Wektory - kartezjański układ współrzędnych

(1)

Wektory - kartezjański układ współrzędnych

Współrzędne wektora.

Niech będą dane dwa punkty ^A

((((

^x¹^,^x²^,...,^xⁿ

))))

ⁱ^B

((((

^y¹^,^y²^,^K^,^yⁿ

))))

^.

[[[[

^y ^x ^y ^x ^yⁿ ^xⁿ

]]]] [[[[

â â âⁿ

]]]]

AB==== ₁−−−− ₁, ₂ −−−− ₂,K, −−−− ==== ₁, ₂,K,

Liczby a₁,a₂,K,a_n nazywamy współrzędnymi (składowymi) wektora AB w prostokątnym układzie współrzędnych.

Długość wektora ^a^r

[[[[

â¹^,â²^,^K^,âⁿ

]]]]

^:

2 2

2 2 1

2 a a a a a_n

a ==== ==== ++++ ++++K++++

r o r r

2 2

1 a an

a

a ==== ++++ ++++K++++

r

Iloczyn skalarny wektorów ^a^r

[[[[

â¹^,â²^,^K^,âⁿ

]]]]

ⁱ^b

[[[[

^b¹^,^b²^,^K^,^bⁿ

]]]]

^.

1) â^rô^b^v⁼ â^r ^⋅ ^b^r ^⋅^cos^∠

( )

^a^r^,^b^r

2) a b ====ab ++++a b ++++K++++a_nb_n r

o r

2 2 1 1

3) ^cos^{∠ ,}

( )

â^r ^b^r ⁼ _aâ^r^rô_⋅^b_b^r^r

4) jeżeli ar≠0

i b ≠0 r

, to a b a b r r r

o

r = 0⇔ ⊥

5) jeżeli ar≠0

i b ≠0 r

, to a b a b a b r r r r

r o

r ⁼ ^⋅ ^⇔ ||

Wektory ^a^r

[[[[

â¹^,â²^,^K^,âⁿ

]]]]

ⁱ^b

[[[[

^b¹^,^b²^,^K^,^bⁿ

]]]]

^są

1) prostopadłe, jeżeli ich iloczyn skalarny jest równy zero

=0

===

⇔⇔

⊥⊥

⊥⊥b a b

a

r o r r

r

2) równoległe, jeżeli mają proporcjonalne współrzędne

n n

b a b

a b b a

a ⇔⇔⇔⇔ ==== ====K==== r

r

2 2 1

|| 1

(2)

Prosta na płaszczyźnie

I SPOSÓB

Równanie prostej l na płaszczyźnie jest wyznaczone w sposób jednoznaczny za pomocą punktu ^P⁰

((((

^x⁰^,^y⁰

))))

^∈^∈^∈^∈^lⁱ^wektora ^N

[[[[ ]]]]

^A^,^B ^⊥⊥⊥⊥ ^l, zw. wektorem normalnym prostej.

1. Równanie wektorowe prostej

(((( ))))

^x^,^y ^∈^∈^∈^∈^l ^⇔^⇔^⇔^⇔ ^P⁰^P ^⊥^⊥^⊥^⊥^N ^⇔^⇔^⇔^⇔ ^P⁰^P ^N ⁼⁼⁼⁼⁰

P _o

2. Równanie ogólne prostej na płaszczyźnie

Wychodzimy od równania wektorowego prostej na płaszczyźnie

0P N ====0

P _o

Podstawiamy współrzędne wektorów

[[[[

^x⁻⁻⁻⁻^x⁰^,^y⁻⁻⁻⁻^y⁰

]]]]

^o

[[[[ ]]]]

^A^,^B ⁼⁼⁼⁼⁰

Po wykonaniu mnożenia skalarnego otrzymujemy równanie prostej o wektorze normalnym

[[[[ ]]]]

^A,^B przechodzącej przez punkt ^P⁰

((((

^x⁰^,^y⁰

))))

^∈^∈^∈^∈^l^:

((((

^x⁻⁻⁻⁻^x⁰

)))) ((((

⁺⁺⁺⁺^B ^y⁻⁻⁻⁻^y⁰

))))

⁼⁼⁼⁼⁰

A

Po przekształceniu otrzymujemy

0 0

0 −−−− ====

−−−−

++++By Ax By Ax

Po oznaczeniu wyrazów stałych przez C mamy ostatecznie:

