sluiting bij de in de loop der jaren gewijzigde programma-eisen voor de studierichtingen Civiele Techniek, Industrieel Ontwerpen, Materiaalkunde en Scheikundige Technologie aan deze Hogeschool. De lineaire algebra en matrixrekening zijn bij deze studierichtingen vooral direct toepasbaar in onderdelen als de technische mechanica, stelsels lineaire differentiaalvergelijkingen en de statistiek.

De ervaringen vóór, en de keuzen bij invoering van de twee-fasen structuur leidden reeds tot een beperking en geringe aanpassing van de stof. De praktijk van de studie in de eerste fase bracht de behoefte aan het licht de lineaire algebra toepassings-gerichter te behandelen.

Er is gekozen voor een leesboek met veel oefeningen, waarbij de docent zo nodig de weg kan wijzen. Bij zelfstudie is het voor de student leerzaam de kernpunten per paragraaf zelf te markeren, na de stof goed gelezen te hebben. De lezer kan zich vervolgens de stof vertrouwd maken door aandachtig te oefenen.

De eerste druk verschijnt in twee delen; voor op- en aanmerkingen houden de samen-stellers zich gaarne aanbevolen.

De samenstellers, C.A. den Braber H. van Iperen A. Schuitman M.A. Viergever

4

Inhoud

HOOFDSTUK 1

~

Het oplossen van eenvoudige stelsels lineaire vergelijkingen

Eén vergelijking 7

2 Stelsels. Stelling lover elementaire bewerkingen 9

3 Rekenschema voor het oplossen van stelsels 15

4 Niet-eenvoudige stelsels 20

5 Stelling 2 over homogene stelsels 22

6 Komplexe stelsels 23

HOOFDSTUK 2

Matrixen. Bewerkingen met matrixen

7 Definitie van een matrix 25

8 Twee voorbeelden van bewerkingen met matrixen 27

9 Optellen van matrixen en vermenigvuldigen van matrixen met een getal. Reken- 30 regels

10 Vermenigvuldigen van matrixen 33

11 Rekenregels voor de matrixvermenigvuldiging 38

12 Vierkante matrixen 41

13 De matrixvermenigvuldiging is niet kommutatief en kent nuldeiers 44

14 Transponeren van matrixen. Rekenregels 49

15 Inverteren van matrixen. Rekenschema 52

16 Stelling 3 over vierkante stelsels 58

17 Reguliere 2 x 2-matrixen 60

18 Rekenregels voor het inverteren van matrixen 62

19 Komplexe matrixen 63

20 Overstreept transponeren van komplexe matrixen. Rekenregels 65 HOOFDSTUK 3

Analytische meetkunde van de ruimte en het platte vlak

21 Vektoren 69

22 Bewerkingen met vektoren. Rekenregels 71

23 Deelruimten van het platte vlak en van de ruimte 76

24 Begrippen uit de lineaire algebra 78

25 De aan de analytische meetkunde ten grondslag liggende stelling 4 81

26 Algebraïsering van lijnen 82

27 Algebraïsering van vlakken 87

28 Het inprodukt. Rekenregels 94

29 Beschrijvingen ten opzichte van een ortonormale basis 98 30 Oppervlakte van een parallellogram en stelling 5. Determinanten van de tweede 106

5

31 Het uitprodukt 111

32 Rekenregels voor het uitprodukt 113

33 Vektortripelprodukten 114

34 Het skalartripelprodukt. Inhoud van een blok, en stelling 6 116 35 Uitprodukt en skalartripelprodukt uitgedrukt in koördinaten. Determinant vim 118

de derde orde

36 Eigenschappen van determinanten

37 Het uitprodukt in samenhang met vlakken en lijnen

Antwoordenlijst

119 128 134

.:.. ....

_

-

--

.

HOOFDSTUK 1

Het oplossen van eenvoudige

stelsels lineaire vergelijl<ingen

In dit hoofdstuk zijn m, n en r steeds positieve gehele getallen.

1

Eén vergelijking

§l 7

We bespreken eerst het oplossen van één vergelijking in één of meer onbekenden, waar-bij we het begrip vrijheidsgraad invoeren. Vervolgens behandelen we het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen door middel van eliminatie van de onbekenden. We zullen de begrippen die aan de orde komen nauwkeurig omschrijven in wat men definities pleegt te noemen. De te definiëren begrippen zullen we vet afdrukken. Laten aj, j : = 1(1)n en b gegeven reële getallen zijn. Een reële lineaire vergelijking in nonbekenden Xj, j := 1(1)n is een vergelijking van de gedaante

n

Lajxj=b. j=l

Voluit geschreven voor bijvoorbeeld n = 4, is die

De getallen aj heten de koëfficiënten, het getal b heet de bekende term van de vergelij-king. Een oplossing van deze vergelijking is een n-tal reële getallen Pj, j := 1(1)n, dat na de substituties Xj = Pj, j : = 1(1 )n, de vergelijking doet overgaan in een identiteit. We noteren een oplossing als een geordend rijtje van n getallen (Pl ,P2, . . . ,Pn), waarbij de volgorde bepaald wordt door de volgorde der onbekenden in de vergelijking. De algemene oplossing van de vergelijking is de verzameling van alle oplossingen van de vergelijking. Is zowel iedere koëfficiënt als de bekende term van de vergelijking nul, dan spreken we van een nulvergelijking. Zo is

een nulvergelijking in vier onbekenden. Het is onmiddellijk duidelijk dat ieder rijtje getallen (Pl ,P2, . . . ,Pn) oplossing is van de nulvergelijking in n onbekenden. Is van een vergelijking iedere koëfficiënt nul, maar de bekende term ongelijk aan nul, dan spreken

8 §l

we van een valse vergelijking. Zo is

O· Xl + O·X2 + O·X3 + O·X4 = 7

een valse vergelijking in vier onbekenden. Het is duidelijk dat een valse vergelijking geen oplossing heeft; de algemene oplossing ervan is de lege verzameling. Is minstens één der koëfficiënten van een vergelijking ongelijk aan nul, dan spreken we van een echte vergelijking. Zo is

een echte vergelijking in vier onbekenden. Vervangen we in deze vergelijking X4 door

een willekeurig getal 0:, vervangen we daarna X3 door een willekeurig getal {3, en

vervangen we tenslotte X2 door een willekeurig getal "I, dan volgt Xl = 8 - 20: - 5{3 + "I,

waarmee Xl bepaald is. Hiermee is een oplossing van deze vergelijking gevonden:

(8 - 20: - 5{3

+

"I,"I,{3,0:).

Uit de wijze waarop wij tot deze oplossing geraakt zijn, volgt tevens dat wij alle oplossingen van de vergelijking gevonden hebben. Immers, nadat voor X2, X3 en X4

volstrekt willekeurige waarden gekozen zijn, is Xl ondubbelzinnig bepaald. Het

kenmerkende van een vergelijking in vier onbekenden, namelijk dat een oplossing ervan verkregen kan worden door voor drie onbekenden volstrekt willekeurig en onafhankelijk van elkaar een waarde te kiezen, waarna de laatste onbekende via de vergelijking ondubbelzinnig bepaald is, verwoorden we door: de vergelijking heeft drie vrijheidsgraden. De algemene oplossing noteren we als

{(8 - 20: - 5{3 + ')', "I, (3, 0:)

I

0:, {3, "I E IR}.

De onafhankelijke veranderlijken 0:, {3 en "I heten de parameters van de algemene

oplossing en we zeggen dat de onbekenden X4, X3 en X2 achtereenvolgens door

0:, {3 en "I geparametriseerd zijn. De wijze waarop we hier de algemene oplossing vorm hebben gegeven heet een parametervoorstelling van de algemene oplossing.

De keuze van de onbekenden die men parametriseert is tamelijk willekeurig. Zo hadden we ook Xl, X2 en X4 achtereenvolgens kunnen parametriseren door

À, Jl en IJ. Die keuze zou geleid hebben tot de volgende parametervoorstelling van dezelfde algemene oplossing

{(À,Jl, ~ -

tÀ

+

tJl -

~IJ, IJ)

I

À,Jl, IJ E IR.}.

Blijkbaar zijn er veel meer dan één parametervoorstellingen van één algemene oplossing mogelijk. Het enige waar men bij de keuze van de te parametriseren onbekenden zorg voor dient te dragen is, dat de koëfficiënt van de onbekende die men niet parametriseert ongelijk aan nul is. Zo lukt het niet de algemene

oplossing te vinden van de volgende vergelijking in vier onbekenden

als we Xl, X2 en X4 zouden parametriseren. Immers, zouden we Xl, X2 en X4 gelijk aan 1 nemen, dan is er geen waarde voor X3 te vinden zodat (I, I, X3 , I) een oplossing van de vergelijking is. Parametriseren we daarentegen Xl, X2 en X3 achtereenvolgens door

a,

{3 en 'Y, dan vinden we voor de algemene oplossing ,van deze vergelijking de parametervoorsteiling

{(a,{3,'Y,-7 + a + (3)I a, {3,'Y E IR}.

