Wykład
Układy równań liniowych Układy n równań z n niewiadomymi Rozważmy układ równań:
n n nn n
n
n n
n n
b x a x a x a
b x a x a x a
b x a x a x a
...
. ...
...
...
...
...
...
2 2 1 1
2 2
2 22 1 21
1 1
2 12 1 11
(1)
Definicja Ciąg
x x x
n,.., ,
21 nazywamy rozwiązaniem układu (1), jeżeli zachodzą równości:
n n nn n
n
n n
n n
b x a x a x a
b x a x a x a
b x a x a x a
...
. ...
...
...
...
...
...
2 2 1 1
2 2
2 22 1 21
1 1
2 12 1 11
Macierz
nn n
n
a a
a a
A
...
...
...
...
...
1
1 11
nazywamy macierzą współczynników układu (1).
Oznaczmy:
xn
x x ..
1
oraz
bn
b b ..
1
Układ (1) możemy wówczas zapisać w postaci macierzowej:
b x
A
(1’)zatem xA1b
Definicja
Układ (1) nazywamy układem Cramera, jeżeli detA≠0
Twierdzenie Cramera
Układ Cramera posiada dokładnie jedno rozwiązanie określone wzorami:
A xj Aj
det
det
dla j=1,2,..,n
macierz Aj powstaje przez zastąpienie j-tej kolumny macierzy A kolumną wyrazów wolnych.
Przykład
Rozwiąż układ równań:
2 9 2
5 2
3 2 1
3 2 1
3 1
x x x
x x x
x x
Przykład
Dla jakiej wartości parametru poniższy układ jest układem Cramera?
7 3
3
4 2
3 2
3 2
1
3 2
1
3 1
x x
x
x x
x
x x
Układy r równań z n niewiadomymi Rozważmy układ
r n rn r
r
n n
n n
b x a x
a x a
b x a x
a x a
b x a x
a x a
...
. ...
...
...
...
...
...
2 2 1
1
2 2
2 22 1
21
1 1
2 12 1
11
(2)
gdzie r n
rn r
n
M a a
a a
A
...
...
...
...
...
1 1
11 jest macierzą współczynników, zaś
r rn r
n
b b a a
a a
U ...
...
...
...
...
... 1
1
1 11
stanowi tzw. macierz uzupełnioną UMr(n1)
Definicja
Rządem macierzy A nazywamy stopień największego niezerowego minora wyjętego macierzy A.
Przykład
Wyznacz rząd macierzy
8 10 4 0
2 2 3 2
2 3 1
2
A
Twierdzenie Kroneckera-Capellego
Układ (2) posiada rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy układu A jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej U.
W praktyce, poszukując rozwiązań układów równań liniowych, stosujemy podane poniżej reguły postępowania :
1.Obliczamy rzędy macierzy A i macierzy uzupełnionej U, jeżeli nie są one równe, to na podstawie twierdzenia Kroneckera-Capellego układ nie posiada rozwiązań, co kończy rozwiązanie.
2. W przeciwnym przypadku, gdy rzędy są zgodne, i równe k, przekształcamy układ według zasady podanej poniżej.
Zgodność rzędów macierzy A i U oznacza w praktyce, że macierze te posiadają niezerowy minor stopnia k oraz że wszystkie minory stopni k+1 i większych, wyjęte z tych macierzy są równe zero.
Kluczową rolę w przekształceniu układu odgrywa ten właśnie niezerowy minor stopnia k.
Przekształcenie polega na tym, że równania, których współczynniki „nie mieszczą” się w minorze zostają skreślone, zaś zmienne, których współczynniki „nie mieszczą” się w minorze są przeniesione na prawą stronę pozostałych równań i traktowane jak parametry.
Układ zredukowany w ten sposób ma nieosobliwą macierz wymiaru k x k i może być traktowany jako układ Cramera (z n-k parametrami)
3.Stosujemy do przekształconego układu wzory Cramera (twierdzenie 1)
Po ich zastosowaniu otrzymujemy rozwiązania układu (2) w postaci n–elementowego ciągu wyrażeń zależnych od n-k parametrów.
Przykład 4 Rozwiąż układ:
1 2
2 2
3 2
4 3 2 1
4 2 1
3 1
x x x x
x x x
x x
Przykład 5
Przedyskutuj liczbę rozwiązań poniższego układu w zależności od parametru α
7 5
2 4
1 2
3 2
3 2 1
3 2 1
3 1
x x
x
x x x
x x
Opracowanie: dr Elżbieta Badach na podstawie:
1.Gleichgewicht B.: Algebra PWN Warszawa1983 2.Opial Z.: Algebra wyższa PWN Warszawa1974
