Statystyka I, Egzamin, czerwiec 2011, UMK
1. Rozważamy rodzinę rozkładów (potęgowych) o gęstości:
fθ(x) =
θxθ−1 dla 0 < x < 1;
0 w przeciwnym przypadku,
gdzie θ > 0 jest nieznanym parametrem. Niech X1, . . . , Xn będzie próbką losową z wyżej podanego rozkładu.
(a) Oblicz estymator parametru θ metodą momentów.
(b) Oblicz estymator największej wiarogodności parametru θ.
2. Niech ˆθ : R → [0, 1], ˆθ(x1, . . . , xn) = n−
Pn
i=11m(xi)
n będzie estymatorem parametru θ = 1 − pm rozkładu dwumianowego B(m, p).
(a) Wykaż, że ˆθ jest mocno zgodnym estymatorem parametru θ.
(b) Pokaż, że ryzyko średniokwadratowe tego estymatora w punkcie θ jest równe
1
npm(1 − pm).
3. Obserwujemy pojedynczą zmienną losową X, która pochodzi z rozkładu wykładni- czego Ex(θ) o gęstości
fθ(x) =
θe−θx dla x> 0;
0 dla x < 0,
gdzie θ > 0 jest nieznanym parametrem. Należy przeprowadzić test hipotezy zerowej H0 : θ = 1 przeciw hipotezie alternatywnej H1 : θ > 1.
(a) Podaj test jednostajnie najmocniejszy na poziomie istotności α (to znaczy wyznacz obszar krytyczny).
(b) Oblicz moc tego testu dla θ = 2.
4. Zmienne losowe X1, . . . , Xn są niezależne i każda z nich ma rozkład normalny N(θ, σ2) ze znaną wariancją σ2 = 4 i nieznaną wartością oczekiwaną θ. Konstru- ujemy przedział ufności dla θ na poziomie 1 − α.
(a) Oblicz przedział ufności na poziomie 1 − α = 0.95, jeśli n = 100 i ¯X = 6 (przyjmij że odpowiedni kwantyl rozkładu normalnego, z0.975≈ 2).
(b) Jaki rozmiar próbki n jest potrzebny, aby przedział ufności na poziomie 1−α = 0.95 miał długość nie przekraczającą 2d = 0.02 ?
5. W celu ustalenia, czy dotychczasowa norma użytkowania ubrań ochronnych (wyno- sząca 170 dni) nie jest zbyt wysoka, zbadano faktyczny okres ich użytkowania na przykładzie 64 losowo wybranych robotników. Na podstawie próby otrzymano śred- nią długość ¯x = 165 dni oraz odchylenie standardowe s = 19.1. Zakładając, że czas użytkowania ubrań ma rozkład normalny, stwierdź, czy uzyskane wyniki stanowią podstawę do zmniejszenia normy.
1
(a) Przyjmij poziom istotności testu α1 = 0.01.
(b) Przyjmij poziom istotności testu α2 = 0.05.
6. Rozważamy model prostej regresji liniowej bez wyrazu wolnego. Obserwujemy nie- zależne zmienne losowe Y1, . . . , Yn,
Yi ∼ N(xiβ, σ2),
gdzie x1, . . . , xn są znanymi liczbami (wartościami zmienej objaśniającej), β jest nieznanym parametrem (skalarnym). Zakładamy, że parametr σ jest znany.
(a) Podaj wzór na estymator ˆβ, otrzymany metodą najmniejszych kwadratów.
(b) Podaj rozkład prawdopodobieństwa tego estymatora.
7. Przeprowadzono badanie w celu wykrycia zależności pomiędzy poziomem wykształ- cenia i tolerancją. Zbadano losową próbkę 400 osób i otrzymano następujące wyniki:
tolerancja brak tolerancji razem
wykształcenie wyższe 70 30 100
wykształcenie średnie 100 100 200
wykształcenie podstawowe 30 70 100
razem 200 200 400
(a) Oblicz statystykę χ2 dla weryfikacji hipotezy o braku zależności pomiędzy po- ziomem wykształcenia i tolerancją.
(b) Oblicz p-wartość i and zinterpretuj wynik. Czy hipoteza o braku zależności pomiędzy poziomem wykształcenia i tolerancją powinna zostać odrzucona czy nie, na poziomie istotności α = 0.05 ?
Wskazówka: Rozkład χ2(2) (chi-kwadrat z 2 stopniami swobody) jest identyczny z rozkładem wykładniczym Ex(1/2).
8. Dwa laboratoria niezależnie zmierzyły stałą c: prędkość światła w próżni. Każde laboratorium zbudowało przedział ufności dla c na poziomie 1 − α = 0.95.
(a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że przynajmniej jeden z dwóch przedziałów zawiera prawdziwą wartość c ?
(b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że oba przedziały zawierają prawdziwą wartość c ?
2