Een andere parametervoorstelling van de algemene oplossing van deze vergelijking verkrijgen we als we Xl , X3 en X4 achtereenvolgens parametriseren door

a,

(3 en 'Y. Dan volgt

{(a, 7 - a + 'Y,{3,'Y)

I

a, {3, 'Y E IR}. Uit het voorgaande trekken we de volgende slotsom. Voor een echte vergelijking in n onbekenden geldt:

1) dat die n-l vrijheidsgraden heeft,

2) dat een parametervoorstelling van de algemene oplossing ervan n-l parameters heeft.

Opgave 1

De vier onderstaande vergelijkingen zijn vergelijkingen in vijf onbekenden Xl , X2 , X3 , X4 en Xs. Geef van elke vergelijking een parametervoorstelling van zijn algemene oplossing.

a) 4Xl - 7X2

+ X3

+ 2X4 - 6xs

= 9, b) X2 - 2X3

+ 6X4 - Xs

= 12, c) Xl - Xs

=

4,

d) 3Xl = 6.

2

Stelsels. Stelling 1 over elementaire bewerkingen

We gaan nu over tot het behandelen van stelsels lineaire vergelijkingen. Eerst leggen we een aantal begrippen vast.

Laten aij en bj, i := l(l)m, j := 1(1)n gegeven reële getallen zijn. Een reëel stelsel lineaire vergelijkingen in nonbekenden Xj, j := l(l)n is een m-tallineaire vergelijkingen in de onbekenden Xj, j : = I (l)n van de gedaante

n

L aijx, ;; b·

j=l J I i := l(l)m.

10 §2

all Xl + al z Xz + ... + al ftX n = b l aZlxl + azzxz + ... + aznxn = bz

Merk op dat we het geval m=l al eerder onder de loep genomen hebben.

De getallen aij heten de koëfficiënten en de getallen bi heten de bekende termen van het stelsel. Merk op dat i, het eerste voetcijfer (of index) van aij, slaat op de ie vergelijking van het stelsel en dat j, het tweede voetcijfer van aij, slaat op de onbekende Xj waarbij aij als koëfficiënt optreedt. Een oplossing van het stelsel is een n-tal reële getallen Pj, j := l(1)n, dat na de substituties Xj = Pj,j := l(1)n, de m vergelijkingen van het stelsel doet overgaan in m identiteiten. Een oplossing van het stelsel is dus een oplossing van elk van de m vergelijkingen van het stelsel en wordt weer door een geordende rij getallen (Pl, Pz, . . . ,Pn) voorgesteld. De algemene oplossing van het stelsel is de verzameling van alle oplossingen van het stelsel. Het stelsel heet strijdig als het geen oplossing heeft. In dat geval is de algemene oplossing de lege verzameling. Bevat een stelsel een valse vergelijking, dan is het duidelijk dat het strijdig is. Een stelsel heet homogeen als al zijn bekende termen gelijk aan nul zijn. Een homogeen stelsel in n onbekenden is niet strijdig. Immers, vervangen we in zo'n stelsel elke onbekende door 0, dan gaat iedere vergelijking over in een iden-titeit. Het rijtje bestaande uit n nullen is blijkbaar een oplossing van zo'n homogeen stelsel. Deze oplossing heet de triviale oplossing of nuloplossing. Is een stelsel niet homogeen dan heet het inhomogeen. Het oplossen van een stelsel betekent het

berekenen van de algemene oplossing van het stelsel uit zijn koëfficiënten en bekende termen. Het oplossen doen we door het gegeven stelsel door middel van bepaalde bewerkingen over te voeren in een ermee gelijkwaardig stelsel dat eenvoudiger is op te lossen. Met gelijkwaardige stelsels bedoelen we het volgende. Twee stelsels lineaire vergelijkingen, beide in n onbekenden, zijn gelijkwaardig of ekwivalent dan en slechts dan als beide stelsels dezelfde algemene oplossing hebben.

We laten de oplossingsmethode nu aan de hand van een voorbeeld zien. Beschouw het volgende stelsel in vijf onbekenden Xl, Xz , X3, X4 en Xs.

Xl 9xz - l5x3 - 2X4 - 5xs = 1 2Xl l2xz - l6x3 - 2X4 - 6xs =-2 2Xl + 6xz + 6X3 + 8X4 + 2xs = -10 -Xl + l2xz + 22x3 + 3X4 + 7xs =-3.

We voeren dit stelsel over in een ermee gelijkwaardig nieuw stelsel door de volgende bewerkingen:

(i) Vermenigvuldig de 1 e vergelijking met -2 en tel die dan op bij de 2e vergelijking;

het resultaat wordt de 2e vergelijking van het nieuwe stelsel.

(ii) Doe overeenkomstig met de 3e vergelijking; dus vervang die door de som van de oude 3e vergelijking en (- 2) keer de 1 evergelijking.

Xl 2Xl 2Xl -Xl

§2 11

(iii) Vervang de 4e vergelijking door de som van de oude 4e vergelijking en 1 keer de 1 evergelijking.

(iv) Neem de Ie vergelijking zonder meer over als de Ie vergelijking in het nieuwe stelsel.

Na uitvoering van deze bewerkingen heeft het nieuwe stelsel de gedaante Xl - 9X2 - 15x3 - 2X4 - 5xs =

6X2 + 14x3 + 2X4 + 4xs = -4 24x2 + 36x3 + 12x4 + 12xs = -12

3X2 + 7X3 + X4 + 2xs = -2. We noteren dit stel bewerkingen als volgt.

- 9X2 - 15x3 - 2X4 - 5xs = 1 Xl - 9X2 - 15x3 - 2X4 - 5xs = 1 - 12x2 - 16x3 - 2X4 - 6xs =-2

~1~

6X2 + 14x3 + 2X4 + 4xs = -4 + 6X2 + 6X3 + 8X4 + 2xs = -10 24x2 + 36x3 + 12x4 + 12xs = -12 . + 12x2 + 22x3 + 3X4 + 7xs = -3 3X2 + 7X3 + X4 + 2xs = -2.

We hebben juist dit stel bewerkingen gekozen omdat we daarmee in het nieuwe stelsel slechts één echte vergelijking hebben overgehouden waarvan de koëfficiënt van Xl niet nul is; hier de eerste vergelijking. Uit de overige vergelijkingen is de onbekende Xl verwijderd of geëlimineerd, vandaar dat men aan deze wijze van oplossen de naam eliminatiemetode verbindt. De koëfficiënt van Xl uit de eerste vergelijking heet de

spil of pivot van de zojuist uitgevoerde bewerkingen. Het ten uitvoer leggen van een dergelijk stel bewerkingen, gericht op het nul maken van bijna alle (op één na)

koëfficiënten van Xl, duiden we vaak aan met 'het vegen van de koëfficiënten van Xl '.

Vandaar dat deze wijze van oplossen ook wel eens veegmetode wordt genoemd. We gaan nu de koëfficiënten van X4 vegen. Het is duidelijk dat we de spil van deze bewerkingen niet in de Ie vergelijking moeten zoeken, daar we dan de resultaten, bereikt met het vorige stel bewerkingen, te niet zouden doen. We kiezen de spil in de 4e vergelijking en gebruiken de nieuwe notatie.

Xl - 3X2 X3 OX2 + OX3 - 12x2 - 48x3 3X2 + 7X3 + Xs =-3 + OXs = 0 - 12xs = 12 X4

+

2xs = -2. We zien dat de 2e vergelijking van dit nieuwe stelsel een nulvergelijking is die we

wel weg kunnen laten; immers, ieder rijtje van vijf reële getallen voldoet eraan. We hadden het optreden van deze nulvergelijking kunnen voorzien in het vorige stelsel, als we toen hadden opgemerkt dat de 2e vergelijking aldaar een veelvoud (een 2-voud) van de 4e vergelijking is. Voortaan laten we een vergelijking die een veelvoud is van een andere vergelijking van het stelsel, nadat we dit hebben vastgesteld, onmiddellijk weg. Het rekenwerk is eenvoudiger als we een spil kiezen die 1 of -1 is; daarom hebben we de koëfficiënten van X4 geveegd en niet die van X2; van een principiële

12 §2

voorkeur is dus geen sprake. Om de koëfficiënten van een andere onbekende te vegen, dienen we de spil van die bewerkingen in de 2e vergelijking (nadat de nulvergelijking is weggelaten) te zoeken, daar we anders de resultaten van het vegen der koëfficiënten van Xl en X4 teniet zouden doen. Alle koëfficiënten in de 2e vergelijking zijn veel-vouden van -12; daarom vermenigvuldigen we die vergelijking eerst met -11_{2 ; de}

overige vergelijkingen veranderen we niet. We noteren dat als volgt.