====0 ++++

++++By C Ax

Szczególne przypadki położenia prostej na płaszczyźnie:

1)

(((( ))))

0 :

0 0

0 0 0

, 0

===

= +++ +

===

=

⇒⇒

===

= +++

⋅⋅⋅⋅ + +++

⋅⋅⋅⋅ +

⇒⇒

∈∈

∈∈ By Ax l

C C

B A l

2)

[[[[ ]]]]

0 :

0 0

, 1

||

=

==

= + ++

+

=

==

=

⇒

⇒⇒

⇒

⊥

⊥⊥

⊥

⇒

⇒ C By l

A N

Ox l

3)

[[[[ ]]]]

0 :

0 1

, 0

||

===

= +++ +

===

=

⇒⇒⇒

⇒

⊥⊥

⇒⇒

⇒⇒ C Ax l

B N

Oy l

(3)

3. Równanie odcinkowe prostej na płaszczyźnie

====0 ++++

++++By C Ax

C C By

Ax++++ ====−−−− /−−−−

====1 ++++ −−−−

−−−−

B C y A

C x

====1 ++++

++++ b y a x

Wtedy a jest miejscem przecięcia prostej z osią OX, a b z osią OY.

4. Odległość punktu ^P

((((

^x⁰^{, y}⁰

))))

od prostej Ax++++By++++C ====0:

2 2

0 0

B A

C By d Ax

++++

==== ++++

5. Wzajemne położenie dwóch prostych na płaszczyźnie

1 Prostopadłe _, ₀

2 1 2

1 ⊥N N N =

N o

2 Równoległe

2 1 2 1 2 1 2 1 || ,

C C B B A N A

N = =

3 Pokrywające się

2 1

2

1 ||N P l P l

N ∧∧∧∧ ∈∈∈∈ ⇔⇔⇔⇔ ∈∈∈∈

4 Przecinają się Jeżeli nie zachodzi żaden z warunków 1, 2, 3.

Wtedy ^∠^∠^∠^∠

(((( ))))

^l¹^,^l² ⁼⁼⁼⁼^∠^∠^∠^∠

(((( ))))

^N¹^,^N²

(4)

II SPOSÓB

Równanie prostej l na płaszczyźnie jest wyznaczone w sposób jednoznaczny za pomocą punktu ^P⁰

((((

^x⁰^,^y⁰

))))

^∈^∈^∈^∈^lⁱ^wektora ^v

[[[[ ]]]]

^a^,^b ^|| ^l, zw. wektorem kierunkowym prostej.

1. Równania kanoniczne prostej

Aby punkt ^P

(((( ))))

^x^,^y ^∈^∈^∈^∈^l^wektory^P⁰^P ⁱ^v^r muszą być równoległe

[[[[

^x ^x ^y ^y

]]]]

^v

v P

P₀ ||^r ^⇔^⇔^⇔^⇔ ⁻⁻⁻⁻ ₀, ⁻⁻⁻⁻ ₀ || ^r.

Korzystając z warunku równoległości wektorów otrzymujemy równanie kanoniczne prostej na płaszczyźnie:

b y y a

x

x ₀ −−−− ₀

=

==

− =

−−

−

2. Równania parametryczne prostej ℜℜ ℜℜ

∈∈∈

∈

===

− =

−−

= −

===

−

−−

−

t b t

y y a

x

x ⁰ ⁰ ,

Stąd











−−−− ====

b t y y

a t x x

0 0

czyli





ℜ ℜ ℜ ℜ

∈

⋅⋅⋅⋅

++++

====

⋅⋅⋅⋅

++++

====

t t b y y

t a x x

0 ,

0

Zatem każdy punkt prostej ma współrzędne

((((

^x⁰ ⁺⁺⁺⁺^a^⋅⋅⋅⋅^t^, ^y⁰ ⁺⁺⁺⁺^b^⋅⋅⋅⋅^t

))))

dla pewnego t^∈^∈^∈^∈^ℜ^ℜ^ℜ^ℜ.

(5)

Płaszczyzna w przestrzeni.

