Algebra liniowa Domowe IV 1. Które z ciągów (−

Algebra liniowa

Domowe IV

1. Które z ciągów (−1, 1, 1, −1), (2, 3, 1, 4), (4, 0, −3,

¹₂

) są rozwiązaniami układu równań

3x

1

+2x

2

+4x

3

+2x

4

=1 7x

₁

+5x

₂

+9x

₃

+4x

₄

=3 5x

1

−3x

2

+7x

3

+4x

4

=1

2. Dla jakich t ∈ R ciąg (1, t, 3, 2t) jest rozwiązaniem układu równań

3x

1

+2x

2

+ x

3

− x

4

=6 2x

1

+5x

2

−3x

3

−2x

4

=5 x

1

−4x

2

+5x

3

+2x

4

=16

3. Znaleźć rozwiązanie ogólne i jedno rozwiązanie szcze- gólne układu. Podać interpretację geometryczną otrzymanego zbioru rozwiązań.

(a)

x

1

+2x

2

+4x

3

=7 2x

1

+6x

2

+9x

3

=4 4x

₁

+3x

₂

+3x

₃

=11 (b)

x

₁

+2x

₂

−4x

₃

=1 x

1

+3x

2

−5x

3

=2 x

1

+5x

2

−7x

3

=4 (c)

2x

1

+3x

2

+ x

3

=7 4x

₁

+7x

₂

+3x

₃

=15 4x

1

−3x

2

−7x

3

=14 (d)

−9x

1

+6x

2

+ 7x

3

+10x

4

=3

−6x

1

+4x

2

+ 2x

3

+ 3x

4

=2

−3x

₁

+2x

₂

−11x

₃

−15x

₄

=1 (e)

12x

1

+9x

2

+3x

3

+10x

4

=13 4x

1

+3x

2

+ x

3

+ 2x

4

=3 8x

1

+6x

2

+2x

3

+ 5x

4

=7

W każdym z podpunktów wyznacz wzór odwzorowa- nia f tak, aby dany układ opisywał zbiór f

⁻¹

(a) dla pewnego a ∈ R

³

lub a ∈ R

⁴

.

4. Zbadać układ i znaleźć w zależności od parametru λ, jego rozwiązanie ogólne:

(a)

2x

1

+ 3x

2

+ x

3

+2x

4

=3 4x

1

+ 6x

2

+3x

3

+4x

4

=5 6x

1

+ 9x

2

+5x

3

+6x

4

=7 8x

1

+12x

2

+7x

3

+λx

4

=9 (b)

λx

1

+ x

2

+ x

3

=1 x

₁

+λx

₂

+ x

₃

=1 x

1

+ x

2

+λx

3

=1

5. Wyznaczyć rozwiązanie ogólne i układ podstawowy (bazę) rozwiązań dla podanych jednorodnych ukła- dów równań liniowych:

(a)

x

1

− x

3

=0 x

2

− x

4

=0

−x

1

+ x

3

− x

5

=0

−x

2

+ x

₄

− x

6

=0

−x

3

+ x

5

=0

−x

₄

+ x

₆

=0 (b)

x

₁

− x

₃

+ x

₅

=0 x

2

− x

4

+ x

6

=0 x

1

− x

2

+ x

5

− x

6

=0 x

₂

− x

3

+ x

₆

=0 x

1

− x

4

+ x

5

=0 6. Dla jakich s ∈ R układ równań

x

1

+2x

2

+2x

3

+3x

4

=2 3x

₁

+5x

₂

+4x

₃

+8x

₄

=7 x

1

+3x

2

+4x

3

+4x

4

=s jest niesprzeczny?

7. Dlaczego układ równań

x

1

+2x

2

+3x

3

=a 2x

1

+4x

2

+6x

3

=b cx

1

+dx

2

+ex

3

=f

niezależnie od wyboru parametrów a, b, c, d, e, f nie może mieć dokładnie jednego rozwiązania?

8. Jakim zbiorem jest część wspólna trzech losowo wy- branych płaszczyzn w R

³

?

9. Napisz układ trzech równań z trzema niewiadomymi tak, aby układ ten

(a) miał dwuwymiarowy zbiór rozwiązań (b) miał jednowymiarowy zbiór rozwiązań

(c) miał dokładnie jedno rozwiązanie

(d) był sprzeczny.