Xs =-3 3X2 - X3 Xs

- l2x2 - 48x3 - l2xs = 12 *-~~

12 X2 + 4X3 + Xs

1" -

3X2 -

x,

3X2 + 7X3 + X4 + 2xs =-2

r-

3X2 + 7X3 + X4 + 2xs

Vervolgens vegen we de koëfficiënten van X2.

r-

3X2 - X3 Xs = -3 t

Xs =

-10)(3

~

t

+ llx3 + 2xs

X2 + 4X3 + X2 + 4X3 +

3X2 + 7X3 + X4 + 2xs =-2

+

- SX3 + X4

-We zien nu dat het vegen van koëfficiënten van een vierde onbekende de resultaten, verkregen door het vegen der koëfficiënten van Xl, X4 en X2, weer zou bederven. We zijn aangeland bij een zogenaamd gereduceerd stelsel.

Een gereduceerd stelsel lineaire vergelijkingen in nonbekenden Xj, j := l(1)n, is een stelsel met de volgende eigenschappen.

1) Iedere vergelijking ervan is een echte vergelijking. 2) Iedere vergelijking ervan heeft een koëfficiënt 1, terwijl

3) de koëfficiënten van die (bij 1 horende) onbekende in de overige vergelijkingen nul zijn.

We stellen vast dat in ons laatst verkregen stelsel de koëfficiënt van Xl in de Ie

vergelijking 1 is, terwijl de bij Xl horende koëfficiënten in de overige vergelijkingen

o zijn; dat de koëfficiënt van X2 in de 2

e _{vergelijking 1 is, terwijl de bij X2 horende}

koëfficiënten in de overige vergelijkingen 0 zijn; en dat de koëfficiënt van X4 in de 3e vergelijking 1 is, terwijl de koëfficiënten van X4 in de overige vergelijkingen

o

zijn. We zijn dus inderdaad aangeland bij een gereduceerd stelsel waarvoor een verdergaande eliminatie van de onbekenden niet mogelijk is. Vervangen we nu X3 in het gereduceerde stelsel door een willekeurig gekozen getal a, en Xs door een willekeurig gekozen getal (3, dan volgt

+ lla + 2(3 = -6

X2 + 4a + (3 = -1

Sa + X4 - (3 = 1.

We stellen vast dat Xl, X2 en X4 achtereenvolgens uit de Ie, 2e en 3e vergelijking ondubbelzinnig zijn bepaald door

Xl = -6 - lla - 2(3, X2 = -1 - 4a - (3 en X4 = 1 + Sa + (3.

Het is duidelijk uit de wijze waarop we tot deze oplossing geraakt zijn dat we

)(5 Xs = -3 = -1 = -2. = -6 =

-1

= 1.

-3 -1 -2. -6 -1 1. .~~~ ----~ - -

--

- - - -

--§2 13

tevens alle oplossingen van het gereduceerde stelsel hebben gevonden. We hoeven immers slechts a en {3 onafhankelijk van elkaar de reële getallen te laten doorlopen om met de formules Xl = -6 - lla - 2{3 X2

=

-1 4a - {3 X3

=

a X4

=

1

+

Sa

+

{3 Xs = {3

alle oplossingen van het gereduceerde stelsel te verkrijgen. Het feit dat iedere oplossing van het stelsel precies hoort bij één bepaalde keuze van a en één bepaalde keuze van {3 verwoorden we door: het gereduceerde stelsel heeft twee vrijheidsgraden. De algemene oplossing geven we aan door

{(-6 - lla - 2{3, -1 - 4a - {3, a, 1 + Sa + (3, (3)

I

a,{3 E IR.}.

De onafhankelijke veranderlijken a en {3 heten de parameters van de algemene

oplossing en we zeggen dat de onbekenden X3 en Xs achtereenvolgens geparametriseerd zijn door a en (3. De vorm waarin we de algemene oplossing hier gestalte hebben gegeven, heet weer een parametervoorstelling van de algemene oplossing. Deze is niet ondubbelzinnig bepaald. We hadden immers ook twee andere onbekenden kunnen parametriseren, wat tot een andere parametervoorstelling had geleid. Merk op dat wij juist die onbekenden in het gereduceerde stelsel parametriseerden waarvan de

koëfficiënten niet geveegd waren en dat deze keuze de berekening van de overige onbekenden zo eenvoudig maakte; iedere andere keuze had ons meer rekenwerk be-zorgd.

Uit het voorgaande trekken we de volgende slotsom.

Bestaat een gereduceerd stelsel in n onbekenden uit r vergelijkingen, dan geldt:

1) r.;;; n,

2) het stelsel heeft n-r vrijheidsgraden,

3) een parametervoorstelling van de algemene oplossing van dat stelsel heeft n-r parameters.

Het stel bewerkingen dat wij op het gegeven stelsel uitoefenden, was yr blijkbaar op gericht het zo snel mogelijk over te voeren in een ermee gelijkwaardig gereduceerd stelsel. Deze eliminatiestrategie noemt men wel de Gauss-Jordan-eliminatie. Dat het verkregen gereduceerde stelsel inderdaad gelijkwaardig is met het stelsel waarmee we begonnen, blijkt uit de volgende stelling.

Stelling 1

Ontstaat een stelsel T van lineaire vergelijkingen uit een stelsel S door één der hieronder opgesomde, zogenaamde elementaire bewerkingen op S uit te oefenen, dan zijn de stelsels S en T gelijkwaardig.

14 §2

1. Het weglaten, of toevoegen van een nulvergelijking. 2. Het verwisselen van plaats van twee vergelijkingen.

3. Het vermenigvuldigen van een vergelijking met een getal ongelijk aan nul. 4. Het optellen van een veelvoud van een vergelijking bij een andere vergelijking.

Bewijs. Voor wat de eerste drie elementaire bewerkingen betreft is de bewering duidelijk juist. We bewijzen de bewering voor de 4e elementaire bewerking. Laat S het volgende stelsel zijn

i := l(l)m

waarin aij en bi, i : = 1(1 )m, j : = l(l)n gegeven getallen zijn. Laat p en q natuurlijke getallen zijn waarvoor geldt dat 1 < p < q

<

m. Laat Jl een willekeurig gekozen getal zijn. We beschouwen de volgende elementaire bewerking: Tel bij de qe vergelijking Jl keer de pe vergelijking op. Na ten uitvoerlegging van deze elementaire bewerking gaat S over in het stelsel T. Het nieuwe stelsel T heeft de gedaante

n ~ a··x· = b i := l(l)q-l . Ij j , j=1 ~ (aqj + Jlapj)xj = bq + Jlb p j=1 n . ~ aij Xj

=

bi, i :

=

q + I (1 )m. J=1

Gebruiken we de notatie uit het voorbeeld, dan volgt:

.

. .

. S ap~xl + élp~X2 + ... + ap?x n

-

=

bp . .

.

a ql x l _{. .} + aq2x2 + ... + aqnxn

_.

= bq

. .

.

amlxl + am2x2 + ... + _amnxn

=

_bm

T =b p

=bm ·

Stel nu dat Xj = Pj, j : = 1(1 )n, een oplossing is van S. Dan blijkt onmiddellijk, na invulling in T, dat Pj, j := l(l)n, ook oplossing van T is. De algemene oplossing van S ligt dus binnen die van T. Evenzo tonen we aan dat de algemene oplossing van T binnen die van S ligt. Beschouw daartoe de zogenaamde omgekeerde elementaire

=-~-~

-

-- -

---~---

-

- -

--§3 15

bewerking van daarnet: Tel bij de qe vergelijking (-J..l.) keer de pe vergelijking op. Dan gaat na tenuitvoerlegging van deze elementaire bewerking op het stelsel T, T weer over in het stelsel S. Zo blijkt dat iedere oplossing van T ook oplossing van Sis. 0

Overigens bestaat er voor iedere elementaire bewerking e een omgekeerde elementaire bewerking e' in de volgende zin: Gaat een stelsel S na tenuitvoerlegging van e over in een stelsel T, dan gaat T na tenuitvoerlegging van e' over in S. Merk op dat e en e' van dezelfde soort zijn.

3

Rekenschema voor het oplossen van stelsels

Zoals reeds eerder is opgemerkt, is de algemene oplossing van een stelsel lineaire vergelijkingen bepaald door zijn koëfficiënten en bekende termen. De berekeningen die voortvloeien uit de gekozen elementaire bewerkingen, met het doel een stelsel in een eenvoudiger ermee gelijkwaardig stelsel over te voeren, zijn in feite rekenkundige bewerkingen met koëfficiënten en bekende termen van verschillende vergelijkingen. Daarom stellen we, om het schrijfwerk te verminderen, ter oplossing van een stelsel van m vergelijkingen in n onbekenden, dat stelsel voor door een rechthoekig schema van m

*

(n + 1) getallen, opgebouwd uit de m

*

n koëfficiënten en de m bekende termen. De wijze waarop wij dat doen blijkt genoegzaam uit het volgende voorbeeld. Het stelsel

j

3XI - 2X2 + X4

=

7 3X2 - 4X3 - X4 = 8 Xl + 2X2 - 3X4 = 9 stellen we voor door het getallenschema

[

3 -2

0

1: 7]

o

3 -4 -1 : 8 . 1 2 0 -3 : 9

De 2e rij van dit schema staat voor de 2e vergelijking van het stelsel. De 3e kolom van dit schema bevat de koëfficiënten van de onbekende x3 van het stelsel. De laatste .kolom van het schema bevat de bekende termen van het stelsel. Een dergelijk getallenschema heet een matrix, een begrip waar we in het volgende hoofdstuk nader 'op in zullen gaan. De in stelling 1 genoemde elementaire bewerkingen die op de vergelijkingen van het stelsel worden uitgeoefend, komen in het getallenschema van koëfficiënten en bekende termen overeen met bewerkingen uitgeoefend op de rijen van het schema; men noemt die in dit raam dan ook elementaire rijbewerkingen. Het vegen van de koëfficiënten van Xl noemt men, in termen van dit schema, het (schoon-)vegen van de eerste kolom. Soms omlijst men de spil van de bewerkingen. Wij tonen het rekenen aan zo'n getallenschema aan de hand van het hierboven reeds opgeloste stelsel

16 §3 Xl 9X2 - 15x3 - 2X4 - 5xS = 1 2XI 12x2 - 16x3 - 2X4 - 6xs =-2 2xI + 6X2 + 6x) + 8X4 + 2xs = -10 -XI + 12x2 + 22x3 + 3X4 + 7xs =-3. Oplossing.