Równanie płaszczyzny ^π w przestrzeni jest wyznaczone w sposób jednoznaczny za pomocą punktu P0

(

x0,y0,z0

)

^∈^π i wektora ^N

[

^A^,^B^,^C

]

^⊥ ^π, zw. wektorem normalnym

płaszczyzny.

1. Równanie wektorowe płaszczyzny

((((

^x^,^y^,^z

))))

^∈^∈^∈^∈ ^⇔^⇔^⇔^⇔ ^P⁰^P ^⊥^⊥^⊥^⊥^N ^⇔^⇔^⇔^⇔ ^P⁰^P ^N ⁼⁼⁼⁼⁰

P ^π _o

2. Równanie ogólne płaszczyzny

Wychodzimy od równania wektorowego płaszczyzny

0P N ====0

P _o

Podstawiamy współrzędne wektorów

[

^x⁻^x⁰^,^y⁻^y⁰^,^z⁻^z⁰

] [

^o ^A^,^B^,^C

]

⁼⁰

Po wykonaniu mnożenia skalarnego otrzymujemy równanie płaszczyzny o wektorze normalnym

[

^A^,^B^,^C

]

przechodzącej przez punkt P0

(

x0,y0,z0

)

^∈^π:

(

x−x0

) (

+B y−y0

) (

+C z−z0

)

=⁰ A

Po przekształceniu otrzymujemy

0 0

0

0 − − =

− +

+By Cz Ax By Cz

Ax

Po oznaczeniu wyrazów stałych przez D mamy ostatecznie:

=0 + +

+By Cz D

Ax

Szczególne przypadki położenia płaszczyzny w przestrzeni:

1)

( )

0 :

0 0

0 0 0 0

, 0 , 0

= + +

=

⇒

= +

⋅ +

⋅

⇒

∈

Cz By Ax

D D

C B A π

π

2)

[ ]

0 :

0 0

, 0 , 1

||

= + +

=

⇒

⊥

⇒ D Cz By

A N

Ox π π

3)

[ ]

0 :

0 0

, 1 , 0

||

= + +

=

⇒

⊥

⇒ D Cz Ax

B N

Oy π π

4)

[ ]

0 :

0 1

, 0 , 0

||

= + +

=

⇒

⊥

⇒ D By Ax

C N

Oz π π

5)

[ ] [ ]

0 :

, 0 , 0 1

, 0 , 0

||

= +

=

⇒

⇒ D Cz

C N

N Oxy

π π

(6)

6)

[ ] [ ]

0 :

0 , , 0 0

, 1 , 0

||

= +

=

⇒

⇒ D By

B N

N Oxz

π π

7)

[ ] [ ]

0 :

) , 0 , 0

, 0 , 1

||

= +

=

⇒

⇒ D Ax

A N N

Oyz π

π

3. Równanie odcinkowe płaszczyzny

=0 + +

+By Cz D

Ax

D D

Cz By

Ax+ + =− /−

=1 + −

+ −

−

C D z

B D y

A D x

=1 +

+ c

z b

y a x

4. Równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P0

(

x0,y0,z0

)

^∈^π i równoległej do dwóch wektorów ^a^r

[[[[

â^x^,â^y^,â^z

]]]]

ⁱ^b

[[[[

^b^x^,^b^y^,^b^z

]]]]

^.

Aby ^P

((((

^x^,^y^,^z

))))

^∈^∈^∈^∈^π^wektory^P⁰^P ⁱ^a^r^,^b^r muszą być linowo zależne, tzn.

0

0 0

0

=

==

=

−−−

−

−−−

−

−−−

−

z y

x

z y

x

b b

b

a a

a

z z y y x x

5. Odległość punktu ^P

(

^x⁰^,^y⁰^,^z⁰

)

od płaszczyzny Ax+By+Cz+D =0:

2 2 2

0 0 0

C B A

D Cz By d Ax

+ +

= +

6. Wzajemne położenie dwóch płaszczyzn

1 Prostopadłe _, ₀

2 1 2

1 ⊥N N N =

N o

2 Równoległe

2 1 2 1 2 1 2 1 || ,

C C B B A N A

N = =

3 Pokrywające się

2 1

2

1 ||N ∧ P∈π ⇔P∈π

N 4 Przecinają się wzdłuż

prostej

Jeżeli nie zachodzi żaden z warunków 1, 2, 3.

