Zadania z aproksymacji
1. Znaleźć wielomian interpolacyjny Lagrange’a przechodzący przez punkty:
x 1 3 4 5
y 1 9 16 25
2. Znaleźć prostą aproksymującą w sensie najmniejszych kwadratów układ punktów:
x 0 1 3 4 6
y 0 0 1 1 2
3. Znaleźć funkcję postaci 0 1x2 aproksymującą w sensie najmniejszych kwadratów układ punktów:
x 0 1 3 4 6
y 0 0 1 1 2
4. Znaleźć naturalną funkcję sklejaną 3-go stopnia interpolująca. punkty:
x 0 1 4
y 20 7 25
5. Wyznaczyć parametr łukowy oraz krzywiznę okręgu o promieniu R.
6. Mucha porusza się ruchem prostoliniowym pionowo do góry ze stałą prędkością v po obracającym się walcu ze stałą prędkością kątową . Oś walca ma kierunek pionowy. Znaleźć równanie parametryczne krzywej ruchu muchy, jej parametr łukowy oraz jej krzywiznę.
7. Punkt porusza się po kole o promieniu R po jego promieniu ze stałą prędkością v. Koło porusza się w płaszczyźnie poziomej ze stałą prędkością kątową . Znaleźć równanie krzywej po której porusza się punkt i znaleźć krzywiznę tej krzywej w dowolnej chwili t.
8. znaleźć krzywiznę krzywej: r_(t) [tcost,t2],dlat 2 . 9. znaleźć krzywiznę krzywej: r_(t)[3t2,t31],dlat2. 10. znaleźć krzywiznę krzywej: f(x)ex2,dla x0.
11. Sprawdzić, że funkcja:
).
, 2 [ 2 ,
3
], 2 , 1 [ 2 ,
) 3 2 2( 1
], 1 , ( ,
)
( 2
x x x
x x
x
f określa
funkcję sklejaną st. 2.
12. Sprawdzić, czy naturalna funkcja sklejana 3-go stopnia 3 interpolująca punkty
x 0 1 2 3
y 1 1 0 1
jest określona wzorem:
].
3 , 2 [ , ) 2 ( 3 ) 2 ( 9 ) 2 ( 4
], 2 , 1 [ ,
) 1 ( 4 ) 1 ( 3 ) 1 ( 2 1
], 1 , 0 [ ,
1 )
(
3 2
3 2
2
x x
x x
x x
x x
x x
x x
f
13. Sprawdzić dla jakich parametrów a, b, c, d, e
).
, 3 [ ,
) 3 ( ) 2 (
], 3 , 1 [ ,
) 2 (
], 1 , ( ,
) 1 ( ) 2 ( ) (
3 2
2 3 2
x x
e x
d
x x
c
x x
b x
a x
f określa funkcję sklejaną st. 3
14. Sprawdzić dla jakich wartości parametrów występujących w definicji poniższej funkcji jest ona funkcją sklejaną sześcienną dla trzech węzłów, które są końcami podanych przedziałów
].
2 , 1 [ , ) 1 ( ) 1 ( ) 1 (
], 1 , 0 [ ,
9 ) 3
( 2 3
2
x x
d x
c x
b a
x x
x x f
15. Znaleźć nośnik B ,35 ti i.
16. Znaleźć B12, w przedziale (t2,t3).
17. Wyprowadzić wzory na Bi1 w ich nośniku.
18. Wyprowadzić wzór.. ik
i k i
k
i V
t t
t t
1 1
1
1 1
.
19. Wypisać wszystkie B3j funkcje różne od zera w przedziale (t2,t3).
20. Wypisać wszystkie B2j funkcje różne od zera w przedziale (t2,t4).
21. Wyprowadzić wzory na pochodne liniowej kombinacji;
, .
, ,
, 0 )
( j i j i
i c j
gdzie B
c x
f j kj j
j
22. Wykazać, że kj 1.
j B
23. Znaleźć nośnik B23.B33.. 24. Znaleźć nośnik B23B32..
25. Znaleźć krzywą Beziera aproksymującą punkty P0=(1,1), P1=(3,4), P2=(2,2)
26. Znaleźć krzywą Lagrange’a interpolującą punkty P0=(1,1), P1=(3,4), P2=(2,2)
27. Niech wektor węzłów T={t0. t0. t0., t1. t1. t1}={0,0,0,1,1,1}.
Znaleźć funkcje B2j dla j=0,1,2.