[j

-9 -15 -2

-5: I]

~f

[

-9 -15 -2 -5

I~

-12 -16 -2 -6 . -2 -+ 0 6 14 2 4 -4

w~ ~ ~

6 6 8 2 :-10 0 24 36 12 12 -12

2é

12 22 3 7 : -3 0 3 7

OJ

2 -2

[~

-3 -1 0

-I :

-3]

[~

-3 -1

o

-1

=!]G~

-12 -48 0 -12 : 12 *-iï 1 -+

DJ

4 0 1 -+ 3 7 1 2 : -2 3 7 2

[~

0 11 0

2 : -6]

1 4 0 1 : -1 0 -5 1 - 1 : 1

Dit laatste getallenschema staat voor een gereduceerd stelsel van 3 vergelijkingen in 5 onbekenden. Er zijn dus 5-3=2 vrijheidsgraden en derhalve 2 onbekenden te parametri-seren. Kies daarvoor de onbekenden die niet geveegd zijn; stel bijvoorbeeld X3 =

a

en X5 =/3. Dan is Xl = -6 - lla - 2{3, X2 = -1 - 4a - 2{3 en X4 = 1 + Sa +{3. Een parameter-voorstelling van de algemene oplossing is

{(-6 - lla - 2{3, -1 - 4a - {3, a, 1 + Sa + (3, (3) la, {3 E IR}.

Men kan bewijzen dat r, het aantal vergelijkingen van het gereduceerde stelsel waar men ten leste op stuit, niet afhangt van de volgorde en keuze van de elementaire (rij-)bewerkingen. In een ander hoofdstuk komen we hier op terug.

We passen het hierboven ontwikkelde rekenschema voor de oplossing van stelsels lineaire vergelijkingen nog eens toe op een viertal voorbeelden.

1) Beschouw het volgende stelsel A in vier onbekenden

r -

x,

+ 4X3 + X4 = -1 A: Xl + X2 + 5x3 + 2X4 = ·2 Xl + 3x2 + 6X3 + 3x4 = -1 met de oplossing

[ill

-1 4 1

~~J ~

[~

-1 4 1

-~] è~ ~

1 1 5 2 -+ _{2 1}

DJ

1 3 6 3 4 2 2

:-z-~ ___ _ _ _ _ ~ _ _ ~ __________________ _ §3 17

[

~ -~ ~

0 0 0

o :

-4]

1 : 3

o :

-6 .

De laatste rij uit het laatste getallenschema staat voor de valse vergelijking

Het gegeven stelsel is blijkbaar gelijkwaardig met een stelsel dat een valse vergelijking bevat, en dus is het strijdig. Zijn algemene oplossing is de lege verzameling.

2) We beschouwen nu het bij A horende homogene stelsel AH

l

XI - X2

+

4X3

+

X4 = 0 AH: Xl + X2 + 5x3 + 2X4 = 0 Xl + 3X2 + 6X3 + 3X4 = 0 .

Is S een stclsel lineaire vergelijkingen in n onbekenden, dan verstaan we onder het

bij S horende homogene stelsel SH het homogene stelsel lineaire vergelijkingen dat

dezelfde koëfficiënten heeft als S. Oplossing.

[:

-1 4 1

~]~

[~

-1 4 1

~Jè

1 5 2 -+ 2 1

ITl

-+ 3 6 3 4 2 2

o

weg

[~

-3 3 0

~J

.

2 1

Dit laatste getallenschema staat voor het uit 2 verg~lijkingen bestaande gereduceerde stelsel

I

Xl - 3X2

+

3X3

=

0 2X2 + X3 + X4

=

0

Er zijn dus 4-2 = 2 onbekenden te parametriseren. Stel X2

=

~ en X3 = (3. Dan is Xl = 3~ - 3(3 en X4= -2~ - (3. Een parametervoorstelling van de algemene oplossing is:

{(3~ - 3(3,~, (3, -2~ - (3) I~, (3 E IR}. 3) Beschouw het volgende stelsel in drie onbekenden.

2Xl - 3X2

+

5x3 = 7 5x2 - X3 = -9 Xl

+

X2

+

X3

=

0 -2Xl

+

8X2 - 6X3 = -16

18 §3 Oplossing.

[ 2 -3

5

: 7]

é

[!

-5

~

.

-~]

cbcp

?

~

o

5 -1 :

-~

-2

cp

5

DJ

1 ~ -2 8 -6 : -16 10 -4 : -16

[0 10

0

: -20]

",1..

[~

0

=:]

~~

10

o

5 -1

: -9

5 -1 ~ ~ 1 6 0

: -9

6 0 0-10 0 : 20 weg

[~

1 0

: -2]

[~

1 0

: -2J

0 -1 : 1 *-1 ~ _{0 1 : -1} 0 0 : 3 0 0 : 3

Het laatste getallenschema staat voor het gereduceerde stelsel

I

x

=

-2

2 X3 = -1

Xl = 3

Omdat het gereduceerde stelsel evenveel vergelijkingen heeft als onbekenden is het aantal vrijheidsgraden van het stelsel 0; de algemene oplossing heeft geen parameters; de algeme-ne oplossing bestaat uit precies één oplossing: (3,-2,-1).

4) Beschouw het volgende stelsel in vijf onbekenden. 2X2 + 4X3 - 2X4 = -2 Xl - x2 - 2X3 + 4X4 + 2xs

=

3 2XI + 6X4 + 4xs = 4 3XI + 2X2 + 4X3 + 7X4 + 6xs

=

4 4XI - 3X2 - 6X3 + 15x4 + 8xs

=

11 Oplossing. 0 2 4 -2 0 -2

*1

0

_DJ

2 -1 0 -1

cp

DJ

-1 -2 4 2 3

2~rr

1 -1 -2 4 2 3 2 0 0 6 4 4 0 2 4 -2 0 -2 weg ~ 3 2 4 7 6 4 0 5 10 -5 0 -5 weg 4 -3 -6 15 8 11 0 1 2 -1 0 -1 weg

[~

2 -1 0

-~J

0 0 3 2

Het laatste getallenschema staat voor het uit twee vergelijkingen bestaande gereduceerde stelsel

!

-=-::.::~ - -~~--- -- ~

~---§3 19

I

X2

+ 2X3 -

X4 = -1

Xl + 3X4 + 2xs = 2.

Het gegeven stelsel heeft blijkbaar 5-2 = 3 vrijheidsgraden; er zijn dus 3 onbekenden te parametriseren. Het is weer het eenvoudigst die onbekenden te parametriseren waarvan de koëfficiënten niet geveegd zijn. Stel daarom X3 = a, X4 = {3 en Xs = 'Y. Dan is Xl = 2 - 3{3 - 2'Y en X2 = -1 - 2a

+

{3. Een parametervoorstelling van de algemene oplossing is:

{(2 - 3{3 - 2'Y, -1 - 2a + {3, a, {:J, 'Y)la, {3, 'Y E IR}.

Opgave 2

Gegeven zijn drie stelsels in vier onbekenden. Geef van elk een parametervoor-stelling van zijn algemene oplossing.

al!

3Xl - 2X2 - 3X3 + 3X4 =0

bl

1

3Xl + X2 + 2X3 - X4 = 0 5Xl - 4X2 - 5X3 + 5X4 =0 - 2X l + 2X2 + 3X3 + 3X4 =0 - 5X l + 3X2 + 5X3 - 5X4 = O. -Xl + 6X2 + 9X3 + 5X4 = O. c) Xl + x2 - X3 + X4 = 0 -Xl + 2X2 + x4 =0 -Xl + 5X2 + 3X4 =0 2Xl + 5X2 - 2X3 + 4X4 = O.

Opgave 3

Gegeven zijn een vijftal stelsels in vijf onbekenden. Geef van elk een parameter-voorstelling van zijn algemene oplossing.

a)!