Wtedy ^∠

(

^π¹^,^π²

)

⁼^∠

( )

^N¹^,^N²

(7)

Prosta w przestrzeni

Prosta l w przestrzeni jest wyznaczona w sposób jednoznaczny przez punkt ^P0

(

^x0,^y0,^z0

)

^∈^l i wektor ^v^r

[

^a^,^b^,^c

]

^||^l^.

1. Równania kanoniczne prostej

[

^x ^x ^y ^y ^z ^z

]

^v

v r

r^r⁻^r₀ || ^r ^⇔ ⁻ ₀, ⁻ ₀, ⁻ ₀ ||^r, tzn.

c z z b

y y a

x

x ₀ ₀ − ₀

− =

3. Równania parametryczne prostej

⁻⁻⁻⁻ ⁼⁼⁼⁼ ⁻⁻⁻⁻ ⁼⁼⁼⁼ ⁻⁻⁻⁻ ⁼⁼⁼⁼t t^∈^∈^∈^∈^ℜ^ℜ^ℜ^ℜ c

z z b

y y a

x

x ⁰ ⁰ ⁰ ,

Stąd:







⋅ +

=

⋅ +

=

⋅ +

=

t c z z

t b y y

t a x x

0 0 0

4. Wzajemne położenie prostej i płaszczyzny w przestrzeni

[

^A ^B ^C

]

N D

Cz By

Ax 0 , ,

: + + + = r =

π

[

^a ^b ^c

]

v t

c z z

t b y y

t a x x

l: , ,

0 0 0

 =







⋅ +

=

⋅ +

=

⋅ +

=

r

1) N vr≠0 o r

, prosta przecina płaszczyznę Kąt między prostą i płaszczyzną

( )

v N

r r r o r

= ⋅

−

°

= α

α cos 90 sin

2) N vr=0 o r

a) P₀ ∈^π , prosta leży na płaszczyźnie

b) P₀ ∉^π , prosta jest równoległa do płaszczyzny

(8)

Zadania – przykłady

1. Dana jest prosta l na płaszczyźnie o równaniu 2x−−−− y3 ++++5====0.

a) Znaleźć współczynnik kątowy tej prostej (tzn. tangens Kąta między tą prostą a osią OX).

b) Napisać równanie prostej prostopadłej do prostej l i przechodzącej przez punkt (1,2). Zapisz prostą prostopadła w postaci ogólnej.

--- Rozwiązanie:

a) Dana prosta 2x−−−− y3 ++++5====0jest w postaci ogólnej. Przekształcamy równanie prostej do postaci

kierunkowej y====ax++++b. Wtedy a będzie szukanym współczynnikiem kątowym tej prostej:

0 5 3 2x−−−− y++++ ====

5 2 3 ====−−−− −−−−

−−−− y x 3 5 3 2 ++++

==== x y

Zatem szukany współczynnik kątowy ^tg^∠^∠^∠^{∠ OX}

((((

^l^,

))))

⁼⁼⁼⁼ ₃²^.

b) Wektor normalny prostej l: ^N^r ⁼⁼⁼⁼

[[[[ ]]]]

²^,⁻⁻⁻⁻³ jest wektorem równoległym do prostej prostopadłej do l – l₁. Punkt

(((( ))))

¹^,² ^∈^∈^∈^∈^l¹. Aby wyznaczyć równanie prostej l₁ skorzystamy z postaci

parametrycznej:





ℜ ℜ ℜ ℜ

∈

⋅⋅⋅⋅

++++

====

⋅⋅⋅⋅

++++

====

t t b y y

t a x x

0 ,

0 , gdzie (x₀,y₀)₌₌₌₌(1,2),

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]]

^a^,^b ⁼⁼⁼⁼ ²^,⁻⁻⁻⁻³

Stąd





−−−−

====

++++

====

t y

t l x

3 2

2 : 1

1

Aby znaleźć postać ogólną prostej l₁ z powyższych równań eliminujemy parametr t.

2

−1

−−−

=

==

= x t

2 3 1 2−−−− −−−−

===

= x

y

3 3 2 2y ==== −−−− x++++

0 5 2

3x++++ y−−−− ====

(9)

2. Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt ^A

(

^{1 −}^,³^, ²

)

mając dany wektor prostopadły do tej płaszczyzny ^N^r ⁼

[

³^,⁻¹^,²

]

^.