Xl + X2 + 2X3 + 3X4 - 2xs = 1 b) 3Xl + 5X2 + 2X3 + 3X4 - 10xs = 4 - 2X2 + 4X3

+

6X4 + 4xs = O. Xl X2 - 2X3 3Xl x2 - 2X3 3Xl + 2X2 + 4X3 4Xl - 3X2 - 6X3 C)! Xl - X2

+ 3X3 = 6

3Xl - 2X2 + 7X3 = 14 Xl

+

3X2 - 3X3 = -14.

d)!

Xl + 2X4 = 0 -2Xl + Xs = -5 -X2 + X4 = -3.

Opgave 4

+ 4x4 + IOx4 + 7X4 + 15x4 + 2xs + 6xs + 6xs + 8xs = 3 7 = 4

=

11.

p is een reëel getal. Gegeven zijn de volgende drie stelsels in vier onbekenden. Ga voor elk stelsel na voor welke waarden van p het strijdig is. Los het vervolgens op voor de overige waarden van p.

20 §4 a) Xl + p X3 + PX4 = 0 Xl + X2 + X3 + 3X4 = 4 3XI

+

(P+2)X4 = 2 Xl - x2 + (P-l)X3 X4 =-2 b) Xl + x2 - pX3 - (p +2)X4 = 1 Xl + 4X2 + (p-l)x3 + 4X4

=

7 3XI + 4X2 - 3X3 - 8X4 = 5 Xl + 2X2 X3 - 2X4

=

3.

Opgave 5

c) P2XI - 4X2 PXI - 2X2 Xl + 2X2 Xl + 2X3 + X3 + PX3 + X3 + 2X4 = 4 + X4

=

2 =0

+

X4

=

1.

pen q zijn reële getallen. De volgende twee stelsels in vier onbekenden hebben

ten-minste één vrijheidsgraad. Bereken voor elk der stelsels p en q en de algemene

oplos-sing. a) 2XI - 2X2 + X3 + 4X4 = I b) Xl + 3X2 + X3 + 2X4

=

0 Xl - 3X2 - SX3 - X4 = 2 x2 + q X3 + X4 = 0 2p X2 + 11x3 + 6X4 = -3 Xl + 4X2 + 3X3 + PX4 = -q 4XI - 8X2 - 9X3 + PX4 = S. Xl + 2X2 - _{X3 + X4}

=

1.

Opgave 6

bI, b2 en b3 zijn reële getallen. Gegeven is het volgende stelsel in drie onbekenden

I

Xl + 2x3 = bI

Xl + 3X2 - 2x3 = b 2 X2 - _{X3 = b3}

Los het stelsel op in de volgende drie gevallen: a) bI = I _{en b 2 = b3 = 0,}

b) b 2

=

1 en b 3 = bI = 0, c) b3 = 1 en bI = b2 = O.

4

Niet-eenvoudige stelsels

Met niet-eenvoudige stelsels lineaire vergelijkingen bedoelen we stelsels die met potlood en papier niet of nauwelijks zijn op te lossen. Het zijn stelsels bestaande uit een groot aantal vergelijkingen in een groot aantal onbekenden, waarvan bovendien de

koëfficiën-ten en bekende termen lang niet altijd gehele getallen zijn. Het zijn de in de praktijk meest voorkomende stelsels. Sommige daarvan zijn met behulp van snelle rekenmachines met grote geheugens wel op te lossen. Voor de oplossing van dergelijke stelsels op rekenmachines maakt men meestal ook gebruik van de eliminatiemetode. Een aantal overwegingen leidt er toe dat het rekenschema of algoritme, dat als grondslag zal dienen

reken-!s

n

§4 21

schema. We noemen een drietal overwegingen.

Bijna iedere stap van het rekenproces op een rekenmachine gaat gepaard met afrond-fouten. Men zal daarom het algoritme zo moeten inrichten dat het door de machine geleverde antwoord niet overwoekerd kan raken door achtereenvolgens gemaakte afrond-fouten, waardoor het als benadering van de oplossing volstrekt waardeloos zou worden. Een eenvoudig voorbeeld moge als toelichting dienen. Stel dat een computer van ieder getal slechts 3 signifikante cijfers opslaat. Dus de getallen 7538, 0.13526 en 9.9.76 worden door de machine achtereenvolgens afgerond op 7540, 0.135 en 99.8. Het stelsel

I

Xl

+

1000x2 = 1000 Xl

+

X2 = 1.3

heeft als exakte oplossing Xl = ~~~, X2 =

9::;/ .

Afgerond op 3 signifikante cijfers vinden we het antwoord Xl = 0.300 en X2 = l.00.

Nu met de machine. Daar waar de machine uitkomsten wijzigt na afronden, plaatsen we een teken

@

.

I

Xl + 1000x2 = 1000

~®

-+ { Xl + 1000x2 = 1000

_{* __}

1_ Xl + X2 = l.3 -999x2 = -999 ₉₉₉

I

xl + 1000x2 = 1000

1

{ Xl =0

~

-+ X2 1 X2 = 1 .

We stellen vast dat dit antwoord onaanvaardbaar is. We kunnen echter ook anders te werk gaan.

{

Xl + 1000x2 = 1000

B®

-+

{

999x2 = 999 *_1_ 999 Xl + X2 = l.3 Xl + X2 = 1.3 { Xl X2 =

~

{ Xl X2 = 1 -+ + X2 = l.3 = 0.3

Dit antwoord stemt overeen met dat gevonden uit de exakte oplossing. Blijkbaar is voor de benadering van oplossingen van een stelsel met een rekenmachine de keuze' en volgorde van de elementaire bewerkingen niet onbetekenend.

-+

Een tweede overweging is dat men het rekenproces zo snel mogelijk ten uitvoer zal willen leggen, en met zo'n gering mogelijk gebruik van het geheugen van de computer. Immers, het in beslag nemen van tijd en geheugenruimte van een computer kost door-gaans veel geld.

Een derde overweging is dat men het algoritme zo zal willen inkleden dat het robuust is, dat wil zeggen dat het toepasbaar is op veel stelsels.

In dit kollege zullen slechts eenvoudige stelsels lineaire vergelijkingen aan de orde komen. Daarom gaan wij niet nader in op het geschikt maken van rekenschema's voor gebruik op rekenmachines.

22 §5

5

Stelling 2 over homogene stelsels

In de volgende hoofdstukken zullen we nader ingaan op kenmerken van stelsels lineaire vergelijkingen, zoals: een kenmerk voor oplosbaarheid, een kenmerk voor het hebben van precies één oplossing; bovendien zullen we de bouw van de algemene oplossing uit de doeken doen.

Eén eigenschap met belangrijke gevolgen kunnen we echter nu al met de ons ten dienst staande middelen bewijzen.

Stelling 2

Een homogeen stelsel lineaire vergelijkingen met meer onbekenden dan vergelijkingen heeft een niet-triviale oplossing.

Bew/ïs, met volledige induktie naar n, het aantal onbekenden. Daar een stelsel minstens één vergelijking heeft en er meer onbekenden dan vergelijkingen zijn ligt de induktie-basis bij n = 2.

Stel n = 2. Dan is er dus één vergelijking, zeg

Is zowel all als al2 nul, dan bevredigt ieder tweetal (Xl, X2) de vergelijking. Is tenminste één der koëfficiënten niet nul, dan heeft de vergelijking de niet-triviale oplossing

(-aI2, all). De bewering is dus juist voor stelsels in twee onbekenden.

Stel dat de bewering juist is voor homogene stelsels in m onbekenden, m;;. 2, met minder dan m vergelijkingen (induktieveronderstelling).

Beschouw nu een willekeurig homogeen stelsel S in (m + 1) onbekenden bestaande uit ten hoogste m vergelijkingen.

S:

all xl + a12 X2 +. . + al,m+1 xm+1 = 0 a21 Xl + a22 X2 +. . + a2,m+1 Xm+1 = 0

Zijn alle koëfficiënten van Xl nul, dan is bijvoorbeeld Xl = 1, xj'-=O, j := 2(l)m+1 een niet-triviale oplossing van S. Laat nu één der koëfficiënten van Xl niet nul zijn. Het is geen beperking van de algemeenheid als we aannemen dat all* O. Immers, door een verwisseling van rijen kunnen we dat altijd bewerkstelligen. Vervolgens vegen we de koëfficiënten van Xl met a11 als spil, en vermenigvuldigen daarna de eerste rij met...!...._

au Dan onstaat het stelsel T.

T:

Xl + b12 x2 + ... + bl,m+l xm+l = 0 b22 x2 +. . + b2,m+l xm+l = 0

e

.,-- . . - - -

-§6 23

Laten we uit het stelsel T de eerste vergelijking weg, dan onstaat het stelsel U.

U:

bm2 x2 + . _{.. + bm,m+1 x m+1 = 0 .}

U is een homogeen stelsel van m-l vergelijkingen in m onbekenden Xj, j := 2(l)m+l. Volgens de induktieveronderstelling heeft het een niet-triviale oplossing, zeg

(P2, P3, . . . , Pm+1). Vullen we deze oplossing in in de eerste vergelijking van T met het doel Xl te berekenen, dan blijkt dat

m+l

(-.~ bjjPj, P2, P3, . . . , Pm+1) J=2

een niet-triviale oplossing is van T, en dus van S. Uit het beginsel der volledige

induktie volgt dan dat ieder homogeen stelsel lineaire vergelijkingen met meer onbeken-den dan vergelijkingen een niet-triviale oplossing heeft. o

Vervangt men in stelling 2 de woorden 'een niet-triviale oplossing' door 'oneindig veel oplossingen', dan krijgt men ook een juiste uitspraak. Het bewijs van die uitspraak gaat evenzo met volledige induktie.

6

Komplexe stelsels

Tenslotte nog een opmerking over komplexe stelsels. Zijn aij en bj, i : = 1 (1 )m, j : = l(l)n gegeven komplexe getallen, dan heet het m-tal vergelijkingen

n

.~ aijxj = bi , i:= 1(1)m J=1

een komplex stelsel lineaire vergelijkingen in nonbekenden Xj, j := 1(1 )n. Een oplossing is een n-tal komplexe getallen Pj, j := 1(1)n, dat na de substituties Xj=Pj, j := l(l)n de m vergelijkingen van het stelsel doet overgaan in m identiteiten. De overige reeds voor reële stelsels gedefinieerde begrippen worden net zo gedefinieerd voor komplexe stelsels. De stellingen 1 en 2 gelden ook voor komplexe stelsels lineaire vergelijkingen .. Immers, zowel in de reële getallen als in de komplexe getallen gehoorzamen de bewerkingen optellen, vermenigvuldigen en delen dezelfde rekenregels. Dezelfde reden rechtvaardigt het toepassen van het ontwikkelde rekenschema op komplexe stelsels met het doel die op te lossen. We tonen het rekenschema nog eens aan de hand van het volgende komplexe stelsel. Oplossing. [ 2 + 2i -2

I

(2+2i)Xl - (4+3i) x2 - 2X 3 = 7 -2Xl - 3ix2 + (1 - i)x3 = -1 [ 2+ 2i

~

-2 -2i -4 -3i -3i -2 1 - i -4 -3i 3 -3i -2 2

24 §6

[2;2i -4 -3i -2 : 7 ] _{* __ 1_} ~ [2;2i -4-3i -2

-1 - 6i 0 : -6-1 _-1-6i 1 0

[2

~2i

0 -2

474iJ*~

~

C

~i

0 -1 2

~

2iJ

0 0

Het laatste getallen schema staat voor het uit 2 vergelijkingen bestaande gereduceerde stelsel

I

(1 + i)Xl - X3 = 2 ~ 2i

X2 = 1

Het stelsel heeft dus 3 - 2 = 1 vrijheidsgraad en er is één onbekende te parametriseren. Kies Xl = a. Dan is x2 = i en x3 = - 2 - 2i + a(l + i). Een parametervoorstelling van de algemene oplossing is

{(a, i, -2 - 2i + a(i + 1 ))Ia E cr}.

Opgave 7

Los elk der drie onderstaande komplexe stelsels lineaire vergelijkingen in drie onbekenden op.

a)

c)

I

Xl + X2 - (2 + 3i)X3 = 0

(1 + i)XI + iX2 - (2 - 2i)X3 = 0 .

+ x2 (1 +i)X 2

=

4i + X3

=

4 + 4i X2 + (1 + i)X3 = 0 .

1

(-1 +Si)XI - (1-i)X2 - (2+2i)X3 = -6 (1 - i)XI - (1 - Si)X2 + (2 - i)X3 = -6i -(2 + 2i)XI - (2 - 2i)X2 - (4 - 2i)X3 = -12.

HOOFDSTUK 2

Matrixen.

Bevverl<ingen nlet nlatrixen

In dit hoofdstuk zijn m, n, p, q en r steeds positieve getallen.

7

Definitie van een matrix

§7 25

In het vorige hoofdstuk hebben we een stelsel lineaire vergelijkingen door een recht-hoekig getallenschema voorgesteld. Zo'n getallenschema heet een matrix. Laten aij, i := l(1)m, j := l(1)n gegeven reële getallen zijn. Het uit m rijen en n kolommen op-gebouwde getallenschema

all a12··.· aln a21 a22···· a2n

heet een m x n-matrix over IR, of een reële m x n-matrix, of een reële matrix van de orde

mxn.

Voorbeeld.

o

2

15 -3 -4 8

is een reële 3 x 4-matrix.

Aan het eind van dit hoofdstuk zullen we ook matrixen over de komI?lexe getallen <C beschouwen. Is het duidelijk dat slechts reële matrixen bedoeld worden, of doet het, voor wat het onderwerp betreft, er niet toe of matrixen over IR of over

<t:

worden beschouwd, dan laten we vaak de woorden 'reële' en 'over IR' weg.

Een I xn-matrix heet een rijmatrix van de orde n. Een m x I-matrix heet een kolommatrix van de orde m. Een n xn-matrix heet een vierkante matrix van de orde n.

Voorbeelden.

26 §7

[ _! ] '

een kolommatrix van de orde 3, en 5 -7

10 4

11 13

2 -6

~]

, een vierkante matrix van de orde 4.

Matrixen geven we meestal aan met hoofdletters, bijvoorbeeld A. De getallen waaruit A is opgebouwd, heten de elementen van A. Het element op de kruising van de ie rij en je kolom van A geven we aan met aU. Merk op dat het eerste voetcijfer het rijnummer en het tweede voetcijfer het kolomnummer aanduidt. Een element van een rijmatrix of een kolommatrix voorzien we meestal maar van één voetcijfer.

Voorbeelden.

[!

-2 0

l~]

A= 5 7

4 -5 -3 , een 3x4-matrix; a23=7 en a32=4.

B = [0 0 -1

-vh

1.5 1( ] , een rijmatrix van de orde 6; b2 = 0 en b_s = 1.5.

c=

[ 10

3 ]

o.~

7 , een kolommatrix van de orde 3; Cl = 103 en C3 = 0.37.

Vaak worden matrixen gegeven door middel van een formule voor hun elementen. Laat bijvoorbeeld de matrix D gegeven zijn door dij=4i-j2, i:= 1(1)3,j:= 1(1)4. Schrijven we achtereenvolgens de elementen uit, dan volgt:

d_{l1 = 4(1) - (1)2 = 3, d12 = 4(1) - (2)2 = 0, d l3} = _{4(1) - (3)2 = -5, d l4} = 4(1) - (4)2 = -12 d21 = 4(2) - (1)2 = 7, d22 = 4(2) - (2)2 = 4, d23 = 4(2) - (3)2 = -1, d24 = 4(2) - (4)2 = -8 d31 = 4(3) - (1)2 = 11, d32 = 4(3) - (2)2 = 8, d33 = 4(3) - (3)2 = 3, d34 = 4(3) - (4)2 = -4. D

=[

~

11

o

-5 -12] 4 -1 -8 8 3 - 4

Is A een vierkante matrix van de orde n, dan heten de elementen aii> i := l(1)n de

diagonaalelementen van A; samen vormen zij de hoofddiagonaal van A. Zo is

E=[-!

(2,9,5 ). 4

9

"';3

O~]

i.

2

--- ~

§8 27 Een diagonaalmatrix is een matrix waarvan alle niet-diagonaalelementen gelijk aan nul zijn. Is A een diagonaalmatrix van de orde n, dan is dus aij = 0, i =f j, i, j := 1 (1 )n. Om papierruimte te sparen noteren we zo'n matrix dikwijls met

Zo is F

=

r

~~

diag (all, a22, ... , ann ).

o

o

o

o

~ ~]

= diag (7,0,3, -5) een diagonaalmatrix van de orde 4.

~

-~

Willen we aangeven dat een matrix, zeg A, van de orde mxn is, dan schrijven we in het bijzonder V'1or A Of Amn, Of [aij]mn. Is de orde van A duidelijk uit het verband, dan schrijven we ~'1 plaats van A ook wel [aij].

8

Twee voorbeelden van bewerkingen met matrixen

Voordat we het rekenen met matrixen aanvangen, hopen we aan de hand van een tweetal

praktische voorbeelden duidelijk te maken waarom men juist die bew~rkingen met matrixen heeft ingevoerd, die wij straks zullen definiëren.

Voorbeeld 1

Stel een timmerman maakt drie produkten: tafels, stoelen en kasten. Voor elk produkt heeft hij een zekere hoeveelheid hout, spaanplaat, kunststof en beslag nodig. Welke geld-sommen in duizenden guldens hij ieder jaar per produkt aan materiaal uitgeeft, schrijft hij

in een tabel. Tabel A en tabel B vermelden de cijfers van twee opeenvolgende jaren.

~!

~ _~ til Cl) Q)

...

Cl)

...

Cl) ... 0 til Od

...

Od

...

til ~

~~

~ _~ til Cl) Q)

...

Cl) Cl) ... 4-< 0 til Od Od ...