--- Rozwiązanie:

Równanie płaszczyzny o wektorze normalnym

[

^A^,^B^,^C

]

przechodzącej przez punkt

(

⁰ ⁰ ⁰

)

^∈^π

0 x ,y ,z

P ma postać:

(

^x⁻^x⁰

) (

⁺^B ^y⁻^y⁰

) (

⁺^C ^z⁻^z⁰

)

⁼⁰

A Stąd

((((

³

))))

³

(((( (((( ))))

¹

))))

⁽ ²⁾

((((

²

))))

⁰

1x−−−− ++++ y−−−− −−−− ++++ −−−− z−−−− ====

0 4 2 3 3

3++++ ++++ −−−− ++++ ====

−−−− y z

x

0 4 2 3 −−−− ++++ ====

++++ y z x

3. Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt ^A

((((

⁻⁻⁻⁻²^,¹^,⁴

))))

i równoległej do dwóch wektorów ^a^r⁼

[

⁻¹^,³^,²

]

ⁱ^b^r⁼

[ ]

³^,²^,⁵ ^.

--- Rozwiązanie:

Równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt ^P⁰

(

^x⁰^,^y⁰^,^z⁰

)

^∈^π i równoległej do dwóch wektorów ^a^r

[[[[

â^x^,â^y^,â^z

]]]]

ⁱ^b

[[[[

^b^x^,^b^y^,^b^z

]]]]

ma postać.

0

0 0

0

=

==

=

−

−−

−

−−

−

−−

−

z y

x

z y

x

b b

b

a a

a

z z y y x x

Stąd

0 5 2

3

2 3

1

4 1

2

====

−−−−

++++ y z

x

((((

^x⁺⁺⁺⁺²

))))(((( ))))

⁻⁻⁻⁻¹¹⁺⁺⁺⁺¹³₂ ₅² ⁺⁺⁺⁺

(((( ))))(((( ))))

^y⁻⁻⁻⁻¹ ⁻⁻⁻⁻¹¹⁺⁺⁺⁺² ⁻⁻⁻⁻₃¹ ²₅ ⁺⁺⁺⁺

((((

^z⁻⁻⁻⁻⁴

))))(((( ))))

⁻⁻⁻⁻¹¹⁺⁺⁺⁺³ ⁻⁻⁻⁻₃¹ ₂³ ⁼⁼⁼⁼⁰

((((

²

)))) (((( )))) ((((

¹¹ ¹ ¹¹ ⁴

))))

⁰

11 x++++ ++++ y++++ −−−− z−−−− ====

0 4 1

2++++ ++++ −−−− ++++ ====

++++ y z

x

Odp: x++++ y−−−−z++++7====0

(10)

4. Dla jakiej wartości parametru m płaszczyzny 7x−2y−z =0 i mx+ y−3z−1=0 są wzajemnie prostopadłe?

--- Rozwiązanie:

π1: 7x−2y−z =0 ^N^r¹ ⁼⁼⁼⁼

[[[[

⁷^,⁻⁻⁻⁻²^,⁻⁻⁻⁻¹

]]]]

π2: mx+y−3z−1=0 ^N^r² ⁼⁼⁼^{= m}

[[[[

^,¹^,⁻⁻⁻⁻³

]]]]

2 0

1 2 1 2

1 ⊥⊥⊥⊥ ⇔⇔⇔⇔ N ⊥⊥⊥⊥ N ⇔⇔⇔⇔ N N ====

r o r r

π r π

[[[[

⁷^, ²^, ¹

]]]] [[[[

^,¹^, ³

]]]]

⁷ ² ³ ⁷ ¹

2

1 N ==== −−−− −−−− m −−−− ==== m−−−− ++++ ==== m++++

N o

r o r

7 0 1

1

7 −−−−

===

=

⇔⇔

===

= +++

+ m

m Odp. Dla

7

−1

−−

= −

==

=

m płaszczyzny 7x−2y−z=0 i mx+y−3z−1=0 są wzajemnie prostopadłe .

5. Napisać równania prostej przechodzącej przez punkt ^A

(

^{2 −}^, ¹^,¹

)

i równoległej do wektora

[

³^,²^,⁻²

]

= vr

.