...

til ..><: hout 30 40 60 hout 32 44 58 spaanplaat 25 5 95 spaanplaat 15 3 105 kunststof 10 2 70 kunststof 16 2 76 beslag 5 4· 8 beslag 7 8 12 Tabel A Tabel B

Wil de timmerman weten wat hij in twee jaren heeft uitgegeven aan de verschillende materialen per produkt, dan hoeft hij slechts de met elkaar korresponderende bedragen uit de twee tabellen op te tellen; het resultaat staat in Tabel C.

28 §8

~!

~ _~ rJ'l Q) _Q)

-

Q)

-

Q)

....

'+-< ₀ rJ'l ro

....

_.!.<! ro

....

rJ'l hout 62 84 118 spaanplaat 40 8 200 kunststof 26 4 146 beslag 12 12 20 Tabel C

Het ligt nu voor de hand de tabel C op te vatten als de som van de tabellen A en B. Dus A + B = C; uitgeschreven volgt:

[30

40

60]

_f2

44

58] [2

84

11]

25 5

~~

+ 15 3 105 = 40 8 200 10 2 16 2 76 26 4 146 . 5 4 8 7 8 12 12 12 20

Wil de timmerman weten wat hij gemiddeld per jaar heeft uitgegeven, dan hoeft hij slechts de bedragen uit tabel C te halveren; het resultaat staat in tabel D.

~

~ _~ rJ'l Q)

-

Q) Q)

....

Q) '+-< ₀ rJ'l ro ro

....

_.!.<!

....

rJ'l hout 31 42 59 spaanplaat 20 4 100 kunststof 13 2 73 beslag 6 6 10 Tabel D

Het ligt voor de hand tabel D op te vatten als het produkt van

1-

en tabel C. Dus

4C

= D; uitgeschreven volgt: ! . 40 2 26 [ 62 12 Voorbeeld 2. 84 8 4 12 ll8J [31 200

=

20 146 13 20 6 42 4 2 6 59l 100 73 10

In een gemeente dingen drie politieke partijen K, L en M naar de gunst van de kiezers.

De inwoners van die gemeente zijn volgens bepaalde kenmerken ingedeeld in drie sociale groepen, 1, 2 en 3. Vlak voor een verkiezing heeft men de partij voorkeur van de drie sociale groepen onderzocht. De uitkomsten van dat onderzoek staan in tabel A; T staat voor thuisblijvers, dat zijn mensen die zegden niet te zullen gaan stemmen.

Men leest uit tabel A dat l~' dat is 60% van de sociale groep 1 de voorkeur geeft aan partij K en dat

;0'

dat is 20% van de sociale groep 2 zegt niet te zullen gaan stemmen.

§8 29

::~

1 2 3 partij K 0.6 0.1 0 L 0 0.4 0.5 M 0.3 0.3 0.1 T 0.1 0.2 0.4 som 1 1 1 Tabel A

In de gemeente zijn vier kieskringen, N, 0, Z en W. De verdeling van de kiesgerechtigden in duizendtallen per sociale groep over de kieskringen is bekend en staat in tabel B.

~

N 0 Z W soc. gr. 1 10 20 70 60 2 40 50 30 40 3 50 80 20 10 Tabel B

We willen nu een voorspelling doen van de verkiezingsuitslag per kieskring. We veronder-stellen dat de voorkeur der kiezers op de dag der verkiezingen nog dezelfde is als tijdens het onderzoek, en dat de voorkeur per sociale groep niet afhangt van de kieskring. We schatten het aantal stemmen dat partij K zal krijgen in kieskring Noord. Uit groep is dat 160 van het aantal stemmen, terwijl er 10- 103 kiesgerechtigden van die groep

in Noord zijn; dat levert 1~ -10-103 = 6-103 stemmen. Uit groep 2 mag partij K verwachten in Noord:

/0

-10-103

=

4-103 stemmen, en uit de sociale groep 3: 0- 50-103 = C stemmen. Blijkbaar is het totale aantal stemmen dat K zal krijgen, te schatten door achtereenvolgens de getallen van de Ie rij van tabel A met de getallen uit de Ie kolom van tabel B te vermenigvuldigen en die drie produkten dan op te tellen.

Evenzo vinden we een schatting voor het aantal stemmen dat M in West zal krijgen, door de getallen van de 3e rij van tabel A achtereenvolgens te vermenigvuldigen met de

getallen van de 4e kolom van tabel B en die drie produkten weer op te tellen: 130 -60- 103 + 1~-40-103 + 1~-10-103 = 31-103 stemmen. We kunnen zo voor ied"er der partijen

~

N 0 Z W partIj K 10 17 45 40 L 41 60 22 21 M 17 29 32 31 T 29 44 21 18 Tabel C

30 §9

schatten hoeveel stemmen die zal krijgen per kieskring, en hoeveel thuisblijvers er zul-len zijn per kieskring. De resultaten in duizendtalzul-len staan in tabel C.

Het ligt nu voor de hand de tabel C op te vatten als het produkt van de tabellen A en B.

Dus AB = C; uitgeschreven

lO~6

0.1

oOsJ

[10

_rIO

17 45

40J

0.4 20 70

6:]

41 60 22 21 0.1 40 50 30 40 = 0.3 0.3 17 29 32 31 . 0.1 0.2 0.4 50 80 20 10 29 44 21 18

9

Optellen van matrixen en vermenigvuldigen van matrixen met een getal. Rekenregels

In de twee behandelde voorbeelden zijn alle rekenkundige bewerkingen met matrixen aan de orde geweest: het optellen van twee matrixen, het vermenigvuldigen van een matrix met een getal, en het vermenigvuldigen van twee matrixen. We gaan nu deze bewerkingen met matrixen precies beschrijven waarna we er de eigenschappen (reken-regels) van zullen opsporen. Vooraf willen we echter benadrukken dat we een matrix, hoewel dikwijls samengesteld uit veel getallen, toch opvatten als één ding; één voor-werp uit een nieuwe verzameling, een verzameling van matrixen. Het ligt voor de hand eerst vast te stellen wanneer we twee voorwerpen uit deze nieuwe verzameling van matrixen aan elkaar gelijk zullen noemen.

Twee matrixen A en B zijn gelijk dan en slechts dan als

1) zij van dezelfde orde zijn, zeg m x n, en 2) aij =bjj, i:= 1(1)m,j:= 1(1)n.

Twee voorbeelden van ongelijke matrixen zijn: f7 -1

l}

5 en 5

~J

We kunnen dus alleen matrixen vergelijken, als die van dezelfde orde zijn. Daarom vatten we alle matrixen over IR van de orde mxn samen in één verzameling die we aangeven met IR~.

De m xn-matrix waarvan alle elementen nul zijn heet de nulmatrix, of het nulelement,

of de nul van IR~ ; we geven hem aan met 0mn' of indien er geen verwarring mogelijk is omtrent de orde m xn, korter met 0.

De verzameling IR:n van alle reële rijmatrixen van de orde m noteren we als IRm.

~_: -~

§9 31

We gaan nu in de verzameling van m x n-matrixen een optelling definiëren. Laten A en B mxn-matrixen zijn. De som van A en B, notatie A + B, is de mxn-matrix S bepaald door

Sij = aij + bij, i := 1(1 )m, j := I (1 )n.

Voorbeeld

[~I

5 1

1

3

1

]

+

[!5

2 -12

-2J [10

7 -11

H

15

-4

16 -3 8 = -5 31 -7 3 8 -9 3 6 9 10 2 9 17

Het is niet moeilijk in te zien dat de rekenregels voor de optelling in IR~ dezelfde zijn als in IR. Immers:

1) De termen van een som in IR zijn verwisselbaar, zodat

i := 1(1)m, j := l(1)n.

Daaruit volgt dat A + B = B + A, zodat ook de termen van een som in IR~ verwisselbaar zijn. Blijkbaar is de optelling in IR~ kommutatief.

2) Is C ook een mxn-matrix, dan volgt uit de associativiteit van de optelling in IR dat i := 1(1)m, j := 1(1)n.

Daaruit volgt dat (A + B) + C = A + (B + C), zodat ook de optelling in IR~ associatief is.

3) Tenslotte is de matrixvergelijking A+X=B

ondubbelzinnig oplosbaar. Immers, voor i := 1(1)m, j := 1(1)n, is xij bepaald door xij = bij - aij.

De matrix [bij - aij] geven we aan door B - A. Zo is de enige oplossing van A + X = A de nulmatrix 0, en de enige oplossing van A + X =

°

is de matrix [-aij] die we kort-weg schrijven als -A. Blijkbaar kunnen we matrixtermen in een matrixvergelijking op dezelfde manier van het linker- naar het rechterlid overbrengen als getaltermen iri een getallenvergelijking.

We definiëren vervolgens het produkt van een matrix met een getal. Laat A een m x n-matrix zijn en À. een getal. Het (skalair)produkt van À. en A, notatie À.A, is de mxn-matrix P bepaald door

Pij = À.aij, i := 1(1)m, j := 1(1)n. Voorbeeld [ -3 -1 7

~J

[-~

-3 21

~4J

3 2

4

_-1 = _{12 -3}

32 §9

Men mag voor À.A ook schrijven AÀ., maar dat is niet gebruikelijk.