Rozwiązanie:

Prosta l w przestrzeni jest wyznaczona przez punkt ^P⁰

(

^x⁰^,^y⁰^,^z⁰

)

^∈^l^{i wektor}^v^r

[

^a^,^b^,^c

]

^||^l

ma następującą postać parametryczną:







⋅ +

=

⋅ +

=

⋅ +

=

t c z z

t b y y

t a x x

0 0

0

((((

^x⁰^,^y⁰^,^z⁰

))))

⁼⁼⁼⁼

((((

²^,⁻⁻⁻⁻¹^,¹

))))

^,

[[[[

^a^,^b^,^c

]]]] [[[[

⁼⁼⁼⁼ ³^,²^,⁻⁻⁻⁻²

]]]]

Zatem równania tej prostej są postaci:

Odp: ∈∈∈∈ℜℜℜℜ







⋅⋅⋅⋅

−−−−

====

⋅⋅⋅⋅

++++

−−−−

====

⋅⋅⋅⋅

++++

====

t t

z

t y

t x

l ,

2 1

3 2 :

(11)

6. Dana jest prosta l w przestrzeni o równaniu parametrycznym:







−−−−

====

⋅⋅⋅⋅

++++

−−−−

====

⋅⋅⋅⋅

++++

====

t z

t y

t x

3 2 1

3 2

Znaleźć równanie płaszczyzny prostopadłej do prostej l przechodzącej przez punkt

((((

¹^,²^,⁻⁻⁻⁻¹

))))

^.

--- Rozwiązanie:

Z równania parametrycznego prostej l mamy : ^v^r ⁼⁼⁼⁼

[[[[

³^,²^,⁻⁻⁻⁻¹

]]]]

^||^l. Szukana płaszczyzna ^π jest prostopadła do prostej l, zatem wektor vr

jest wektorem normalnym N r

płaszczyzny ^π. Równanie płaszczyzny o wektorze normalnym ^N^r ⁼⁼⁼⁼

[[[[

^A^,^B^,^C

]]]]

przechodzącej przez punkt

(

⁰ ⁰ ⁰

)

^∈^π

0 x ,y ,z

P ma postać:

(

^x⁻^x⁰

) (

⁺^B ^y⁻^y⁰

) (

⁺^C ^z⁻^z⁰

)

⁼⁰

A Stąd

(((( )))) ((((

¹ ² ²

))))

¹

(((( (((( ))))

¹

))))

⁰

3 x−−−− ++++ y−−−− −−−− z−−−− −−−− ====

0 1 4 2 3

3x−−−− ++++ y−−−− −−−−z−−−− ====

Odp: 3x++++2y−−−−z−−−−8====0

7. Znaleźć punkt przebicia płaszczyzny 2x+3y+z−1=0 prostą

6 2

1 1

1 y z

x =

−

= +

− .

--- Rozwiązanie:

Prostą

6 2

1 1

1 y z

x =

−+

− = dana w postaci kanonicznej zapisujemy w postaci parametrycznej:

z t y

l x−−−− ==== −−−−++++ ==== ====

6 2

1 1

: 1







====

−−−−

====

++++

====

t z

t y

t x l

6 2 1 1 :

Stąd każdy punkt prostej l ma postać

((((

¹⁺⁺⁺⁺^t^,⁻⁻⁻⁻¹⁻⁻⁻⁻²^t^,⁶^t

))))

. Zatem szukamy takiego t, dla którego punkt ten należy do płaszczyzny 2x+3y+z−1=0.

(((( )))) ((((

¹ ³ ¹ ²

))))

⁶ ¹ ⁰

2 ++++t ++++ −−−− −−−− t ++++ t−−−− ====

1 0 2 2

0 1 6 6 3 2 2

====

−−−−

====

−−−−

++++

−−−−

++++

t t

t t t

Szukany punkt:

((((

¹⁺⁺⁺⁺^t^,⁻⁻⁻⁻¹⁻⁻⁻⁻²^t^,⁶^t

)))) ((((

⁼⁼⁼⁼ ¹⁺⁺⁺⁺¹^, ⁻⁻⁻⁻¹⁻⁻⁻⁻²^⋅⋅⋅⋅¹^,⁶^⋅⋅⋅⋅¹

)))) ((((

⁼⁼⁼⁼ ²^,⁻⁻⁻⁻³^,⁶