De rekenregels voor het skalairprodukt volgen gemakkelijk uit die voor het produkt in

IR. Is B nog een m x n-matrix, dan volgt uit de distributiviteit van de vermenigvuldiging

in IR met betrekking-tot de optelling in IR, dat

À.(aij

+

bij) = À.aij + À. bij , i := 1(1)m, j := l(1)n.

Daaruit volgt dat À.(A + B)

=

À.A + À.B, zodat ook de skalaire vermenigvuldiging in IR~

distributief is met betrekking tot de optelling in IR~. Evenzo leidt men gemakkelijk af,

als Jl nog een getal is, dat

(À.

+

Jl) A

=

À.(JlA)

=

(À.J1) A. Onmiddellijk duidelijk is dat

I" A

=

A, -1" A

=

-A, 0" A = 0 en À.O = 0 voor elk getal À..

Voorts geldt: Als À.A = 0, dan is À. = 0 of A = O.

Bewijs. Neem eens aan dat de bewering niet juist is. We nemen dus aan dat À.A

=

0 en

tevens À.

i=

0 en A

i=

O. Uit À. IA = 0 volgt dat À.aij = 0, i := 1(1)m, j := l(1)n.

Omdat À.

i=

0 is aij = 0, i := l( 1)m, j := 1 (1 )n. Maar dan is A = O. We stuiten op een

tegenspraak. Blijkbaar is onze veronderstelling onjuist en dus de bewering juist. 0

Hieruit volgen de volgende twee wegstreepregels. Is À.

i=

0 en À. A = À. B, dan is A = B. Is A

i=

0 en À. A = JlA, dan is À.

=

Jl-Merk op dat de laatste wegstreepregel niet, zoals in IR, bewezen kan worden door beide

leden met

*

te vermenigvuldigen. Immers,

l

is niet gedefinieerd.

Opgave 8

Bewijs de twee bovengenoemde wegstreepregels.

Opgave 9

A =

[~ _~ -~J

,B =

[-~

o

_{4 -5}

6J

_. a) Bereken A + B, A - B, A + 3B en 4A - SB. b) Los X op uit X + A

=

B.

c) Los Y op uit 2(2A + 3Y) = SB.

Opgave 10

A en B zijn 3 x 3-matrixen bepaald door aij = i2 + 2j - 3, bij = i2 - ij, i := 1 (1)3,

j := 1(1)3.

a) Bereken A + B.

b) Los X op uit 4(A + 3X) = A + B.

c) Los Y op uit 2(3A + SY) = 3(A + 2Y + 7B).

§lO

33

Opgave 11

A, Ben C zijn 2x3-matrixen bepaald door aij = (_l)i+j, bij =i+j, Cij =i2 -j,

i := 1(1)2, j := 1(1)3.

Bereken het gemiddelde van A, B en C.

Opgave 12

x, y, z en w zijn reële getallen. Bereken de waarden die deze getallen kunnen aannemen in elk van de volgende twee matrix vergelijkingen.

a) [;

~

1

+

~!

z

-!]

~ [~

; ]

+

[5 -3

~

=

[-7 8J

-4

w~

y -5

b)

10 Vermenigvuldigen van matrixen

Kenmerkend voor de tot nu toe ingevoerde bewerkingen met m x n-matrixen is dat de uitkomsten, som en skalairprodukt, weer m xn-matrixen zijn. We verwoorden die eigen-schap door: De verzameling IR~ is gesloten onder de optelling en de vermenigvuldiging met een getal. Onder de volgende bewerking met matrixen die we gaan invoeren, het vermenigvuldigen van matrixen, blijkt IR~ niet gesloten te zijn. Sterker nog, de faktoren

van het produkt zijn in het algemeen geen matrixen van dezelfde orde, zodat er geen sprake kan zijn van een matrixprodukt in 1R.~. We kunnen zelfs niet zonder meer twee matrixen met elkaar vermenigvuldigen. Is A een m x n-matrix en Been p x q-matrix, dan

is A vermenigvuldigbaar met B, in deze volgorde, dan en slechts dan als n=p. We noemen n de gemeenschappelijke afmeting van A en B.

Laat A een mxn-matrix en Been nxq-matrix zijn. Het matrixprodukt van A en B, notatie AB, is de m xq-matrix C bepaald door

n

Cij = L aik bkj,

k=l

i:= l(1)m, j := l(1)q.

Merk op dat de voetcijfers i en j in het linkerlid en in de termen van het rechterlid steeds in dezelfde volgorde staan en dat de beide sommatiecijfers k in de termen van het rechterlid tussen de i en de j staan. De reden is gelegen in het feit dat cij, het element op de kruising van de ie rij en de je kolom van het produkt C, is ontstaan uit de ie rij van de eerste faktor A en de je kolom van de tweede faktor B. De bouw van het matrixprodukt lichten we nog eens toe met de volgende, voor zich zelf sprekende figuur.

34 §10 n I I I I =i f-=-~

-=-

~-==tm= A Voorbeelden

[

~

[-rl

o

-2 1 6

[-7

n B =

-!J

[-~ ~ ~J

= 3 -1 -2

o

3-5 [ -4 ₂₅ ~ 14 1 -7J 26 8 2 -3J = [-201 204

~ -~l

7 -8 -2 3 -14 16 4 - 6

[3 0 -[ 2J

[j]

=

[-29J

l

~ ~ ~ ~ll-~ -~ ~]

_o

_{0 2 0 4 5 8}

=

r-~ ~ ~J

_{8 10 16}

o

0 0 3 -9 7 2 -27 21 6

[-!

-~ ~]

[

~

:

n

=

l-

~ -~

-9 7 2 0 7

c.

I I I I I I

Gebruikmakend van het matrixprodukt kunnen we een stelsel lineaire vergelijkingen

schrijven als één matrixvergelijking. Ter toelichting beschouwen we het volgende, in

hoofdstuk 1 reeds opgeloste stelsel

XI - _{9X2 - 15x3 - 2X4 - 5xs = I}

2x I 12x2 - 16x3 - 2X4 - 6xs =-2 2xI

+

6X2

+

6X3

+

8X4

+

2xs = -10 -XI

+

12x2

+

22x3

+

3X4

+

7xs =-3.

§lO 35 De koëfficiënten van dit stelsel bepalen zijn zogenaamde koëfficiëntenmatrix:

-9 -12 6 12 -15 -16 6 22 -2 -2 8 3

-SJ

-6 2 7

De onbekenden schrijven we als een kolommatrix, evenals de bekende termen:

en Nu is de matrixvergelijking

U

-12 -16 -2 -9 -15 -2

-Sj

-6 Xl X2

~~:ol

6 6 8 2 X3 12 22 3 7 X4 Xs

gelijkwaardig met het gegeven stelsel van vier vergelijkingen in IR. Immers, werken we het matrixprodukt in het linkerlid uit dan volgt

Passen we de definitie van gelijkheid toe, dan volgt het stelsel waarvan we uitgegaan zijn. We veralgemenen dit voorbeeld. Laten aij en bi, i := l(1)m, j := l(1)n getallen zijn die het volgende stelsel S bepalen

S: of anders geschreven S: n ~ a··x· - b· . IJ J - I' i := 1(1 )m, J=1

a}}xI

+

al2 x2

+ .. +

alnxn

=

bi a2l x }

+

a22 x2

+ ... +

a2n xn

=

b2

Dan heet de matrix A, bepaald door de koëfficiënten van S, de koëfficiëntenmatrix van S:

36 §10

A=

a11 a l l · · · · aln a21 a22···· a2n

De kolommatrix van onbekenden X en de kolommatrix van bekende termen B schrijven we als

X= B=

Blijkbaar is het stelsel S gelijkwaardig met één matrixvergelijking AX=B.

Merk op dat de korte schrijfwijze voor S,

n

~ a··x· - b· . IJ J - I,

J=1

i := l(1)m,

juist de matrixvermenigvuldiging weergeeft en daarmee die gelijkwaardigheid ten duidelijk-ste demonstreert. Tevens blijkt hieruit dat de ingevoerde definitie van matrixvermenigvul-diging zinvol is.

De matrix At, die ontstaat uit A door er de bekende termen als (n + l)e kolom aan toe te voegen, en die het uitgangspunt vormde van ons rekenschema ter oplossing van het stelsel S, heet de aangevulde matrix van S.

au al2 ... aln bi

a21 a22 . . . a2n b2 A'·=

aml am2··· amn bm

Het ligt nu voor de hand de oplossing van een stelsel in de gedaante van een kolom-matrix te schrijven. Bovendien staan dan de kolom-matrixbewerkingen, optellen en vermenig-vuldigen met een getal, een schrijfwijze toe die het aantal vrijheidsgraden van het stelsel, of het aantal parameters van de algemene oplossing, nog duidelijker doet uitkomen. Zo vonden we voor de algemene oplossing van het hierboven genoemde stelsel in hoofdstuk

I de volgende parametervoorstelling.